Teoría de campo de gauge
La teoría resultante proporciona un conjunto de ecuaciones que describe la interacción física entre diferentes campos fermiónicos sensibles a la interacción con el campo de Yang-Mills.
En física, las teorías más extensamente aceptadas del modelo estándar son teorías de campo de gauge.
Esto significa que los campos en el modelo estándar exhiben alguna simetría interna abstracta conocida como invariancia de gauge (ver simetría de gauge).
Las teorías gauge provienen de la aproximación geométrica a la teoría de la relatividad general realizada por Weyl,[1][2] y posteriormente ampliada por este mismo en un intento de unificar la relatividad general con el electromagnetismo,[3][4] y finalmente con la recientemente surgida, en aquel entonces, mecánica cuántica.
[12][13][14] La invariancia gauge significa que, el lagrangiano que describe el campo, es invariante bajo la acción de un grupo de Lie que se aplica sobre las componentes de los campos.
Cuando se aplica la misma transformación a todos los puntos del espacio, se dice que la teoría tiene invariancia gauge global.
Las teorías de gauge usan lagrangianos, tales que, en cada punto del espacio es posible aplicar transformaciones o "rotaciones" ligeramente diferentes y aun así, el lagrangiano se mantendría invariante.
En ese caso se dice que el lagrangiano presenta también invariancia de gauge local, es decir, un lagrangiano con simetría gauge local permite escoger ciertos grados de libertad internos de una manera en una región del espacio, y de otra en otra región del espacio suficientemente alejada, sin afectar no obstante a la primera región.
Así pues, al "rotar" algo en cierta región, no se determina cómo los objetos rotan en otras regiones (se usa el término "rotar" porque los grupos de gauge más frecuentes son SU(2) y SU(3) que son generalizaciones del grupo de rotaciones ordinarias).
Las dos características formales que hacen de un campo un campo gauge son: Aunque en el modelo estándar todas las interacciones o fuerzas básicas exhiben algún tipo de simetría de gauge, esta simetría no es siempre obvia en los estados observados.
A veces, especialmente cuando la temperatura disminuye, la simetría se rompe espontáneamente, es decir, ocurre el fenómeno conocido como ruptura espontánea de la simetría.
Sin embargo, las leyes del magnetismo son rotacionalmente simétricas, y es así que a altas temperaturas, los átomos estarían alineados aleatoriamente, y la simetría rotatoria será restaurada.
En otras palabras el mecanismo de Higgs puede ser interpretado pensando que la interacción entre el campo escalar introducido o campo de Higgs y los bosones gauge, hace que estos "adquieran" masa, es decir, presenten interacciones como las que presentarían genuinas partículas con masa.
, más precisamente el fibrado puede definirse como el espacio topológico cociente de cartas locales:
Donde: En la construcción anterior de fibrado principal el espacio base será el espacio-tiempo, correspondiéndose con
Hecha esta construcción una transformación de gauge es, precisamente, una sección diferenciable del anterior fibrado principal.
Es decir una aplicación como (*) que a cada punto del espacio le asigna un elemento del grupo de Lie que representa la simetría gauge.
Una transformación de gauge global sería una aplicación como esa en la que, a todos los puntos del espacio-tiempo, le fue asignado la misma transformación, mientras que un lagrangiano con invariancia gauge local es tal que, si en cada punto del espacio se elige una transformación diferente, y por tanto (*) es lo más general posible, entonces el lagrangiano no cambia.
Técnicamente el campo de gauge asociado a una teoría gauge, aparece en el modelo matemático como una conexión sobre el fibrado principal anteriormente definido.
Bajo tal transformación de gauge infinitesimal:
Estas transformaciones infinitesimales tienen varias propiedades interesantes: La integral de acción calculada a partir del lagrangiano del campo de Yang-Mills está dada por:
cargas de gauge diferentes que interaccionan con las
En el caso electromagnético el grupo de gauge, es U(1) y eso implica que, únicamente, existe una carga de gauge que es, precisamente, la carga eléctrica.
En el caso de la interacción electrodébil existen tres cargas de gauge, que están relacionadas con la carga eléctrica y la hipercarga débil.
Una cantidad que es invariante bajo transformaciones de gauge es el bucle de Wilson, que se define sobre cualquier trayectoria cerrada, γ en la forma como sigue: donde ρ es un carácter de una representación compleja; y
representa al operador de trayectoria ordenada.
En el caso del campo electomagnético, de hecho, las ecuaciones clásicas son extremadamente importantes porque reproducen los resultados de la electrodinámica clásica y el electromagnetismo, que tienen numerosísimas aplicaciones prácticas.
La propia carga de gauge evoluciona según la ecuación:
El tensor energía-impulso del campo de gauge
En este caso la conservación de la energía admite una formulación en términos del tensor energía-impulso, que es una restricción semiclásica sobre cómo se distribuye el campo a lo largo del espacio-tiempo:
