Función holomorfa

Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto del plano complejoEn este caso se dice que la función es holomorfa en ese punto.El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa.La frase "holomorfa en un punto z0" significa no sólo diferenciable en z0, sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de z0 en el plano complejo.[4]​ La definición/función es la siguiente: Este límite se toma aquí sobre todas las sucesiones de números complejos que se aproximen a z0, y para todas esas sucesiones el cociente de diferencias tiene que dar el mismo número f '(z0).Intuitivamente, si f es complejo-diferenciable en z0 y nos aproximamos al punto z0 desde la dirección r, entonces las imágenes se acercarán al punto f(z0) desde la dirección f '(z0) r, donde el último producto es la multiplicación de números complejos.Este concepto de diferenciabilidad comparte varias propiedades con la diferenciabilidad en caso real: es lineal y obedece a las reglas de derivación del producto, del cociente y de la cadena.Si f es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto z0 en U, se dice que f es holomorfa en U.Una simple inversa es que si u y v tienen primeras derivadas parciales continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es holomorfa.Un inverso más satisfactorio, que es mucho más difícil de demostrar, es el Teorema de Looman-Menchoff: si f es continua, u y v tienen primeras derivadas parciales (pero no necesariamente continuas), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es holomorfa.[8]​ El término holomorfo fue introducido en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet, dos de los alumnos de Augustin-Louis Cauchy, y deriva del griego ὅλος (hólos) que significa "todo", y μορφή (morphḗ) que significa "forma" o "apariencia" o "tipo", en contraste con el término meromórfica derivado de μέρος (méros) que significa "parte".Una función holomorfa se asemeja a una función entera ("entera") en un dominio del plano complejo mientras que una función meromorfa (definida como holomorfa excepto en ciertos polos aislados), se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones enteras en un dominio del plano complejo.y es por tanto allá donde lo sea la función logaritmo ln(z).Aquí γ es cualquier camino rectificable en un dominio complejo simplemente conexo U ⊂ C cuyo punto inicial es igual a su punto final, y f : U → C es una función holomorfa.donde la integral de contorno se toma en sentido contrario a las agujas del reloj.(Para un camino γ de z0 a z enteramente en U, definir