Achatado (geometría)

En geometría, el achatado es una operación que aplicada sobre un poliedro permite obtener a partir de él un poliedro romo.El término utilizado para denominar a esta operación en inglés (snub), tiene su origen en los nombres dados a dos sólidos arquimedianos (el cubo romo y el dodecaedro romo) por Johannes Kepler, quien los llamó cubus simus y dodecaedron simum.[1]​ En general, los poliedros romos presentan dos formas con simetría quiral: con orientación horaria o antihoraria.Según los nombres de Kepler, un poliedro romo puede verse como una expansión de un poliedro regular mediante el procedimiento siguiente: separando las caras, girándolas alrededor de sus centros, agregando nuevos polígonos centrados en los vértices originales y agregando pares de triángulos que se ajustan entre las aristas originales.Harold Scott MacDonald Coxeter generalizó la terminología, con una definición ligeramente diferente, para un conjunto más amplio de politopos uniformes.John Conway exploró los operadores de poliedros generalizados, definiendo lo que ahora se llama notación de poliedros de Conway, que se puede aplicar a poliedros y teselados.Conway llama a la operación de Coxeter un "semi-achatado".[2]​ En esta notación, el achatado de Conway se define mediante los operadores dual y gyro, como s = dg, y es equivalente a la alternancia de un truncamiento de un ambo.En 4 dimensiones, Conway sugiere que el 24-celdas romo debería llamarse "24-celdas semirromo" porque, a diferencia de los poliedros achatados tridimensionales que son formas omnitruncadas alternadas, no es un 24-celdas omnitruncado alternado.[3]​ La terminología para el achatado de Harold Scott MacDonald Coxeter es ligeramente diferente, lo que significa alternado truncado, derivando cubo romo como "cuboctaedro achatado", y dodecaedro romo como "icosidodecaedro achatado".Un poliedro regular (o teselado), con el símbolo de Schläfliy diagrama de Coxeter-Dynkin , tiene un truncamiento definido comoEsta construcción con un alternado requiere que q sea par.Un poliedro cuasirregular, con el símbolo de Schläflio r{p,q}, y el diagrama de Coxeter o , tiene un truncamiento cuasiregular definido comoo tr{p ,q} y o , y tiene un snub cuasiregular definido como una rectificación truncada alternadaPor ejemplo, el cubo romo de Kepler se deriva del cuboctaedro (un poliedro cuasirregular), con un símbolo de Schläflivertical y diagrama de Coxeter-Dynkin , por lo que se denomina más explícitamente cuboctaedro romo, expresado por un símbolo vertical de SchläfliLos poliedros regulares con vértices de orden par también se pueden achatar como truncamientos alternados, como en el caso del octaedro romo, ya que, , es el alternado del octaedro truncado,La operación de achatado de Coxeter también permite que los n-antiprismas se definan comoes un n-hosoedro regular, un poliedro degenerado, pero un mosaico válido en la esfera con caras en forma de dígonos o de lúnulas.El mismo proceso se aplica a las teselas romas: Los poliedros no uniformes con todos los vértices de valencia uniformemente dispuestos se pueden achatar, incluidos algunos conjuntos infinitos; por ejemplo: Los poliedros estrellados romos se construyen por su triángulo de Schwarz (p q r), con ángulos especularmente simétricos ordenados racionalmente, y todos los espejos activos y alternados.En general, un policoro regular con símbolo de Schläfli= sr{p,q,r}, y .Solo hay un achatado convexo uniforme en 4 dimensiones, el 24-celdas romo.El icositetracoron normal tiene símbolo de Schläfli,, y el diagrama de Coxeter-Dynkin .El panal de 24-celdas romo relacionado se puede ver comoOtro panal euclídeo (escaliforme) es un panal de losa cuadrada alternada, s{2,4,4} y o sr{2,41,1} y : El único panal uniforme hiperbólico romo uniforme es el panal de losa hexagonal romo, como s{3,6,3} y , que también se puede construir como panal de teselado hexagonal alternado, h{6,3,3}, .