Espacio euclidiano

Espacio fundamental de la geometría

Un punto en el espacio euclidiano tridimensional se puede localizar mediante tres coordenadas.

El espacio euclidiano es el espacio fundamental de la geometría , destinado a representar el espacio físico . Originalmente, en los Elementos de Euclides , era el espacio tridimensional de la geometría euclidiana , pero en las matemáticas modernas existen espacios euclidianos de cualquier dimensión entera positiva n , que se denominan n- espacios euclidianos cuando se quiere especificar su dimensión. ^[1] Para n igual a uno o dos, comúnmente se les llama respectivamente líneas euclidianas y planos euclidianos . El calificativo "euclidiano" se utiliza para distinguir los espacios euclidianos de otros espacios que se consideraron posteriormente en la física y las matemáticas modernas.

Los geómetras griegos antiguos introdujeron el espacio euclidiano para modelar el espacio físico. Su trabajo fue recogido por el matemático griego Euclides en sus Elementos , ^[2] con la gran innovación de demostrar todas las propiedades del espacio como teoremas , a partir de unas pocas propiedades fundamentales, llamadas postulados , que o bien se consideraban evidentes (por ejemplo, hay exactamente una línea recta que pasa por dos puntos), o parecían imposibles de demostrar ( postulado de las paralelas ).

Tras la introducción a finales del siglo XIX de las geometrías no euclidianas , los antiguos postulados fueron reformulados para definir los espacios euclidianos mediante la teoría axiomática . Se ha demostrado que otra definición de los espacios euclidianos mediante espacios vectoriales y álgebra lineal es equivalente a la definición axiomática. Es esta definición la que se utiliza con más frecuencia en las matemáticas modernas y se detalla en este artículo. ^[3] En todas las definiciones, los espacios euclidianos consisten en puntos, que se definen únicamente por las propiedades que deben tener para formar un espacio euclidiano.

En esencia, existe un único espacio euclidiano de cada dimensión; es decir, todos los espacios euclidianos de una dimensión dada son isomorfos . Por lo tanto, normalmente es posible trabajar con un espacio euclidiano específico, denotado como , que puede representarse mediante coordenadas cartesianas como el n -espacio real equipado con el producto escalar estándar . ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

Historia de la definición

El espacio euclidiano fue introducido por los antiguos griegos como una abstracción de nuestro espacio físico. Su gran innovación, que aparece en los Elementos de Euclides, fue construir y demostrar toda la geometría a partir de unas pocas propiedades muy básicas, que se abstraen del mundo físico y no se pueden demostrar matemáticamente por falta de herramientas más básicas. Estas propiedades se denominan postulados o axiomas en el lenguaje moderno. Esta forma de definir el espacio euclidiano todavía se utiliza con el nombre de geometría sintética .

En 1637, René Descartes introdujo las coordenadas cartesianas y demostró que éstas permitían reducir los problemas geométricos a cálculos algebraicos con números. Esta reducción de la geometría al álgebra supuso un importante cambio de punto de vista, ya que, hasta entonces, los números reales se definían en términos de longitudes y distancias.

La geometría euclidiana no se aplicó en espacios de dimensión superior a tres hasta el siglo XIX. Ludwig Schläfli generalizó la geometría euclidiana a espacios de dimensión n , utilizando métodos tanto sintéticos como algebraicos, y descubrió todos los politopos regulares (análogos de dimensión superior de los sólidos platónicos ) que existen en espacios euclidianos de cualquier dimensión. ^[4]

A pesar del amplio uso del enfoque de Descartes, que se denominó geometría analítica , la definición de espacio euclidiano se mantuvo inalterada hasta finales del siglo XIX. La introducción de espacios vectoriales abstractos permitió su uso para definir espacios euclidianos con una definición puramente algebraica. Se ha demostrado que esta nueva definición es equivalente a la definición clásica en términos de axiomas geométricos. Es esta definición algebraica la que se utiliza con más frecuencia en la actualidad para introducir espacios euclidianos.

Motivación de la definición moderna

Una forma de pensar en el plano euclidiano es como un conjunto de puntos que satisfacen ciertas relaciones, expresables en términos de distancia y ángulos. Por ejemplo, hay dos operaciones fundamentales (conocidas como movimientos ) en el plano. Una es la traslación , que significa un desplazamiento del plano de modo que cada punto se desplaza en la misma dirección y la misma distancia. La otra es la rotación alrededor de un punto fijo en el plano, en la que todos los puntos del plano giran alrededor de ese punto fijo a través del mismo ángulo. Uno de los principios básicos de la geometría euclidiana es que dos figuras (generalmente consideradas como subconjuntos ) del plano deben considerarse equivalentes ( congruentes ) si una puede transformarse en la otra mediante alguna secuencia de traslaciones, rotaciones y reflexiones (ver más abajo).

Para que todo esto sea matemáticamente preciso, la teoría debe definir claramente qué es un espacio euclidiano y las nociones relacionadas de distancia, ángulo, traslación y rotación. Incluso cuando se utiliza en teorías físicas , el espacio euclidiano es una abstracción separada de las ubicaciones físicas reales, los marcos de referencia específicos , los instrumentos de medición, etc. Una definición puramente matemática del espacio euclidiano también ignora las cuestiones de las unidades de longitud y otras dimensiones físicas : la distancia en un espacio "matemático" es un número , no algo expresado en pulgadas o metros.

La forma estándar de definir matemáticamente un espacio euclidiano, como se lleva a cabo en el resto de este artículo, es como un conjunto de puntos sobre los que actúa un espacio vectorial real : el espacio de traslaciones que está equipado con un producto interno . ^[1] La acción de las traslaciones convierte al espacio en un espacio afín , y esto permite definir líneas, planos, subespacios, dimensión y paralelismo . El producto interno permite definir distancias y ángulos.

El conjunto de n -tuplas de números reales dotadas del producto escalar es un espacio euclidiano de dimensión n . Por el contrario, la elección de un punto llamado origen y una base ortonormal del espacio de traslaciones equivale a definir un isomorfismo entre un espacio euclidiano de dimensión n y un espacio euclidiano considerado como tal. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

De ello se deduce que todo lo que se puede decir de un espacio euclidiano también se puede decir de Por lo tanto, muchos autores, especialmente a nivel elemental, llaman al espacio euclidiano estándar de dimensión n , ^[5] o simplemente espacio euclidiano de dimensión n . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Ilustración del plano euclidiano sin origen

Una razón para introducir una definición tan abstracta de los espacios euclidianos y para trabajar con en lugar de con es que a menudo es preferible trabajar de manera libre de coordenadas y de origen (es decir, sin elegir una base preferida y un origen preferido). Otra razón es que no existe un origen estándar ni ninguna base estándar en el mundo físico. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición técnica

AEl espacio vectorial euclidiano es un espacio de producto internode dimensión finitasobre losnúmeros reales.^[6]

Un espacio euclidiano es un espacio afín sobre los números reales tal que el espacio vectorial asociado es un espacio vectorial euclidiano. Los espacios euclidianos a veces se denominan espacios afines euclidianos para distinguirlos de los espacios vectoriales euclidianos. ^[6]

Si E es un espacio euclidiano, su espacio vectorial asociado (espacio vectorial euclidiano) a menudo se denota La dimensión de un espacio euclidiano es la dimensión de su espacio vectorial asociado. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$

Los elementos de E se denominan puntos y se denotan comúnmente con letras mayúsculas. Los elementos de se denominan vectores euclidianos o vectores libres . También se denominan traslaciones , aunque, propiamente hablando, una traslación es la transformación geométrica resultante de la acción de un vector euclidiano sobre el espacio euclidiano. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

La acción de una traslación v sobre un punto P proporciona un punto que se denota P + v . Esta acción satisface

$${\displaystyle P+(v+w)=(P+v)+w.}$$

Nota: El segundo + del lado izquierdo es una suma vectorial; cada uno de los demás + denota una acción de un vector sobre un punto. Esta notación no es ambigua, ya que, para distinguir entre los dos significados de + , basta con observar la naturaleza de su argumento izquierdo.

El hecho de que la acción sea libre y transitiva significa que, para cada par de puntos ( P , Q ) , existe exactamente un vector de desplazamiento v tal que P + v = Q . Este vector v se denota Q − P o ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}{\vphantom {\frac {)}{}}}.}$

Como se explicó anteriormente, algunas de las propiedades básicas de los espacios euclidianos resultan de la estructura del espacio afín. Se describen en el apartado Estructura afín y sus subsecciones. Las propiedades resultantes del producto interno se explican en el apartado Estructura métrica y sus subsecciones.

Ejemplos prototípicos

En cualquier espacio vectorial, la adición actúa de forma libre y transitiva sobre el propio espacio vectorial. Por lo tanto, un espacio vectorial euclidiano puede considerarse como un espacio euclidiano que se tiene a sí mismo como espacio vectorial asociado.

Un caso típico de espacio vectorial euclidiano es el de un espacio vectorial dotado del producto escalar como producto interno . La importancia de este ejemplo particular de espacio euclidiano reside en el hecho de que todo espacio euclidiano es isomorfo a él. Más precisamente, dado un espacio euclidiano E de dimensión n , la elección de un punto, llamado origen y una base ortonormal de define un isomorfismo de los espacios euclidianos de E a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Como todo espacio euclidiano de dimensión n es isomorfo a él, el espacio euclidiano a veces se denomina espacio euclidiano estándar de dimensión n . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Estructura afín

Algunas propiedades básicas de los espacios euclidianos dependen únicamente del hecho de que un espacio euclidiano es un espacio afín . Se denominan propiedades afines e incluyen los conceptos de líneas, subespacios y paralelismo, que se detallan en las siguientes subsecciones.

Subespacios

Sea E un espacio euclidiano y su espacio vectorial asociado. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

Un subespacio euclidiano plano o subespacio afín de E es un subconjunto F de E tal que

$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}={\Bigl \{}{\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} P\in F,Q\in F{\Bigr \}}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

como el espacio vectorial asociado de F es un subespacio lineal (subespacio vectorial) de Un subespacio euclidiano F es un espacio euclidiano con como el espacio vectorial asociado. Este subespacio lineal también se llama dirección de F . ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$

Si P es un punto de F entonces

$${\displaystyle F={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {F}}{\Bigr \}}.}$$

Por el contrario, si P es un punto de E y es un subespacio lineal de entonces ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$

$${\displaystyle P+{\overrightarrow {V}}={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {V}}{\Bigr \}}}$$

es un subespacio euclidiano de dirección . (El espacio vectorial asociado de este subespacio es .) ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$

Un espacio vectorial euclidiano (es decir, un espacio euclidiano que es igual a ) tiene dos tipos de subespacios: sus subespacios euclidianos y sus subespacios lineales. Los subespacios lineales son subespacios euclidianos y un subespacio euclidiano es un subespacio lineal si y solo si contiene el vector cero. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

Líneas y segmentos

En un espacio euclidiano, una línea es un subespacio euclidiano de dimensión uno. Dado que un espacio vectorial de dimensión uno está generado por cualquier vector distinto de cero, una línea es un conjunto de la forma

$${\displaystyle {\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

donde P y Q son dos puntos distintos del espacio euclidiano como parte de la línea.

De ello se deduce que existe exactamente una línea que pasa por (contiene) dos puntos distintos. Esto implica que dos líneas distintas se cortan como máximo en un punto.

Una representación más simétrica de la línea que pasa por P y Q es

$${\displaystyle {\Bigl \{}O+(1-\lambda ){\overrightarrow {OP}}+\lambda {\overrightarrow {OQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

donde O es un punto arbitrario (no necesariamente en la línea).

En un espacio vectorial euclidiano, el vector cero se elige generalmente para O ; esto permite simplificar la fórmula anterior en

$${\displaystyle {\bigl \{}(1-\lambda )P+\lambda Q\mathrel {\big |} \lambda \in \mathbb {R} {\bigr \}}.}$$

Una convención estándar permite utilizar esta fórmula en cada espacio euclidiano, ver Espacio afín § Combinaciones afines y baricentro .

El segmento de línea , o simplemente segmento , que une los puntos P y Q es el subconjunto de puntos tales que 0 ≤ 𝜆 ≤ 1 en las fórmulas anteriores. Se denota PQ o QP ; es decir

$${\displaystyle PQ=QP={\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} 0\leq \lambda \leq 1{\Bigr \}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

Paralelismo

Dos subespacios S y T de la misma dimensión en un espacio euclidiano son paralelos si tienen la misma dirección (es decir, el mismo espacio vectorial asociado). ^[a] De manera equivalente, son paralelos si existe un vector de traslación v que mapea uno al otro:

$${\displaystyle T=S+v.}$$

Dado un punto P y un subespacio S , existe exactamente un subespacio que contiene a P y es paralelo a S , que es En el caso en que S es una línea (subespacio de dimensión uno), esta propiedad es el axioma de Playfair . ${\displaystyle P+{\overrightarrow {S}}.}$

De ello se deduce que en un plano euclidiano dos líneas se encuentran en un punto o son paralelas.

El concepto de subespacios paralelos se ha extendido a subespacios de diferentes dimensiones: dos subespacios son paralelos si la dirección de uno de ellos está contenida en la dirección del otro.

Estructura métrica

El espacio vectorial asociado a un espacio euclidiano E es un espacio de producto interior . Esto implica una forma bilineal simétrica ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {E}}\times {\overrightarrow {E}}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto \langle x,y\rangle \end{aligned}}}$$

que es definida positiva (es decir, siempre es positiva para x ≠ 0 ). ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

El producto interno de un espacio euclidiano se suele denominar producto escalar y se denota x ⋅ y . Esto es especialmente así cuando se ha elegido un sistema de coordenadas cartesianas , ya que, en este caso, el producto interno de dos vectores es el producto escalar de sus vectores de coordenadas . Por esta razón, y por razones históricas, la notación de puntos se utiliza con más frecuencia que la notación de corchetes para el producto interno de los espacios euclidianos. En este artículo se seguirá este uso; es decir, se denotará x ⋅ y en el resto de este artículo. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

La norma euclidiana de un vector x es

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x\cdot x}}.}$$

El producto interno y la norma permiten expresar y demostrar propiedades métricas y topológicas de la geometría euclidiana . En la siguiente subsección se describen las más fundamentales. En estas subsecciones, E denota un espacio euclidiano arbitrario y denota su espacio vectorial de traslaciones. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

Distancia y longitud

La distancia (más precisamente la distancia euclidiana ) entre dos puntos de un espacio euclidiano es la norma del vector de traslación que asigna un punto al otro; es decir

$${\displaystyle d(P,Q)={\Bigl \|}{\overrightarrow {PQ}}{\Bigr \|}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

La longitud de un segmento PQ es la distancia d ( P , Q ) entre sus puntos finales P y Q . A menudo se denota . ${\displaystyle |PQ|}$

La distancia es una métrica , ya que es definida positiva, simétrica y satisface la desigualdad triangular.

$${\displaystyle d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).}$$

Además, la igualdad es verdadera si y solo si un punto R pertenece al segmento PQ . Esta desigualdad significa que la longitud de cualquier arista de un triángulo es menor que la suma de las longitudes de las otras aristas. Este es el origen del término desigualdad triangular .

Con la distancia euclidiana, todo espacio euclidiano es un espacio métrico completo .

Ortogonalidad

Dos vectores distintos de cero u y v de (el espacio vectorial asociado de un espacio euclidiano E ) son perpendiculares u ortogonales si su producto interno es cero: ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

$${\displaystyle u\cdot v=0}$$

Dos subespacios lineales de son ortogonales si todo vector distinto de cero del primero es perpendicular a todo vector distinto de cero del segundo. Esto implica que la intersección de los subespacios lineales se reduce al vector cero. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

Dos rectas, y más generalmente dos subespacios euclidianos (Una recta puede considerarse como un subespacio euclidiano) son ortogonales si sus direcciones (los espacios vectoriales asociados de los subespacios euclidianos) son ortogonales. Dos rectas ortogonales que se intersecan se dicen perpendiculares .

Dos segmentos AB y AC que comparten un punto final común A son perpendiculares o forman un ángulo recto si los vectores y son ortogonales. ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$

Si AB y AC forman un ángulo recto, se tiene

$${\displaystyle |BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.}$$

Este es el teorema de Pitágoras . Su demostración es fácil en este contexto, ya que, expresándolo en términos del producto interno, se tiene, utilizando la bilinealidad y la simetría del producto interno:

$${\displaystyle {\begin{aligned}|BC|^{2}&={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}{\vphantom {\frac {(}{}}}\\[2mu]&={\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\cdot {\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\\[4mu]&={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}}}$$

Aquí se utiliza ya que estos dos vectores son ortogonales. ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

Ángulo

Ángulos positivos y negativos en el plano orientado

El ángulo (no orientado) θ entre dos vectores distintos de cero x e y en es ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

$${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {x\cdot y}{|x|\,|y|}}\right)}$$

donde arccos es el valor principal de la función arcocoseno . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , el argumento del arcocoseno está en el intervalo [−1, 1] . Por lo tanto , θ es real y 0 ≤ θ ≤ π (o 0 ≤ θ ≤ 180 si los ángulos se miden en grados).

Los ángulos no son útiles en una línea euclidiana, ya que solo pueden ser 0 o π .

En un plano euclidiano orientado , se puede definir el ángulo orientado de dos vectores. El ángulo orientado de dos vectores x e y es entonces el opuesto del ángulo orientado de y y x . En este caso, el ángulo de dos vectores puede tener cualquier valor módulo un múltiplo entero de 2 π . En particular, un ángulo reflejo π < θ < 2 π es igual al ángulo negativo − π < θ − 2 π < 0 .

El ángulo de dos vectores no cambia si se multiplican por números positivos. Más precisamente, si x e y son dos vectores, y λ y μ son números reales, entonces

$${\displaystyle \operatorname {angle} (\lambda x,\mu y)={\begin{cases}\operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {\text{if }}\lambda {\text{ and }}\mu {\text{ have the same sign}}\\\pi -\operatorname {angle} (x,y)\qquad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Si A , B y C son tres puntos en un espacio euclidiano, el ángulo de los segmentos AB y AC es el ángulo de los vectores y Como la multiplicación de vectores por números positivos no cambia el ángulo, el ángulo de dos semirrectas con punto inicial A se puede definir: es el ángulo de los segmentos AB y AC , donde B y C son puntos arbitrarios, uno en cada semirrecta. Aunque esto es menos utilizado, se puede definir de forma similar el ángulo de segmentos o semirrectas que no comparten un punto inicial. ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

El ángulo de dos líneas se define de la siguiente manera. Si θ es el ángulo de dos segmentos, uno en cada línea, el ángulo de otros dos segmentos cualesquiera, uno en cada línea, es θ o π − θ . Uno de estos ángulos está en el intervalo [0, π /2] , y el otro en [ π /2, π ] . El ángulo no orientado de las dos líneas es el que está en el intervalo [0, π /2] . En un plano euclidiano orientado, el ángulo orientado de dos líneas pertenece al intervalo [− π /2, π /2] .

Coordenadas cartesianas

Todo espacio vectorial euclidiano tiene una base ortonormal (de hecho, infinitas en dimensión mayor que uno, y dos en dimensión uno), es decir, una base de vectores unitarios ( ) que son ortogonales entre sí ( para i ≠ j ). Más precisamente, dada cualquier base , el proceso de Gram-Schmidt calcula una base ortonormal tal que, para cada i , los intervalos lineales de y son iguales. ^[7] ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle \|e_{i}\|=1}$ ${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=0}$ ${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n}),}$ ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{i})}$ ${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{i})}$

Dado un espacio euclidiano E , un marco cartesiano es un conjunto de datos que consiste en una base ortonormal de y un punto de E , llamado origen y a menudo denotado O . Un marco cartesiano permite definir coordenadas cartesianas tanto para E como de la siguiente manera. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$ ${\displaystyle (O,e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

Las coordenadas cartesianas de un vector v de son los coeficientes de v en la base ortonormal. Por ejemplo, las coordenadas cartesianas de un vector en una base ortonormal (que puede denominarse como por convención) en un espacio euclidiano tridimensional son si . Como la base es ortonormal, el i -ésimo coeficiente es igual al producto escalar ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$ ${\displaystyle v=\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\alpha _{3}e_{3}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle v\cdot e_{i}.}$

Las coordenadas cartesianas de un punto P de E son las coordenadas cartesianas del vector ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

Otras coordenadas

Coordenadas oblicuas tridimensionales

Como un espacio euclidiano es un espacio afín , se puede considerar un marco afín sobre él, que es lo mismo que un marco euclidiano, excepto que no se requiere que la base sea ortonormal. Esto define las coordenadas afines , a veces llamadas coordenadas oblicuas para enfatizar que los vectores de la base no son ortogonales por pares.

Una base afín de un espacio euclidiano de dimensión n es un conjunto de n + 1 puntos que no están contenidos en un hiperplano. Una base afín define coordenadas baricéntricas para cada punto.

Muchos otros sistemas de coordenadas pueden definirse en un espacio euclidiano E de dimensión n , de la siguiente manera. Sea f un homeomorfismo (o, más a menudo, un difeomorfismo ) de un subconjunto abierto denso de E a un subconjunto abierto de Las coordenadas de un punto x de E son las componentes de f ( x ) . El sistema de coordenadas polares (dimensión 2) y los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas (dimensión 3) se definen de esta manera. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Para los puntos que están fuera del dominio de f , las coordenadas a veces pueden definirse como el límite de las coordenadas de los puntos vecinos, pero estas coordenadas pueden no estar definidas de manera única y pueden no ser continuas en la vecindad del punto. Por ejemplo, para el sistema de coordenadas esféricas, la longitud no está definida en el polo y, en el antimeridiano , la longitud pasa de manera discontinua de –180° a +180°.

Esta forma de definir coordenadas se extiende fácilmente a otras estructuras matemáticas, y en particular a las variedades .

Isometrías

Una isometría entre dos espacios métricos es una biyección que conserva la distancia, ^[b] es decir

$${\displaystyle d(f(x),f(y))=d(x,y).}$$

En el caso de un espacio vectorial euclidiano, una isometría que mapea el origen al origen preserva la norma.

$${\displaystyle \|f(x)\|=\|x\|,}$$

Dado que la norma de un vector es su distancia al vector cero, también conserva el producto interno.

$${\displaystyle f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,}$$

desde

$${\displaystyle x\cdot y={\tfrac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).}$$

Una isometría de espacios vectoriales euclidianos es un isomorfismo lineal . ^{[c] [8]}

Una isometría de espacios euclidianos define una isometría de los espacios vectoriales euclidianos asociados. Esto implica que dos espacios euclidianos isométricos tienen la misma dimensión. Por el contrario, si E y F son espacios euclidianos, O ∈ E , O ′ ∈ F , y es una isometría, entonces la función definida por ${\displaystyle f\colon E\to F}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}}$ ${\displaystyle f\colon E\to F}$

$${\displaystyle f(P)=O'+{\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

es una isometría de espacios euclidianos.

De los resultados precedentes se desprende que una isometría de espacios euclidianos asigna líneas a líneas y, más generalmente, subespacios euclidianos a subespacios euclidianos de la misma dimensión, y que las restricciones de la isometría a estos subespacios son isometrías de estos subespacios.

Isometría con ejemplos prototípicos

Si E es un espacio euclidiano, su espacio vectorial asociado puede considerarse como un espacio euclidiano. Cada punto O ∈ E define una isometría de espacios euclidianos ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

$${\displaystyle P\mapsto {\overrightarrow {OP}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

que asigna O al vector cero y tiene la identidad como aplicación lineal asociada. La isometría inversa es la aplicación

$${\displaystyle v\mapsto O+v.}$$

Un marco euclidiano permite ${\displaystyle (O,e_{1},\dots ,e_{n})}$ definir el mapa

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&\to \mathbb {R} ^{n}\\P&\mapsto {\Bigl (}e_{1}\cdot {\overrightarrow {OP}},\dots ,e_{n}\cdot {\overrightarrow {OP}}{\Bigr )},{\vphantom {\frac {(}{}}}\end{aligned}}}$$

que es una isometría de espacios euclidianos. La isometría inversa es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} ^{n}&\to E\\(x_{1}\dots ,x_{n})&\mapsto \left(O+x_{1}e_{1}+\dots +x_{n}e_{n}\right).\end{aligned}}}$$

Esto significa que, salvo isomorfismo, existe exactamente un espacio euclidiano de una dimensión dada.

Esto justifica que muchos autores hablen de él como el espacio euclidiano de dimensión n . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Grupo euclidiano

Una isometría de un espacio euclidiano sobre sí misma se denomina isometría euclidiana , transformación euclidiana o transformación rígida . Las transformaciones rígidas de un espacio euclidiano forman un grupo (de composición ), llamado grupo euclidiano y a menudo denotado como E( n ) de ISO( n ) .

Las transformaciones euclidianas más simples son las traslaciones

$${\displaystyle P\to P+v.}$$

Están en correspondencia biyectiva con los vectores. Por eso se llama espacio de traslaciones al espacio vectorial asociado a un espacio euclidiano. Las traslaciones forman un subgrupo normal del grupo euclidiano.

Una isometría euclidiana f de un espacio euclidiano E define una isometría lineal del espacio vectorial asociado (por isometría lineal se entiende una isometría que es también una función lineal ) de la siguiente manera: denotando por Q – P el vector si O es un punto arbitrario de E , se tiene ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}=f(P)-f(O).{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

Es sencillo demostrar que se trata de una función lineal que no depende de la elección de O.

La función es un homomorfismo de grupo del grupo euclidiano sobre el grupo de isometrías lineales, llamado grupo ortogonal . El núcleo de este homomorfismo es el grupo de traslación, lo que demuestra que es un subgrupo normal del grupo euclidiano. ${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$

Las isometrías que fijan un punto dado P forman el subgrupo estabilizador del grupo euclidiano respecto de P . La restricción a este estabilizador del homomorfismo de grupo anterior es un isomorfismo. Por lo tanto, las isometrías que fijan un punto dado forman un grupo isomorfo al grupo ortogonal.

Sea P un punto, f una isometría y t la traslación que aplica P a f ( P ) . La isometría fija P . Por lo tanto , y el grupo euclidiano es el producto semidirecto del grupo de traslación y el grupo ortogonal. ${\displaystyle g=t^{-1}\circ f}$ ${\displaystyle f=t\circ g,}$

El grupo ortogonal especial es el subgrupo normal del grupo ortogonal que conserva la lateralidad . Es un subgrupo de índice dos del grupo ortogonal. Su imagen inversa por el homomorfismo de grupo es un subgrupo normal de índice dos del grupo euclidiano, que se denomina grupo euclidiano especial o grupo de desplazamientos . Sus elementos se denominan movimientos rígidos o desplazamientos . ${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$

Los movimientos rígidos incluyen la identidad , las traslaciones, las rotaciones (los movimientos rígidos que fijan al menos un punto) y también los movimientos de tornillo .

Ejemplos típicos de transformaciones rígidas que no son movimientos rígidos son las reflexiones , que son transformaciones rígidas que fijan un hiperplano y no son la identidad. También son las transformaciones que consisten en cambiar el signo de una coordenada sobre algún sistema euclidiano.

Como el grupo euclidiano especial es un subgrupo del índice dos del grupo euclidiano, dada una reflexión r , toda transformación rígida que no sea un movimiento rígido es el producto de r y un movimiento rígido. Una reflexión de deslizamiento es un ejemplo de una transformación rígida que no es un movimiento rígido ni una reflexión.

Todos los grupos que se han considerado en esta sección son grupos de Lie y grupos algebraicos .

Topología

La distancia euclidiana convierte a un espacio euclidiano en un espacio métrico y, por tanto, en un espacio topológico . Esta topología se denomina topología euclidiana . En el caso de esta topología también se denomina topología producto . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Los conjuntos abiertos son los subconjuntos que contienen una bola abierta alrededor de cada uno de sus puntos. En otras palabras, las bolas abiertas forman una base de la topología .

La dimensión topológica de un espacio euclidiano es igual a su dimensión. Esto implica que los espacios euclidianos de diferentes dimensiones no son homeomorfos . Además, el teorema de invariancia del dominio afirma que un subconjunto de un espacio euclidiano es abierto (para la topología de subespacios ) si y solo si es homeomorfo a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano de la misma dimensión.

Los espacios euclidianos son completos y localmente compactos . Es decir, un subconjunto cerrado de un espacio euclidiano es compacto si está acotado (es decir, contenido en una bola). En particular, las bolas cerradas son compactas.

Definiciones axiomáticas

La definición de espacios euclidianos que se ha descrito en este artículo difiere fundamentalmente de la de Euclides . En realidad, Euclides no definió formalmente el espacio, pues lo concebía como una descripción del mundo físico que existe independientemente de la mente humana. La necesidad de una definición formal apareció recién a finales del siglo XIX, con la introducción de las geometrías no euclidianas .

Se han utilizado dos enfoques diferentes. Felix Klein propuso definir las geometrías a través de sus simetrías . La presentación de los espacios euclidianos que se da en este artículo se basa esencialmente en su programa de Erlangen , con énfasis en los grupos de traslaciones e isometrías.

Por otra parte, David Hilbert propuso un conjunto de axiomas , inspirados en los postulados de Euclides . Pertenecen a la geometría sintética , pues no implican ninguna definición de números reales . Posteriormente G. D. Birkhoff y Alfred Tarski propusieron conjuntos de axiomas más simples, que utilizan números reales (ver Axiomas de Birkhoff y Axiomas de Tarski ).

En Álgebra geométrica , Emil Artin ha demostrado que todas estas definiciones de un espacio euclidiano son equivalentes. ^[9] Es bastante fácil demostrar que todas las definiciones de espacios euclidianos satisfacen los axiomas de Hilbert, y que las que involucran números reales (incluida la definición dada anteriormente) son equivalentes. La parte difícil de la prueba de Artin es la siguiente. En los axiomas de Hilbert, la congruencia es una relación de equivalencia en segmentos. Por lo tanto, se puede definir la longitud de un segmento como su clase de equivalencia. Por lo tanto, se debe demostrar que esta longitud satisface propiedades que caracterizan a los números reales no negativos. Artin demostró esto con axiomas equivalentes a los de Hilbert.

Uso

Desde los antiguos griegos , el espacio euclidiano se ha utilizado para modelar formas en el mundo físico. Por ello, se utiliza en muchas ciencias , como la física , la mecánica y la astronomía . También se utiliza ampliamente en todas las áreas técnicas que se ocupan de las formas, las figuras, la ubicación y la posición, como la arquitectura , la geodesia , la topografía , la navegación , el diseño industrial o el dibujo técnico .

Los espacios de dimensiones superiores a tres aparecen en varias teorías modernas de la física; véase Dimensión superior . También aparecen en los espacios de configuración de los sistemas físicos .

Además de la geometría euclidiana , los espacios euclidianos también se utilizan ampliamente en otras áreas de las matemáticas. Los espacios tangentes de variedades diferenciables son espacios vectoriales euclidianos. De manera más general, una variedad es un espacio que se aproxima localmente mediante espacios euclidianos. La mayoría de las geometrías no euclidianas se pueden modelar mediante una variedad e integrar en un espacio euclidiano de mayor dimensión. Por ejemplo, un espacio elíptico se puede modelar mediante un elipsoide . Es común representar en un espacio euclidiano objetos matemáticos que a priori no son de naturaleza geométrica. Un ejemplo entre muchos es la representación habitual de grafos .

Otros espacios geométricos

Desde la introducción, a finales del siglo XIX, de las geometrías no euclidianas , se han considerado muchos tipos de espacios, sobre los cuales se puede hacer un razonamiento geométrico de la misma manera que con los espacios euclidianos. En general, comparten algunas propiedades con los espacios euclidianos, pero también pueden tener propiedades que podrían parecer bastante extrañas. Algunos de estos espacios utilizan la geometría euclidiana para su definición, o pueden modelarse como subespacios de un espacio euclidiano de mayor dimensión. Cuando un espacio de este tipo se define mediante axiomas geométricos , la incrustación del espacio en un espacio euclidiano es una forma estándar de probar la consistencia de su definición o, más precisamente, de probar que su teoría es consistente, si la geometría euclidiana es consistente (lo cual no se puede probar).

Espacio afín

Un espacio euclidiano es un espacio afín dotado de una métrica . Los espacios afines tienen muchos otros usos en matemáticas. En particular, como se definen sobre cualquier cuerpo , permiten realizar geometría en otros contextos.

En cuanto se plantean cuestiones no lineales, suele ser útil considerar los espacios afines sobre los números complejos como una extensión de los espacios euclidianos. Por ejemplo, un círculo y una línea tienen siempre dos puntos de intersección (posiblemente no distintos) en el espacio afín complejo. Por tanto, la mayor parte de la geometría algebraica se construye en espacios afines complejos y espacios afines sobre cuerpos algebraicamente cerrados . Las formas que se estudian en geometría algebraica en estos espacios afines se denominan, por tanto, variedades algebraicas afines .

Los espacios afines sobre los números racionales y, de manera más general, sobre los cuerpos numéricos algebraicos proporcionan un vínculo entre la geometría (algebraica) y la teoría de números . Por ejemplo, el último teorema de Fermat puede enunciarse como "una curva de Fermat de grado superior a dos no tiene ningún punto en el plano afín sobre los racionales".

La geometría en espacios afines sobre cuerpos finitos también ha sido ampliamente estudiada. Por ejemplo, las curvas elípticas sobre cuerpos finitos se utilizan ampliamente en criptografía .

Espacio proyectivo

Originalmente, los espacios proyectivos se han introducido añadiendo " puntos en el infinito " a los espacios euclidianos, y, más generalmente a los espacios afines, con el fin de hacer verdadera la afirmación "dos rectas coplanares se cortan exactamente en un punto". El espacio proyectivo comparte con los espacios euclidianos y afines la propiedad de ser isótropo , es decir, no existe ninguna propiedad del espacio que permita distinguir entre dos puntos o dos rectas. Por ello, se suele utilizar una definición más isótropa, que consiste en definir un espacio proyectivo como el conjunto de las rectas vectoriales en un espacio vectorial de dimensión uno más.

En cuanto a los espacios afines, los espacios proyectivos se definen sobre cualquier cuerpo , y son espacios fundamentales de la geometría algebraica .

Geometrías no euclidianas

La geometría no euclidiana se refiere generalmente a espacios geométricos donde el postulado de las paralelas es falso. Entre ellas se encuentran la geometría elíptica , donde la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180°, y la geometría hiperbólica , donde esta suma es menor que 180°. Su introducción en la segunda mitad del siglo XIX, y la prueba de que su teoría es consistente (si la geometría euclidiana no es contradictoria) es una de las paradojas que están en el origen de la crisis fundacional de las matemáticas de principios del siglo XX, y motivó la sistematización de las teorías axiomáticas en matemáticas.

Espacios curvos

Una variedad es un espacio que en la vecindad de cada punto se asemeja a un espacio euclidiano. En términos técnicos, una variedad es un espacio topológico , tal que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano. Las variedades se pueden clasificar por el grado creciente de esta "semejanza" en variedades topológicas , variedades diferenciables , variedades suaves y variedades analíticas . Sin embargo, ninguno de estos tipos de "semejanza" respeta distancias y ángulos, ni siquiera de forma aproximada.

Las distancias y los ángulos se pueden definir en una variedad suave proporcionando una métrica euclidiana que varíe suavemente en los espacios tangentes en los puntos de la variedad (estos espacios tangentes son, por lo tanto, espacios vectoriales euclidianos). Esto da como resultado una variedad de Riemann . Generalmente, las líneas rectas no existen en una variedad de Riemann, pero su papel lo desempeñan las geodésicas , que son los "caminos más cortos" entre dos puntos. Esto permite definir distancias, que se miden a lo largo de las geodésicas, y ángulos entre geodésicas, que son el ángulo de sus tangentes en el espacio tangente en su intersección. Por lo tanto, las variedades de Riemann se comportan localmente como un espacio euclidiano que ha sido curvado.

Los espacios euclidianos son variedades riemannianas triviales. Un ejemplo que lo ilustra bien es la superficie de una esfera . En este caso, las geodésicas son arcos de círculo máximo , que se denominan ortódromos en el contexto de la navegación . De manera más general, los espacios de geometrías no euclidianas pueden realizarse como variedades riemannianas.

Espacio pseudoeuclidiano

Un producto interno de un espacio vectorial real es una forma bilineal definida positiva y, por lo tanto, se caracteriza por una forma cuadrática definida positiva . Un espacio pseudoeuclidiano es un espacio afín con un espacio vectorial real asociado equipado con una forma cuadrática no degenerada (que puede ser indefinida ).

Un ejemplo fundamental de este tipo de espacio es el espacio de Minkowski , que es el espacio-tiempo de la relatividad especial de Einstein . Se trata de un espacio de cuatro dimensiones, donde la métrica está definida por la forma cuadrática

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},}$$

donde la última coordenada ( t ) es temporal y las otras tres ( x , y , z ) son espaciales.

Para tener en cuenta la gravedad , la relatividad general utiliza una variedad pseudoriemanniana que tiene espacios de Minkowski como espacios tangentes . La curvatura de esta variedad en un punto es una función del valor del campo gravitatorio en ese punto.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Espacio de Hilbert , una generalización a dimensión infinita , utilizada en el análisis funcional
• Espacio de posición , una aplicación en física

Notas al pie

1. Puede depender del contexto o del autor si un subespacio es paralelo a sí mismo.
2. Si se elimina la condición de ser biyección, una función que preserva la distancia es necesariamente inyectiva, y es una isometría de su dominio a su imagen.
3. Demostración: hay que demostrar que . Para ello, basta con demostrar que el cuadrado de la norma del lado izquierdo es cero. Utilizando la bilinealidad del producto interno, esta norma al cuadrado se puede desarrollar en una combinación lineal de y Como f es una isometría, esto da una combinación lineal de y que se simplifica a cero. ${\displaystyle f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0}$ ${\displaystyle \|f(x)\|^{2},}$ ${\displaystyle \|f(y)\|^{2},}$ ${\displaystyle f(x)\cdot f(y).}$ ${\displaystyle \|x\|^{2},\|y\|^{2},}$ ${\displaystyle x\cdot y,}$

Referencias

1. Solomentsev 2001.
2. Ball 1960, págs. 50–62.
3. Berger 1987.
4. Coxeter 1973.
5. Berger 1987, Sección 9.1.
6. Berger 1987, Capítulo 9.
7. Anton (1987, págs. 209-215)
8. Berger 1987, Proposición 9.1.3.
9. Artin 1988.

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Artin, Emil (1988) [1957], Álgebra geométrica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons Inc., págs. x+214, doi :10.1002/9781118164518, ISBN 0-471-60839-4, Sr.  1009557
• Ball, WW Rouse (1960) [1908]. Breve relato de la historia de las matemáticas (4.ª ed.). Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-20630-0.
• Berger, Marcel (1987), Geometría I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Coxeter, HSM (1973) [1948]. Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover. Schläfli ... los descubrió antes de 1853, una época en la que Cayley, Grassman y Möbius eran las únicas personas que habían concebido la posibilidad de la geometría en más de tres dimensiones.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Espacio euclidiano", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press