Raíz de la unidad
En matemática, las raíces n-ésimas de la unidad, o números de de Moivre[cita requerida], son todos los números complejos que dan 1 cuando son elevados a una potencia dada n. Se puede demostrar que están localizados en el círculo unitario del plano complejo y que en ese plano forman los vértices de un polígono regular de n lados con un vértice sobre el punto 1 de dicho plano, siempre que n>2.
Se llama raíz enésima de la unidad a cualquiera de los números complejos que satisfacen la ecuación:[1] donde
Para cada n, las n diferentes raíces n-ésimas de la unidad son: Entre las raíces enésimas de la unidad siempre está el número 1, el número -1 solo está cuando n es par y los números i y -i cuando n es múltiplo de cuatro.
Las raíces primitivas n-ésimas de la unidad son
O de otra manera, la raíz n-ésima de la unidad α es primitiva, si y solo si sus k-ésimas potencias, k=0, 1,...,n-1 son distintas.
Las raíces segundas o cuadradas de la unidad,
Las raíces terceras o cúbicas de la unidad son donde
Este hecho aparece en muchas áreas de la matemática y se puede probar de varias maneras.
Este sumatorio es un caso especial de la suma gaussiana.
[2] Se puede usar la fórmula del sumatorio para probar una relación de ortogonalidad: donde
Las raíces n-ésimas de la unidad se pueden usar para formar una matriz
En ambos casos tanto las raíces primitivas como los restos coprimos son generadores de su respectivo grupo.
son precisamente las raíces n-ésimas de la unidad, cada una con multiplicidad 1.
El polinomio ciclotómico n-ésimo está definido por el hecho de que sus ceros son precisamente las raíces primitivas n-ésimas de la unidad, cada una con multiplicidad 1: donde
son las raíces primitivas n-ésimas de la unidad, y
tiene coeficientes enteros y es un polinomio irreducible sobre los números racionales (es decir, no puede ser escrito como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes racionales).
El caso del primo n, que es más sencillo que la afirmación general, se obtiene del criterio de Eisenstein.
Cada raíz n-ésima de la unidad es una raíz primitiva d-ésima de la unidad para exactamente un divisor positivo d de n. Esto implica que Esta fórmula representa la factorización del polinomio zn - 1 en factores irreducibles.
Así que los primeros polinomios ciclotómicos son Si p es un número primo, entonces todas las raíces p-ésimas de la unidad excepto 1 son primitivas, y tenemos que Observe que, al contrario de las apariencias, no todos los coeficientes de todos los polinomios ciclotómicos son 1, −1 o 0; el primer polinomio donde esto ocurre es Φ105, ya que 105=3×5×7 es el primer producto de tres primos impares.
Adjuntando una raíz primitiva n-ésima de la unidad a Q, obtenemos el cuerpo ciclotómico n-ésimo Fn.
La extensión Fn/Q tiene grado φ(n) y su grupo de Galois es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo de las unidades del anillo Z/nZ.
Dado el cuerpo K[2]= {0,1}, se le adjuntan las raíces cúbicas primitivas de 1, esto es L = {0,1, ω ω2}.
es factorizable en L[X], aunque no lo sea en ℚ[X][5] Con los números complejos está asegurado que solamente existe un número finito de raíces n-ésimas de la unidad.
Así por ejemplo -1 tiene solamente dos raíces complejas i e −i.
Para ver esto, sea q = a + bi + cj + dk un cuaternión, y supóngase que su cuadrado es −1.
En términos de a, b, c y d esa asunción implica que Este conjunto de ecuaciones reales tiene infinitas soluciones.
Para satisfacer las últimas tres ecuaciones debe tenerse que a = 0 o bien b = c = d = 0, sin embargo, esta última posibilidad no puede darse ya que al ser a un número real la primera ecuación implicaría que a2 = −1, pero eso es imposible para un número real.
Nótese que solamente un cuaternión que sea igual a un número real negativo puede tener un número infinito de raíces cuadradas.
Todos los demás tienen solamente dos raíces (o en el caso del 0 una única raíz).
Lo anterior implica que la ecuación: tiene infinitas soluciones, situadas sobre la esfera unidad.
