Conmutatividad
En matemáticas, la propiedad conmutativa o conmutatividad es una propiedad fundamental que tienen algunas operaciones según la cual el resultado de operar dos elementos no depende del orden en el que se toman.
[1] Esto se cumple en la adición y la multiplicación ordinarias: el orden de los sumandos no altera la suma, o el orden de los factores no altera el producto.
La conmutatividad de las operaciones elementales de sumar y multiplicar ya era conocida implícitamente desde la Antigüedad, aunque no fue llamada así hasta principios del siglo XIX, época en que las matemáticas contemporáneas empezaban a formalizarse.
Fuera del ámbito científico, también se pueden encontrar ejemplos en la vida cotidiana, ya que la ejecución consecutiva de dos acciones puede tener un resultado diferente según el orden en que se ejecuten.
Por ejemplo: Esto no quiere decir que cualquier ampliación de un sistema numérico necesariamente vaya a respetar las propiedades previas.
Basta poner un par de ejemplos: Nótese que para poder efectuar estos cálculos hay que trabajar en el sistema numérico apropiado: Z para poder restar, y Q para poder dividir por un número diferente de 0 Es importante destacar que para sacar provecho de la conmutatividad de una operación es necesario que ésta sea asociativa, ya que en este caso la composición de n elementos x1, …, xn se puede representar (sin paréntesis) como x1
, para cualquier m y n números naturales no nulos.
Cuando en alguna de estas operaciones no se impone que satisfaga la propiedad conmutativa pero sin embargo la satisface, entonces se añade el adjetivo conmutativo el nombre de la estructura en cuestión.
Los primeros usos implícitos de la propiedad conmutativa se remontan a la Antigüedad.
[7][8] En la Antigua Grecia, Euclides asumió la propiedad conmutativa de la multiplicación en su obra Elementos.
En 1841 Duncan Farquharson Gregory usó la expresión en inglés commutative law en su libro Examples of the processes of the differential and integral calculus[13] para referirse a la posibilidad de conmutar dos operaciones.
Este uso fue recogido poco después, en 1844, por George Boole en un artículo en Philosophical Transactions.
[14] La propiedad conmutativa también es aplicable a algunas operaciones de la lógica proposicional.
En lógica proposicional, la conmutación se encuentra en algunas reglas de sustitución: y donde "
" es un símbolo metalógico que significa «en una demostración formal, se puede sustituir con...».
son dos cardinales, entonces Esto implica en particular que la suma y el producto de números naturales (es decir, los cardinales de los conjuntos finitos) son conmutativas.
En contraste con los cardinales, en general la suma y el producto de ordinales transfinitos no son conmutativas.
También se dice que el producto escalar de vectores en un espacio euclidiano es conmutativo, aunque, al no tratarse de una operación interna, sería más apropiado decir que es simétrico.
Entre los ejemplo de operadores anticonmutativos se encuentran: En cuanto a operaciones no conmutativas en matemática, y aparte de la sustracción y división ya mencionadas, algunas operaciones binarias no conmutativas son las siguientes: La potenciación no es conmutativa, ya que, por ejemplo, 23 = 8 es diferente de 32 = 9.
Para poder definirlo, hay una cierta estructura adicional, ya sea que la operación es la de un grupo, o bien que sea la multiplicación en un anillo o álgebra.
En un grupo, el conmutador de dos elementos x e y es el elemento: (También se puede definir con otro convenio, invirtiendo las segundas x e y en lugar de las primeras.)
Por el contrario, la propiedad conmutativa dice que el orden de los términos no afecta al resultado final.
La mayoría de operaciones conmutativas que se encuentran en la práctica también son asociativas.
Consideremos un conjunto M dotado de una operación que representaremos multiplicativamente.
Consideremos, para cada a de M, las correspondientes traslaciones por la izquierda y la derecha: La asociatividad de la operación significa que (xy)z = x(yz) para cualquier x,y,z.
Por ejemplo, si la función f representa la suma (una operación conmutativa) de tal manera que f(x,y) = x + y, entonces f es una función simétrica (véase la imagen de la derecha, donde se observa la simetría respecto a la diagonal).
En mecánica cuántica, tal como la formuló Schrödinger, las magnitudes observables físicas se corresponden con un cierto tipo de operadores lineales, los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert apropiado.
Estos dos operadores no conmutan, tal como se puede comprobar considerando el resultado de componerlos actuando sobre ψ(x) (omitimos el factor constante -iħ): Esta no conmutación también se puede expresar calculando su conmutador: Según el principio de incertidumbre de Heisenberg, si los operadores que representan dos magnitudes observables no conmutan, entonces estas no se pueden medir de forma precisa y simultánea.
Así pues la posición y la cantidad de movimiento (en una dirección dada) no se pueden determinar simultáneamente.
De manera más precisa, esta incertidumbre mínima viene cuantificada precisamente por el valor esperado del conmutador de los dos operadores, y en el caso que nos ocupa esto significa que las desviaciones estándares de la posición y el momento satisfacen la desigualdad σxσp
