Campo de Yang-Mills
Todas las componentes del campo están definidas sobre un espacio-tiempo
Estas 1-formas funcionan como el potencial vector del campo electromagnético.
Dada la ley de transformación (2) es sencillo ver que a partir de estas 1-formas puede definirse un operador diferencial o derivada covariante del campo definida como: (3)
Es sencillo comprobar que se cumplen las leyes de transformación: (4)
Es importante notar que una 1-forma como las descritas anteriormente puede ser interpretado matemáticamente como una conexión sobre un fibrado principal.
Donde debe tenerse presente que al ser las magnitudes
Este tensor se llama intensidad de campo y a veces, también curvatura del campo, debido a que si se interpreta
Además para el grupo especial unitario SU(N) y los índices
A partir del lagrangiano dado por (7) se deducen las siguientes ecuaciones de evolución para el campo: (10a)
En general debido a la no linealidad las ecuaciones de movimiento en general sólo se saben manipular mediante teoría de perturbaciones para pequeñas desviaciones respecto a la linealidad.
Nótese que estas corrientes deben transformarse propiamente bajo transformaciones gauge del grupo asociado al grupo de simetría del campo gauge.
Dichas corrientes vienen dadas en términos de los espinores que definen el campo como: (13)
A continuación se examinan algunos de estos ejemplos con cierto detalle.
En esta sección consideraremos el campo electromagnético en interacción con sólo un campo fermiónico asociado a los electrones (naturalmente el ejemplo se podría complicar añadiendo otros tipos de partículas cargadas, aunque no se hará aquí para no complicar la explicación).
Los electrones libres, sin interacción electromagnética, pueden ser descritos esencialmente por la ecuación de Dirac que puede ser derivada del siguiente lagrangiano de materia:
Existe una simetría global de este lagrangiano consistente en la transformación: (a)
Ya que al substituir el nuevo campo el lagrangiano queda inalterado.
Esto indica que U(1) es una simetría interna global del lagrangiano.
En una teoría gauge con simetría local U(1), el lagrangiano debería seguir siendo invariante cuando se reemplaza la constante
No deja invariante el lagrangiano, ya que la derivada de la función
Sin embargo, si se construye un nuevo lagragiano en el que la derivada ordinaria
Si se identifica el parámetro e con la carga eléctrica usual (este es el origen del término en teorías de gauge), y las funciones
con las componentes del potencial vector el lagrangiano anterior puede reescribirse como:
Es decir, el nuevo lagrangiano invariante gauge local puede ser visto como el lagrangiano original al que se ha sumado un término de interacción electromagnético adicional.
La cromodinámica cuántica se asienta en que los quarks interaccionan mediante un campo de Yang-Mills asociado a la carga de color cuya simetría gauge viene dada por SU(3).
Donde el campo gluónico bajo transformaciones gauge sigue la siguiente ley:
Naturalmente esta teoría engloba como caso particular la electrodinámica cuántica.
donde las dos partes del lagrangino describen los campos gauge bosónicos (cg) y fermiónicos en interacción con el campo electrodébil (fer-cg), siendo cada una de estas partes de la forma:
Donde: El mecanismo por el cual se introduce esa falta de simetría es el mecanismo de ruptura espontánea de la simetría que finalmente comporta que varios bosones vectoriales exhiban una masa efectiva, y de ahí que la interacción débil, a diferencia de la interacción electromagnética, tenga corto alcance (y por lo tanto a distancias superiores a distancias nucleares sea totalmente despreciable).
En ese caso la "masa efectiva del campo" sería
