Lógica modal
[1] Los operadores modales son expresiones que califican la verdad de los juicios.
En general, el símbolo que se toma como primitivo es el de necesidad.
La gramática nos indica qué secuencias de signos del vocabulario están bien construidas.
En otros términos: A esta regla hay que sumarle, por supuesto, el modus ponens heredado de la lógica proposicional.
Cuáles deben ser los axiomas de la lógica modal es algo muy debatido.
Diferentes conjuntos de axiomas permiten demostrar diferentes teoremas, y por lo tanto los axiomas que se eligen muchas veces dependen de los teoremas que se quieren demostrar, y de la posición filosófica que se defiende.
Sistemas más fuertes se construyen agregando axiomas a K. A continuación hay una tabla con los nombres de los sistemas más conocidos y sus axiomas: Una interpretación para un lenguaje modal es un conjunto ordenado de tres elementos:
Los mundos posibles no juegan ningún papel sustancial en la definición de los operadores lógicos no-modales, salvo que las condiciones de verdad se definen relativamente a mundos posibles.
es equivalente a "no hay ningún mundo posible tal que wRw* y
Si desde w no se accede a ningún mundo posible, entonces
Un sistema deductivo caracteriza de un modo satisfactorio la consecuencia lógica cuando nos permite deducir solo consecuencias lógicas (se dice entonces que el sistema es consistente o correcto, en inglés sound) y todas las consecuencias lógicas (se dice que es completo, en inglés complete).
En segundo lugar se tratará el sistema modal básico llamado K. Después indicaremos cómo modificar los sistemas modales y cuáles son sus correspondientes relaciones de consecuencia lógica.
Por tanto, un argumento es válido en nuestro lenguaje modal cuando preserva la verdad en todos los mundos posibles en toda interpretación: Un sistema deductivo es un conjunto de reglas que nos permite establecer afirmaciones de consecuencia entre un conjunto de oraciones y una oración atendiendo solamente a su forma.
Por ejemplo, en el sistema T, la relación de consecuencia lógica (respecto a la cual T es consistente y completo) es la consecuencia lógica en todas las interpretaciones en las que la relación de accesibilidad es reflexiva.
El sistema S5 respecto a las interpretaciones en que R es reflexiva y euclídea.
Por ejemplo, se puede ver fácilmente cuál es la relación entre sistemas modales.
Algunos de los sistemas que Lewis propuso para su implicación estricta son más débiles que el sistema modal K. Para obtener una semántica para sistemas modales más débiles que K se introdujo la noción de mundo no-normal (introducido por Saul Kripke en 1965).
es siempre verdadero en un mundo no-normal, mientras que un enunciado de la forma
Una interpretación no-normal para un lenguaje proposicional modal es una estructura
, son verdaderas en todo mundo posible (normal o no).
Hay pasajes en su obra, como el famoso argumento de la batalla naval en Sobre la interpretación, que ahora se ven como anticipaciones de la lógica modal y su conexión con la potencialidad y el tiempo.
La lógica modal contemporánea, sin embargo, surge a principios del siglo XX como una reacción a la lógica clásica que maduró en las obras de autores como Gottlob Frege, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead.
Por ejemplo, los siguientes argumentos serían válidos: Del segundo uno no diría que tiene premisas verdaderas y conclusión falsa, pero como mínimo parece extraño que podamos probar la existencia de Dios de un modo tan sencillo a partir de una premisa tan plausible (¡no parece que haya una relación de consecuencia lógica entre la premisa y la conclusión!).
En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic en donde formula una familia de axiomas y propone un nuevo condicional más adecuado para recoger el significado de la expresión "si... entonces" del lenguaje natural, al que llama implicación estricta.
Lewis define su condicional estricto en términos del condicional clásico más la noción de necesidad: De 1918 a 1932 Lewis prepara la segunda edición del Survey.
Arthur Prior aplica el mismo lenguaje formal para tratar la lógica temporal.
Oskar Becker desvía la atención del análisis de las conectivas tipo "condicional estricto" a las propias nociones modales: son éstas las que requieren clarificación.
En segundo lugar, a diferencia del caso de la lógica clásica (que fue axiomatizada de un modo completo por Frege), las nociones modales dieron lugar a distintos sistemas axiomáticos.
A esto se suman las críticas de Quine que comienzan en los años treinta.
Además, la semántica modal permite interpretar una gran variedad de lógicas no-clásicas como el intuicionismo y ha impulsado muchas aplicaciones en lingüística computacional y lógica informática.
