Función compuesta

Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo: Puede darse el caso en que la función compuesta resultante no se verifique de la forma esperada por la definición: dada la función

[4]​ Dado que los paréntesis no cambian el resultado, generalmente se omiten.

sólo tiene sentido si el codominio de

; en un sentido más amplio, basta con que el primero sea un subconjunto impropio del segundo.

[nb 1]​ Además, a menudo es conveniente restringir tácitamente el dominio de

produzca sólo valores en el dominio de

Entonces se pueden formar cadenas de transformaciones compuestas entre sí, como f ∘ f ∘ g ∘ f. Tales cadenas tienen la estructura algebraica de un monoide, llamado un monoide de transformación o (mucho más raramente) un monoide de composición.

En general, los monoides de transformación pueden tener una estructura notablemente complicada.

(En realidad se pueden definir dos semigrupos dependiendo de cómo se defina la operación de semigrupo como composición izquierda o derecha de funciones.[8]​).

Si las transformaciones son biyectivas (y por tanto invertibles), entonces el conjunto de todas las combinaciones posibles de estas funciones forma un grupo de transformaciones; y se dice que el grupo es generado por estas funciones.

[9]​ El conjunto de todas las funciones biyectivas f: X → X} (llamadas permutaciones) forma un grupo con respecto a la composición de funciones.

En el semigrupo simétrico (de todas las transformaciones) también se encuentra una noción más débil y no única de inversa (llamada pseudoinversa) porque el semigrupo simétrico es un semigrupo regular.

[10]​ (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x3) = 2x3 + 4, y (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x' + 4) = (2x + 4)3 Sean las funciones: La función compuesta por ende x de g y de f que expresamos: La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso y después aplicamos f a z para obtener Si Y ⊆ X, entonces f: X→Y puede componerse consigo mismo; esto se denota a veces como f 2.

[15]​[11]​[16]​[14]​ La composición repetida de una función de este tipo consigo misma se denomina función iterada.

La función resultante cuando algún argumento xi de la función f es reemplazado por la función g es denominada una composición de f y g en algunos contextos de ingeniería computacional, y se expresa como f |xi = g

Cuando g es una constante simple b, la composición se degenera en una evaluación (parcial), cuyo resultado también es denominado restricción o co-factor.

En general, la composición de funciones de múltiples variables puede comprender varias otras funciones como argumentos, como es el caso en la definición de función primitiva recursiva.

A veces ello es denominado la compuesta generalizada o superposición de f con g1, ..., gn.

[18]​ La composición parcial en un solo argumento mencionada previamente puede ser representada a partir de este esquema más general asignando todas las funciones argumentos excepto una para ser funciones proyectivas convenientemente elegidas.

En este caso g1, ..., gn puede ser aimilado a una función evaluada vector/tupla en este esquema generalizado, en cuyo caso esto es precisamente la definición estándar de composición de función.

[19]​ Un conjunto de operaciones finitas en alguna base X es denominada un clon si contiene todas las proyecciones y es cerrado para una composición generalizada.

[18]​ La noción de conmutación también encuentra una interesante generalización en el caso multivariante; se dice que una función f de aridad n conmuta con una función g de aridad m si f es un homomorfismo que preserva g, y viceversa, es decir:[18]​

Una operación unaria siempre conmuta consigo misma, pero no es necesariamente el caso de una operación binaria (o de aridad superior).

Una operación binaria (o de aridad superior) que conmuta consigo misma se llama medial o entrópica.

Entonces se pueden formar cadenas de transformaciones compuestas entre sí, como f ∘ f ∘ g ∘ f. Tales cadenas tienen la estructura algebraica de un monoide, llamado un monoide de transformación o (mucho más raramente) un monoide de composición.

En general, los monoides de transformación pueden tener una estructura notablemente complicada.

(En realidad se pueden definir dos semigrupos dependiendo de cómo se defina la operación de semigrupo como composición izquierda o derecha de funciones.

[8]​ Si Y ⊆ X, entonces f: X→Y puede componerse consigo misma; esto se denota a veces como f 2.