Cuando Atilio tenía diez años de edad, tuvo que someterse a una operación quirúrgica por apendicitis.
Su primer encuentro con el tango lo tuvo al ingresar como pianista al conjunto donde trabajaba su hermano Pepe, que ya era conocido como «el Tano Tanguero», que con ese trabajo colaboraba con el mantenimiento de toda la familia.
[3] En una oportunidad, Pedro Maffia fue a ver una actuación de la orquesta, y quedó tan maravillado con el joven pianista que le propuso tocar en su local Tibidabo.
Era apenas un adolescente que iba al Colegio Nacional, y en 1942 empezó a tocar el piano en la orquesta de Pedro Maffia.
[1] Ese mismo año conoció a Astor Piazzolla, que se había separado de la orquesta del bandoneonista Aníbal Troilo.
[1] Luego de unos meses sus amigos Julián Plaza y Alfredo Marcucci (tangueros ambos) lo tientan a hacer una gira por el mundo.
La experiencia con Piazzolla, aunque muy exitosa, sólo duró dos años y los músicos se dividieron para seguir sus propios rumbos; el de Stampone fue continuar con su orquesta como director.
Gran estudioso del jazz, admiró a Oscar Peterson y Bill Evans.
En 1958 grabó en Nueva York su primer long play con su propia orquesta, para la firma estadounidense Audio Fidelity.
En 1959 ingresó al sello Microfón, donde grabó un disco doble de 45 revoluciones, con el cantor Ricardo Ruiz y dos temas instrumentales.
En 1974 durante seis meses recorrió con su orquesta Rusia, Alemania, Suiza, Polonia y Checoslovaquia.
Debido al gran éxito en Madrid, se estrena también en Mar del Plata (Argentina), con la orquesta sinfónica de dicha ciudad.
En 1989 compuso la música para la obra teatral Discepolín, referida a la vida de un grande del tango: Enrique Santos Discépolo.
Ese mismo año musicalizó la película coproducción puertorriqueña y argentina Tango Bar.
[1] En 1996 emprendió con Julio Bocca una gira con gran éxito que abarca Italia, España, Israel y Egipto.