Espacios de funciones de prueba y distribuciones

Espacios vectoriales topológicos relacionados con la definición y uso de distribuciones de Schwartz.

En análisis matemático , los espacios de funciones de prueba y distribuciones son espacios vectoriales topológicos (TVS) que se utilizan en la definición y aplicación de distribuciones . Las funciones de prueba suelen ser funciones de valor complejo (o a veces de valor real ) infinitamente diferenciables en un subconjunto abierto no vacío que tienen soporte compacto . El espacio de todas las funciones de prueba, denotado por está dotado de una cierta topología, llamada topología LF canónica , que la convierte en un TVS localmente convexo de Hausdorff completo . El espacio dual fuerte de se llama espacio de distribuciones en y se denota por donde el subíndice " " indica que el espacio dual continuo de denotado por está dotado de la topología dual fuerte . ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U):=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left(C_{c}^{\infty }(U)\right)^{\prime },}$

Existen otras opciones posibles para el espacio de funciones de prueba, que conducen a otros espacios de distribuciones diferentes. Si entonces el uso de funciones de Schwartz ^{[nota 1]} como funciones de prueba da lugar a un cierto subespacio cuyos elementos se denominan distribuciones templadas . Estas son importantes porque permiten extender la transformada de Fourier desde las "funciones estándar" a las distribuciones templadas. El conjunto de distribuciones templadas forma un subespacio vectorial del espacio de distribuciones y es, por tanto, un ejemplo de espacio de distribuciones; existen muchos otros espacios de distribuciones. ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Existen también otras clases importantes de funciones de prueba que no son subconjuntos de, como los espacios de funciones de prueba analíticas , que producen clases de distribuciones muy diferentes. La teoría de tales distribuciones tiene un carácter diferente de la anterior porque no existen funciones analíticas con soporte compacto no vacío. ^{[nota 2]} El uso de funciones de prueba analíticas conduce a la teoría de hiperfunciones de Sato . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$

Notación

A lo largo de este artículo se utilizará la siguiente notación:

• ${\displaystyle n}$es un entero positivo fijo y es un subconjunto abierto no vacío fijo del espacio euclidiano ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$denota los números naturales .
• ${\displaystyle k}$denotará un entero no negativo o ${\displaystyle \infty .}$
• Si es una función entonces denotará su dominio y la ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$El soporte dedenotado porse define como elcierredel conjuntoen ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f).}$
• Para dos funciones , la siguiente notación define un emparejamiento canónico : ${\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$$
• Un multiíndice de tamaño es un elemento en (dado que es fijo, si se omite el tamaño de los multiíndices, se debe asumir que el tamaño es ). La longitud de un multiíndice se define como y se denota por Los multiíndices son particularmente útiles cuando se trata con funciones de varias variables, en particular, introducimos las siguientes notaciones para un multiíndice dado : También introducimos un orden parcial de todos los multiíndices por si y solo si para todos Cuando definimos su coeficiente binomial de multiíndice como: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle |\alpha |.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ $${\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}$$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$denotará una cierta colección no vacía de subconjuntos compactos de (descrito en detalle a continuación). ${\displaystyle U}$

Definiciones de funciones de prueba y distribuciones

En esta sección, definiremos formalmente distribuciones de valores reales en U. Con modificaciones menores, también se pueden definir distribuciones de valores complejos, y se pueden reemplazar con cualquier variedad suave ( paracompacta ) . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Notación :

1. Dejar ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$
2. Sea el espacio vectorial de todas las funciones reales o complejas continuamente diferenciables k veces en U. ${\displaystyle C^{k}(U)}$
3. Para cualquier subconjunto compacto, sea y ambos denotan el espacio vectorial de todas aquellas funciones tales que ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K.}$
   • Si entonces el dominio de es U y no K . Por lo tanto, aunque depende tanto de K como de U , normalmente solo se indica K . La justificación de esta práctica común se detalla a continuación. La notación solo se utilizará cuando exista riesgo de ambigüedad. ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$
   • Cada contiene el mapa constante 0 , incluso si ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K=\varnothing .}$
4. Sea el conjunto de todos tales que para algún subconjunto compacto K de U . ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$
   • Equivalentemente, es el conjunto de todos los que tienen soporte compacto. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$
   • ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$es igual a la unión de todos los rangos sobre ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$
   • Si es una función de valor real en U , entonces es un elemento de si y solo si es una función de protuberancia . Toda función de prueba de valor real en siempre es también una función de prueba de valor complejo en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

La gráfica de la función bump donde y Esta función es una función de prueba en y es un elemento de El soporte de esta función es el disco unitario cerrado en No es cero en el disco unitario abierto y es igual a 0 en todas partes fuera de él. ${\displaystyle (x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ ${\displaystyle r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Nótese que para todos y cada uno de los subconjuntos compactos K y L de U , tenemos: ${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{ if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{ if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{ if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{ if }}j\leq k\\\end{aligned}}}$$

Definición : Los elementos de se denominan funciones de prueba en U y se denominan espacio de función de prueba en U. Usaremos tanto como para denotar este espacio. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Las distribuciones en U se definen como funcionales lineales continuos en cuando este espacio vectorial está dotado de una topología particular denominada topología LF canónica . Lamentablemente, esta topología no es fácil de definir, pero aun así es posible caracterizar las distribuciones de manera que no se haga mención de la topología LF canónica. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Proposición : Si T es una funcional lineal en entonces T es una distribución si y sólo si se satisfacen las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. Para cada subconjunto compacto existen constantes y (dependientes de ) tales que para todo ^[1] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
2. Para cada subconjunto compacto existen constantes y tales que para todos con soporte contenido en ^[2] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N\}.}$$
3. Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en si converge uniformemente a cero en para todos los multiíndices , entonces ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$

Las caracterizaciones anteriores se pueden usar para determinar si una funcional lineal es o no una distribución, pero los usos más avanzados de distribuciones y funciones de prueba (como aplicaciones a ecuaciones diferenciales ) son limitados si no se colocan topologías en y Para definir el espacio de distribuciones primero debemos definir la topología LF canónica, que a su vez requiere que primero se definan varios otros espacios vectoriales topológicos localmente convexos (TVS). Primero, se definirá una topología ( no normalizable ) en , luego cada será dotado con la topología de subespacio inducida en él por y finalmente se definirá la topología LF canónica ( no metrizable ) en . El espacio de distribuciones, al definirse como el espacio dual continuo de, entonces está dotado con la topología dual fuerte (no metrizable) inducida por y la topología LF canónica (esta topología es una generalización de la topología inducida por norma de operador habitual que se coloca en los espacios duales continuos de los espacios normados ). Esto finalmente permite considerar nociones más avanzadas tales como la convergencia de distribuciones (tanto secuencias como redes), varios (sub)espacios de distribuciones y operaciones sobre distribuciones, incluida la extensión de ecuaciones diferenciales a distribuciones. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Selección de conjuntos compactos K

En general, será cualquier colección de subconjuntos compactos de tales que (1) y (2) para cualquier compacto existe alguno tal que Las opciones más comunes para son: ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle U}$ ${\textstyle U=\bigcup _{K\in \mathbb {K} }K,}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2}\subseteq U}$ ${\displaystyle K\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle K_{1}\cup K_{2}\subseteq K.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

• El conjunto de todos los subconjuntos compactos de o ${\displaystyle U,}$
• Un conjunto donde y para todo i , y es un subconjunto abierto no vacío relativamente compacto de (aquí, "relativamente compacto" significa que el cierre de en U o es compacto). ${\displaystyle \left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U}}_{2},\ldots \right\}}$ ${\textstyle U=\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i},}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Convertimos en un conjunto dirigido definiendo si y solo si Nótese que aunque las definiciones de las topologías definidas posteriormente hacen referencia explícitamente a en realidad no dependen de la elección de es decir, si y son dos de tales colecciones de subconjuntos compactos de entonces las topologías definidas en y mediante el uso en lugar de son las mismas que las definidas mediante el uso en lugar de ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle K_{1}\leq K_{2}}$ ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {K} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} _{2}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Topología endoa(tú)

Ahora presentamos las seminormas que definirán la topología. Diferentes autores a veces usan diferentes familias de seminormas, por lo que enumeramos las familias más comunes a continuación. Sin embargo, la topología resultante es la misma sin importar qué familia se use. ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Supongamos que y es un subconjunto compacto arbitrario de Supongamos un entero tal que ^{[nota 3]} y es un multiíndice con longitud Para definir: ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|\leq k.}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing ,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}}$$

mientras que para definir todas las funciones anteriores se utiliza el mapa constante 0 . ${\displaystyle K=\varnothing ,}$

Todas las funciones anteriores son seminormas de valor no negativo ^{[nota 4]} en Como se explica en este artículo , cada conjunto de seminormas en un espacio vectorial induce una topología vectorial localmente convexa . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Cada uno de los siguientes conjuntos de seminormas genera la misma topología vectorial localmente convexa en (por ejemplo, la topología generada por las seminormas en es igual a la topología generada por las de en ). $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

El espacio vectorial está dotado de la topología localmente convexa inducida por cualquiera de las cuatro familias de seminormas descritas anteriormente. Esta topología también es igual a la topología vectorial inducida por todas las seminormas en ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D.}$

Con esta topología, se convierte en un espacio de Fréchet localmente convexo que no es normable . Cada elemento de es una seminorma continua en Bajo esta topología, una red en converge a si y solo si para cada multiíndice con y cada compacto la red de derivadas parciales converge uniformemente a en ^[3] Para cualquier subconjunto acotado (von Neumann) de es un subconjunto relativamente compacto de ^[4] En particular, un subconjunto de es acotado si y solo si es acotado en para todo ^[4] El espacio es un espacio de Montel si y solo si ^[5] ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|<k+1}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \partial ^{p}f}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle C^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle k=\infty .}$

La topología en es el límite superior de las topologías de subespacio inducidas en por los TVS cuando i abarca los enteros no negativos. ^[3] Un subconjunto de es abierto en esta topología si y solo si existe tal que es abierto cuando está dotado de la topología de subespacio inducida en él por ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U).}$

Métrica que define la topología

Si la familia de conjuntos compactos satisface y para todos , entonces se puede obtener una métrica invariante de traducción completa en tomando una combinación de Fréchet contable adecuada de cualquiera de las familias de seminormas definitorias anteriores ( A a D ). Por ejemplo, el uso de las seminormas da como resultado la métrica ${\displaystyle \mathbb {K} =\left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U}}_{2},\ldots \right\}}$ ${\textstyle U=\bigcup _{j=1}^{\infty }U_{j}}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle (r_{i,K_{i}})_{i=1}^{\infty }}$ $${\displaystyle d(f,g):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {r_{i,{\overline {U}}_{i}}(f-g)}{1+r_{i,{\overline {U}}_{i}}(f-g)}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|}{\left[1+\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|\right]}}.}$$

A menudo, es más fácil considerar simplemente las seminormas (evitando cualquier métrica) y utilizar las herramientas del análisis funcional .

Topología endoa(K)

Como antes, arregle Recuerde que si es cualquier subconjunto compacto de entonces ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).}$

Suposición : Para cualquier subconjunto compacto supondremos de ahora en adelante que está dotado de la topología de subespacio que hereda del espacio de Fréchet. ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Para cualquier subconjunto compacto es un subespacio cerrado del espacio de Fréchet y, por lo tanto, también es un espacio de Fréchet . Para todo compacto que satisfaga denotamos la función de inclusión por Entonces, esta función es una incrustación lineal de TVS (es decir, es una función lineal que también es una incrustación topológica ) cuya imagen (o "rango") está cerrada en su codominio ; dicho de otra manera, la topología en es idéntica a la topología del subespacio de la que hereda y también es un subconjunto cerrado de El interior de relativo a está vacío. ^[6] ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle K,L\subseteq U}$ ${\displaystyle K\subseteq L,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L).}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(L),}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(L).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Si es finito entonces es un espacio de Banach ^[7] con una topología que puede definirse por la norma ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ $${\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).}$$

Y cuando entonces es incluso un espacio de Hilbert . ^[7] El espacio es un espacio distinguido de Schwartz Montel, de modo que si entonces no es normable y por lo tanto no es un espacio de Banach (aunque como todos los demás es un espacio de Fréchet ). ${\displaystyle k=2,}$ ${\displaystyle \,C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)\neq \{0\}}$ ${\displaystyle C^{k}(K),}$

Extensiones triviales e independencia dedo^a(K) de la topologíatú

La definición de depende de U , por lo que denotaremos el espacio topológico que por definición es un subespacio topológico de Supongamos que es un subconjunto abierto de que contiene y para cualquier subconjunto compacto, dejemos que sea el subespacio vectorial de que consiste en funciones con soporte contenido en Dada su extensión trivial a V es por definición, la función definida por: de modo que Denotemos la función que envía una función en a su extensión trivial en V . Esta función es una inyección lineal y para cada subconjunto compacto (donde es también un subconjunto compacto de ya que ) tenemos Si I está restringido a entonces la siguiente función lineal inducida es un homeomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo TVS ): y por lo tanto las siguientes dos funciones (que como la función anterior están definidas por ) son incrustaciones topológicas : (la topología en es la topología LF canónica, que se define más adelante). Usando la inyección, el espacio vectorial se identifica canónicamente con su imagen en (sin embargo, si entonces no es una incrustación topológica cuando estos espacios están dotados de sus topologías LF canónicas, aunque es continua). ^[8] Porque a través de esta identificación, también puede considerarse como un subconjunto de Es importante destacar que la topología del subespacio que hereda de (cuando se ve como un subconjunto de ) es idéntica a la topología del subespacio que hereda de (cuando se ve en cambio como un subconjunto de a través de la identificación). Por lo tanto, la topología en es independiente del subconjunto abierto U de que contiene a K . ^[6] Esto justifica la práctica de escribir en lugar de ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K),}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K\subseteq V,}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle I(f):=F:V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ ${\displaystyle F\in C^{k}(V).}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V)\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle f\mapsto I(f)}$ $${\displaystyle C^{k}(K;U)\to C^{k}(V),\qquad {\text{ and }}\qquad C^{k}(K;U)\to C_{c}^{k}(V),}$$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(V)}$ $${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V)}$ ${\displaystyle U\neq V}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$

Topología LF canónica

Recordemos que denotamos todas aquellas funciones en que tienen soporte compacto en donde note que es la unión de todos como K rangos sobre Además, para cada k , es un subconjunto denso de El caso especial cuando nos da el espacio de funciones de prueba. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle k=\infty }$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$se llama espacio de funciones de prueba y ${\displaystyle U}$ también puede denotarse por ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

En esta sección se define la topología LF canónica como límite directo . También es posible definir esta topología en términos de sus proximidades al origen, lo que se describe a continuación.

Topología definida por límites directos

Para dos conjuntos cualesquiera K y L , declaramos que si y solo si , que en particular convierte la colección de subconjuntos compactos de U en un conjunto dirigido (decimos que dicha colección está dirigida por la inclusión de subconjuntos ). Para todos los conjuntos compactos que satisfacen hay mapas de inclusión ${\displaystyle K\leq L}$ ${\displaystyle K\subseteq L,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle K,L\subseteq U}$ ${\displaystyle K\subseteq L,}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)\quad {\text{and}}\quad \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U).}$$

Recordemos de lo anterior que el mapa es una incrustación topológica . La colección de mapas forma un sistema directo en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos que está dirigido por (bajo inclusión de subconjuntos). El límite directo de este sistema (en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos) es el par donde son las inclusiones naturales y donde ahora está dotado de la topología localmente convexa más fuerte (única), lo que hace que todos los mapas de inclusión sean continuos. ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)}$ $${\displaystyle \left\{\operatorname {In} _{K}^{L}\;:\;K,L\in \mathbb {K} \;{\text{ and }}\;K\subseteq L\right\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (C_{c}^{k}(U),\operatorname {In} _{\bullet }^{U})}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\bullet }^{U}:=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\bullet }^{U}=(\operatorname {In} _{K}^{U})_{K\in \mathbb {K} }}$

La topología LF canónica en ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ es la topología localmente convexa más fina en hace que todos los mapas de inclusión sean continuos (donde K varía sobre ). ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Como es común en la literatura matemática, de ahora en adelante se supone que el espacio está dotado de su topología LF canónica (a menos que se indique explícitamente lo contrario). ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$

Topología definida por los vecindarios del origen

Si U es un subconjunto convexo de entonces U es un vecindario del origen en la topología LF canónica si y solo si satisface la siguiente condición: ${\displaystyle C_{c}^{k}(U),}$

Nótese que cualquier conjunto convexo que satisfaga esta condición es necesariamente absorbente en Dado que la topología de cualquier espacio vectorial topológico es invariante a la traslación, cualquier topología TVS está completamente determinada por el conjunto de vecindad del origen. Esto significa que uno podría realmente definir la topología LF canónica declarando que un subconjunto balanceado convexo U es una vecindad del origen si y solo si satisface la condición CN . ${\displaystyle C_{c}^{k}(U).}$

Topología definida mediante operadores diferenciales

Un operador diferencial lineal en U con coeficientes suaves es una suma donde y todos, excepto un número finito de, son idénticamente 0. El entero se llama orden del operador diferencial. Si es un operador diferencial lineal de orden k , entonces induce una función lineal canónica definida por donde reutilizaremos la notación y también denotaremos esta función por ^[9] $${\displaystyle P:=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }}$$ ${\displaystyle c_{\alpha }\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle \sup\{|\alpha |:c_{\alpha }\neq 0\}}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C^{k}(U)\to C^{0}(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P\phi ,}$ ${\displaystyle P.}$

Para cualquier topología LF canónica , la topología TVS localmente convexa más débil hace que todos los operadores diferenciales lineales estén en orden en mapas continuos de en ^[9] ${\displaystyle 1\leq k\leq \infty ,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \,<k+1}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U).}$

Propiedades de la topología LF canónica

Independencia de la topología LF canónica deK

Una ventaja de definir la topología LF canónica como el límite directo de un sistema directo es que podemos usar inmediatamente la propiedad universal de los límites directos. Otra ventaja es que podemos usar resultados bien conocidos de la teoría de categorías para deducir que la topología LF canónica es en realidad independiente de la elección particular de la colección dirigida de conjuntos compactos. Y al considerar diferentes colecciones (en particular, las mencionadas al principio de este artículo), podemos deducir diferentes propiedades de esta topología. En particular, podemos deducir que la topología LF canónica se convierte en un espacio LF estricto localmente convexo de Hausdorff (y también en un espacio LB estricto si ), que por supuesto es la razón por la que esta topología se llama "la topología LF canónica" (ver esta nota al pie para más detalles). ^{[nota 5]} ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$

Propiedad universal

De la propiedad universal de límites directos , sabemos que si es una función lineal en un espacio localmente convexo Y (no necesariamente Hausdorff), entonces u es continua si y solo si u está acotada si y solo si para cada restricción de u a es continua (o acotada). ^{[10] [11]} ${\displaystyle u:C_{c}^{k}(U)\to Y}$ ${\displaystyle K\in \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

Dependencia de la topología LF canónica entú

Supóngase que V es un subconjunto abierto de que contiene Sea la función que envía una función a su extensión trivial en V (que se definió anteriormente). Esta función es una función lineal continua. ^[8] Si (y solo si) entonces no es un subconjunto denso de y no es una incrustación topológica . ^[8] En consecuencia, si entonces la transpuesta de no es ni uno a uno ni sobre. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C_{c}^{k}(V)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle U\neq V}$ ${\displaystyle I\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle U\neq V}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto está acotado en si y solo si existe alguno tal que y es un subconjunto acotado de ^[11] Además, si es compacto y entonces está acotado en si y solo si está acotado en Para cualquier subconjunto acotado de (resp. ) es un subconjunto relativamente compacto de (resp. ), donde ^[11] ${\displaystyle B\subseteq C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B\subseteq C^{k}(K)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C^{k}(K).}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle S\subseteq C^{k}(K)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle \infty +1=\infty .}$

No metrizabilidad

Para todo compacto el interior de en está vacío, de modo que es de primera categoría en sí mismo. Del teorema de Baire se sigue que no es metrizable y, por lo tanto, tampoco normable (véase esta nota al pie ^{[nota 6]} para una explicación de cómo el espacio no metrizable puede ser completo aunque no admita una métrica). El hecho de que sea un espacio de Montel nuclear compensa la no metrizabilidad de (véase esta nota al pie para una explicación más detallada). ^{[nota 7]} ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Relaciones entre espacios

Utilizando la propiedad universal de los límites directos y el hecho de que las inclusiones naturales son todas incrustaciones topológicas , se puede demostrar que todas las aplicaciones son también incrustaciones topológicas. Dicho de otra manera, la topología en es idéntica a la topología del subespacio que hereda de donde recordemos que la topología de se definió como la topología del subespacio inducida en ella por En particular, tanto y inducen la misma topología del subespacio en Sin embargo, esto no implica que la topología LF canónica en sea igual a la topología del subespacio inducida en por ; estas dos topologías en de hecho nunca son iguales entre sí ya que la topología LF canónica nunca es metrizable mientras que la topología del subespacio inducida en ella por es metrizable (ya que recordemos que es metrizable). La topología LF canónica en es en realidad estrictamente más fina que la topología del subespacio que hereda (por lo tanto, la inclusión natural es continua pero no una incrustación topológica ). ^[7] ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K).}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(U)}$

De hecho, la topología LF canónica es tan fina que si denota algún mapa lineal que es una "inclusión natural" (como o u otros mapas discutidos más adelante), entonces este mapa será típicamente continuo, lo que (como se explica más adelante) es en última instancia la razón por la que las funciones localmente integrables, las medidas de Radon , etc. inducen distribuciones (a través de la transposición de tal "inclusión natural"). Dicho de otra manera, la razón por la que hay tantas formas diferentes de definir distribuciones de otros espacios en última instancia se deriva de lo fina que es la topología LF canónica. Además, dado que las distribuciones son simplemente funcionales lineales continuos, la naturaleza fina de la topología LF canónica significa que más funcionales lineales terminan siendo continuos ("más" significa en comparación con una topología más burda que podríamos haber colocado, como por ejemplo, la topología de subespacio inducida por algunos que, si bien habría sido metrizable, también habría resultado en menos funcionales lineales al ser continuos y, por lo tanto, habría habido menos distribuciones; además, esta topología más burda en particular también tiene la desventaja de no convertirse en un TVS completo ^[12] ). ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to C^{k}(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Otras propiedades

• El mapa de diferenciación es un operador lineal continuo. ^[13] ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)}$
• El mapa de multiplicación bilineal dado por no es continuo; sin embargo, es hipocontinuo . ^[14] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\times C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m+n})}$ ${\displaystyle (f,g)\mapsto fg}$

Distribuciones

Como se discutió anteriormente, las funcionales lineales continuas en a se conocen como distribuciones en U. Por lo tanto, el conjunto de todas las distribuciones en U es el espacio dual continuo del cual, cuando está dotado con la topología dual fuerte, se denota por ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$

Por definición, una distribución en U se define como un funcional lineal continuo en Dicho de otra manera, una distribución en U es un elemento del espacio dual continuo de cuando está dotado de su topología LF canónica. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Tenemos el emparejamiento de dualidad canónica entre una distribución T en U y una función de prueba que se denota mediante corchetes angulares por ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}}$$

Esta notación se interpreta como la distribución T que actúa sobre la función de prueba para dar un escalar, o simétricamente como la función de prueba que actúa sobre la distribución T. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Caracterizaciones de distribuciones

Proposición. Si T es un funcional lineal en entonces las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. T es una distribución;
2. Definición  : T es una función continua .
3. T es continua en el origen.
4. T es uniformemente continua .
5. T es un operador acotado .
6. T es secuencialmente continua .
   • explícitamente, para cada secuencia en que converge en algún ^{[nota 8]} ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. T es secuencialmente continua en el origen; en otras palabras, T asigna secuencias nulas ^{[nota 9]} a secuencias nulas.
   • explícitamente, para cada secuencia en que converge al origen (tal secuencia se llama secuencia nula ), ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0.}$
   • Una secuencia nula es por definición una secuencia que converge al origen.
8. T asigna secuencias nulas a subconjuntos acotados.
   • explícitamente, para cada secuencia que converge al origen, la secuencia está acotada. ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
9. T mapea las secuencias nulas convergentes de Mackey ^{[nota 10]} a subconjuntos acotados;
   • explícitamente, para cada secuencia nula convergente de Mackey , la secuencia está acotada. ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • Se dice que una secuencia es convergente de Mackey a 0 si existe una secuencia divergente de números reales positivos tal que la secuencia está acotada; toda secuencia que es convergente de Mackey a 0 necesariamente converge al origen (en el sentido habitual). ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
10. El núcleo de T es un subespacio cerrado de ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$
11. La gráfica de T es cerrada.
12. Existe una seminorma continua tal que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq g.}$
13. Existe una constante , una colección de seminormas continuas, que define la topología LF canónica de y un subconjunto finito tal que ^{[nota 11]} ${\displaystyle C>0,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left\{g_{1},\ldots ,g_{m}\right\}\subseteq {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots g_{m});}$
14. Para cada subconjunto compacto existen constantes y tales que para todo ^[1] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{p}f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
15. Para cada subconjunto compacto existen constantes y tales que para todos con soporte contenido en ^[2] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C_{K}>0}$ ${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\}.}$$
16. Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en si converge uniformemente a cero para todos los multiíndices entonces ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$
17. Cualquiera de las tres afirmaciones inmediatamente anteriores (es decir, las afirmaciones 14, 15 y 16) pero con el requisito adicional de que el conjunto compacto pertenece a ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Topología en el espacio de distribuciones

Definición y notación : El espacio de distribuciones en U , denotado por es el espacio dual continuo de dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ^[7] Más sucintamente, el espacio de distribuciones en U es ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U):=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }.}$

La topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados también se denomina topología dual fuerte . ^{[nota 12]} Se elige esta topología porque es con esta topología que se convierte en un espacio nuclear de Montel y es con esta topología que se cumple el teorema de kernels de Schwartz . ^[15] No importa qué topología dual se coloque en ^{[nota 13]} una secuencia de distribuciones converge en esta topología si y solo si converge puntualmente (aunque esto no necesita ser cierto para una red ). No importa qué topología se elija, será un espacio vectorial topológico localmente convexo no metrizable . El espacio es separable ^[16] y tiene la propiedad fuerte de Pytkeev ^[17] pero no es un k-espacio ^[17] ni un espacio secuencial , ^[16] lo que en particular implica que no es metrizable y también que su topología no se puede definir utilizando solo secuencias. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Propiedades topológicas

Categorías del espacio vectorial topológico

La topología LF canónica se convierte en un espacio LF estricto completo distinguido (y un espacio LB estricto si y solo si ^[18] ), lo que implica que es un subconjunto magro de sí mismo. ^[19] Además, así como su espacio dual fuerte , es un espacio bornológico de Mackey localmente convexo de Hausdorff completo . El dual fuerte de es un espacio de Fréchet si y solo si así, en particular, el dual fuerte de que es el espacio de distribuciones en U , no es metrizable (nótese que la topología débil-* en tampoco es metrizable y, además, carece de casi todas las buenas propiedades que da la topología dual fuerte ). ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Los tres espacios y el espacio de Schwartz , así como los duales fuertes de cada uno de estos tres espacios, son espacios bornológicos nucleares ^[20] completos de Montel ^[21] , lo que implica que todos estos seis espacios localmente convexos son también espacios de Mackey reflexivos en barril paracompactos ^[22] . Los espacios y son ambos espacios de Fréchet distinguidos . Además, ambos y son TVS de Schwartz . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Secuencias convergentes

Sucesiones convergentes y su insuficiencia para describir topologías

Los espacios duales fuertes de y son espacios secuenciales pero no espacios de Fréchet-Urysohn . ^[16] Además, ni el espacio de funciones de prueba ni su dual fuerte son espacios secuenciales (ni siquiera un espacio de Ascoli), ^{[16] [23]} lo que implica en particular que sus topologías no pueden definirse completamente en términos de secuencias convergentes. ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Una secuencia en converge en si y sólo si existe alguna secuencia tal que contiene esta secuencia y esta secuencia converge en ; equivalentemente, converge si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^[24] ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

1. Hay un conjunto compacto que contiene los soportes de todos ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle f_{i}.}$
2. Para cada multiíndice la secuencia de derivadas parciales tiende uniformemente a ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }f_{i}}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }f.}$

Ni el espacio ni su dual fuerte son espacios secuenciales , ^{[16] [23]} y, en consecuencia, sus topologías no pueden definirse completamente en términos de secuencias convergentes. Por esta razón, la caracterización anterior de cuándo converge una secuencia no es suficiente para definir la topología LF canónica en Lo mismo puede decirse de la topología dual fuerte en ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$

¿Qué secuencias caracterizan?

Sin embargo, las secuencias caracterizan muchas propiedades importantes, como veremos ahora. Se sabe que en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia converge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil* , ^[25] lo que, en particular, es la razón por la que una secuencia de distribuciones converge (en la topología dual fuerte) si y solo si converge puntualmente (esto lleva a muchos autores a utilizar la convergencia puntual para definir realmente la convergencia de una secuencia de distribuciones; esto está bien para las secuencias, pero no se extiende a la convergencia de redes de distribuciones, ya que una red puede converger puntualmente pero no converger en la topología dual fuerte).

Las secuencias caracterizan la continuidad de las aplicaciones lineales valoradas en el espacio localmente convexo. Supongamos que X es un espacio bornológico localmente convexo (como cualquiera de los seis TVS mencionados anteriormente). Entonces, una aplicación lineal en un espacio localmente convexo Y es continua si y solo si asigna secuencias nulas ^{[nota 9]} en X a subconjuntos acotados de Y . ^{[nota 14]} De manera más general, dicha aplicación lineal es continua si y solo si asigna secuencias nulas convergentes de Mackey ^{[nota 10]} a subconjuntos acotados de Entonces, en particular, si una aplicación lineal en un espacio localmente convexo es secuencialmente continua en el origen, entonces es continua. ^[26] Sin embargo, esto no se extiende necesariamente a las aplicaciones no lineales y/o a las aplicaciones valoradas en espacios topológicos que no son TVS localmente convexos. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$

Para cada es secuencialmente denso en ^[27] Además, es un subconjunto secuencialmente denso de (con su topología dual fuerte) ^[28] y también un subconjunto secuencialmente denso del espacio dual fuerte de ^[28] ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U).}$ ${\displaystyle \{D_{\phi }:\phi \in C_{c}^{\infty }(U)\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Secuencias de distribuciones

Una secuencia de distribuciones converge con respecto a la topología débil-* a una distribución T si y solo si para cada función de prueba. Por ejemplo, si es la función y es la distribución correspondiente a entonces como en Por lo tanto, para grande la función puede considerarse como una aproximación de la distribución delta de Dirac. ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ $${\displaystyle \langle T_{i},f\rangle \to \langle T,f\rangle }$$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle f_{m}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{m}(x)={\begin{cases}m&{\text{ if }}x\in [0,{\frac {1}{m}}]\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle f_{m},}$ $${\displaystyle \langle T_{m},f\rangle =m\int _{0}^{\frac {1}{m}}f(x)\,dx\to f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$ ${\displaystyle m\to \infty ,}$ ${\displaystyle T_{m}\to \delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle f_{m}}$

Otras propiedades

• El fuerte espacio dual de es isomorfo TVS a través del isomorfismo TVS canónico definido al enviar a valor en (es decir, al funcional lineal en definido al enviar a ); ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to ({\mathcal {D}}^{\prime }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle d(f)}$
• En cualquier subconjunto acotado del subespacio débil y fuerte las topologías coinciden; lo mismo es cierto para ; ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$
• Toda secuencia débilmente convergente en es fuertemente convergente (aunque esto no se extiende a las redes ). ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Localización de distribuciones

Preliminares: Transposición de un operador lineal

Las operaciones sobre distribuciones y espacios de distribuciones se definen a menudo por medio de la transpuesta de un operador lineal. Esto se debe a que la transpuesta permite una presentación unificada de las muchas definiciones en la teoría de distribuciones y también a que sus propiedades son bien conocidas en el análisis funcional . ^{[29] Por ejemplo, el} adjunto hermítico bien conocido de un operador lineal entre espacios de Hilbert es simplemente la transpuesta del operador (pero con el teorema de representación de Riesz utilizado para identificar cada espacio de Hilbert con su espacio dual continuo ). En general, la transpuesta de una función lineal continua es la función lineal o, equivalentemente, es la única función que satisface para todos y cada uno (el símbolo primo en no denota una derivada de ningún tipo; simplemente indica que es un elemento del espacio dual continuo ). Dado que es continua, la transpuesta también es continua cuando ambos duales están dotados de sus respectivas topologías duales fuertes ; también es continua cuando ambos duales están dotados de sus respectivas topologías débiles* (consulte los artículos topología polar y sistema dual para obtener más detalles). ${\displaystyle A:X\to Y}$ $${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,}$$ ${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y'\in Y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'}$

En el contexto de las distribuciones, la caracterización de la transpuesta se puede refinar ligeramente. Sea una función lineal continua. Entonces, por definición, la transpuesta de es el único operador lineal que satisface: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{t}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).}$$

Dado que es denso en (aquí, en realidad se refiere al conjunto de distribuciones ), es suficiente que la igualdad definitoria se cumpla para todas las distribuciones de la forma donde Explícitamente, esto significa que una función lineal continua es igual a si y solo si se cumple la condición siguiente: donde el lado derecho es igual a ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}}$ ${\displaystyle T=D_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$ $${\displaystyle \langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)}$$ ${\displaystyle \langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.}$

Extensiones y restricciones a un subconjunto abierto

Sean subconjuntos abiertos de Toda función puede extenderse por cero desde su dominio a una función en fijándola igual a en el complemento Esta extensión es una función suave y compacta llamada extensión trivial de a y se denotará por Esta asignación define el operador de extensión trivial que es una función lineal inyectiva continua. Se utiliza para identificar canónicamente como un subespacio vectorial de (aunque no como un subespacio topológico ). Su transpuesta (explicada aquí) se llama ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\setminus V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E_{VU}(f).}$ ${\displaystyle f\mapsto E_{VU}(f)}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ $${\displaystyle \rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),}$$restricción a de distribuciones en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ^[8]y como sugiere el nombre, la imagende una distribuciónbajo este mapa es una distribución enllamadarestricción deaLa condición definitoria de la restricciónes: Sientonces el mapa de extensión trivial (lineal inyectivo continuo)noesuna incrustación topológica (en otras palabras, si esta inyección lineal se usara para identificarcomo un subconjunto deentoncesla topología de seríaestrictamente más finaque latopología del subespacioqueinduce en él; lo que es importante,nosería unsubespacio topológicoya que eso requiere igualdad de topologías) y su rango tampoco esdensoen su codominio^[8]En consecuencia, sientonces el mapa de restricción no es ni inyectivo ni sobreyectivo.^[8]una distribuciónesextensible a U si pertenece al rango de la transpuesta dey se llamaextensiblesi es extensible a^[8] ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ $${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).}$$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle E_{VU}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

A menos que la restricción a no sea ni inyectiva ni sobreyectiva . ${\displaystyle U=V,}$ ${\displaystyle V}$

Espacios de distribuciones

Para todos y cada uno de los siguientes esquemas de inyección canónica son continuos y tienen una imagen/rango que es un subconjunto denso de su codominio: ^{[30] [31]} donde las topologías en los espacios LB son las topologías LF canónicas definidas a continuación (por lo que, en particular, no son las topologías de norma habituales). El rango de cada uno de los mapas anteriores (y de cualquier composición de los mapas anteriores) es denso en el codominio. De hecho, es incluso secuencialmente denso en cada ^[27] Para cada la inclusión canónica en el espacio normado (aquí tiene su topología de norma habitual ) es una inyección lineal continua y el rango de esta inyección es denso en su codominio si y solo si . ^[31] ${\displaystyle 0<k<\infty }$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p+1}(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&&&&&&&&&\\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)&&&&&&&&&&\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U).}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle p\neq \infty }$

Supóngase que es uno de los espacios LF (para ) o espacios LB (para ) o espacios normados (para ). ^[31] Debido a que la inyección canónica es una inyección continua cuya imagen es densa en el codominio, la transpuesta de este mapa es una inyección continua. Este mapa transpuesto inyectivo permite así que el espacio dual continuo de se identifique con un cierto subespacio vectorial del espacio de todas las distribuciones (específicamente, se identifica con la imagen de este mapa transpuesto). Este mapa transpuesto continuo no es necesariamente una incrustación TVS, por lo que la topología que este mapa transfiere de su dominio a la imagen es más fina que la topología del subespacio que este espacio hereda de Un subespacio lineal de que lleva una topología localmente convexa que es más fina que la topología del subespacio inducida por se llama espacio de distribuciones . ^[32] Casi todos los espacios de distribuciones mencionados en este artículo surgen de esta manera (por ejemplo, distribución templada, restricciones, distribuciones de orden algún entero, distribuciones inducidas por una medida de Radon positiva, distribuciones inducidas por una función , etc.) y cualquier teorema de representación acerca del espacio dual de X puede, a través de la transposición, ser transferido directamente a elementos del espacio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).}$

Soporte compactoL p-espacios

Dado el espacio vectorial de ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$Las funciones con soporte compacto ${\displaystyle L^{p}}$ eny su topología se definen como límites directos de los espaciosde una manera análoga a cómose definieron las topologías LF canónicas en . Para cualquier compactoseael conjunto de todos los elementos en(que recuerdan son clases de equivalencia defunciones medibles de Lebesgue en) que tienen un representantecuyo soporte (que recuerdan es la clausura deen) es un subconjunto de(tal comoestá definido casi en todas partes en). El conjuntoes un subespacio vectorial cerradoy es, por tanto, un espacio de Banach y cuandoincluso un espacio de Hilbert . ^[30] Seala unión de todoscomorangos sobre todos los subconjuntos compactos de El conjuntoes un subespacio vectorial decuyos elementos son las (clases de equivalencia de)funciones con soporte compacto definidas en(o casi en todas partes en). Dotarcon la topología final (topología límite directa) inducida por los mapas de inclusióncomorangos sobre todos los subconjuntos compactos de Esta topología se llama topología LF canónica y es igual a la topología final inducida por cualquier conjunto contable de mapas de inclusión() dondeson conjuntos compactos cualesquiera con unión igual a ^[30] Esta topología se convierteen un espacio LB (y por lo tanto también en un espacio LF ) con una topología que es estrictamente más fina que la topología de norma (subespacio) queinduce en él. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle L^{p}(K)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{u\in U:f(x)\neq 0\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{p}(K)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(K)\to L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle L^{p}(K_{n})\to L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$

Medidas de radón

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición también es una inyección continua. ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$

Nótese que el espacio dual continuo puede identificarse como el espacio de medidas de Radon , donde existe una correspondencia biunívoca entre las funciones lineales continuas y la integral con respecto a una medida de Radon; es decir, ${\displaystyle \left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle T\in \left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }}$

• si entonces existe una medida de Radon en U tal que para todos y ${\displaystyle T\in \left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\textstyle \int _{U}f\,d\mu ,}$
• Si es una medida de radón en U entonces la funcional lineal definida por es continua. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)\ni f\mapsto \textstyle \int _{U}f\,d\mu }$

A través de la inyección, cada medida de Radon se convierte en una distribución en U. Si es una función localmente integrable en U , entonces la distribución es una medida de Radon; por lo tanto, las medidas de Radon forman un espacio grande e importante de distribuciones. ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi \mapsto \textstyle \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$

El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de medidas de Radon , que muestra que cada medida de Radon puede escribirse como una suma de derivadas de funciones locales en U  : ${\displaystyle L^{\infty }}$

Teorema. ^[33]  —  Supóngaseque es una medida de Radon, dondeseaun entorno del soporte dey seaExiste una familiadefunciones locales en U tales quepara caday Además,es también igual a una suma finita de derivadas de funciones continuas endonde cada derivada tiene orden ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.}$ ${\displaystyle f=(f_{p})_{p\in I}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} f_{p}\subseteq V}$ ${\displaystyle p\in I,}$ $${\displaystyle T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \leq 2n.}$

Medidas positivas de radón

Una función lineal T en un espacio de funciones se llama positiva si siempre que una función que pertenece al dominio de T no es negativa (lo que significa que tiene un valor real y ), entonces se puede demostrar que toda función lineal positiva en es necesariamente continua (es decir, necesariamente una medida de Radon). ^[34] La medida de Lebesgue es un ejemplo de una medida de Radon positiva. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle T(f)\geq 0.}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$

Funciones integrables localmente como distribuciones

Una clase particularmente importante de medidas de Radon son aquellas que son funciones localmente integrables inducidas. La función se llama localmente integrable si es integrable según Lebesgue sobre cada subconjunto compacto K de U . ^{[nota 15]} Esta es una clase grande de funciones que incluye todas las funciones continuas y todas las funciones del espacio Lp . La topología en se define de tal manera que cualquier función localmente integrable produce una función lineal continua en –es decir, un elemento de– denotada aquí por , cuyo valor en la función de prueba está dado por la integral de Lebesgue: ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.}$$

Convencionalmente, se abusa de la notación al identificar con siempre que no surja confusión, y por lo tanto, el emparejamiento entre y a menudo se escribe ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .}$$

Si y g son dos funciones localmente integrables, entonces las distribuciones asociadas y T _g son iguales al mismo elemento de si y solo si y g son iguales casi en todas partes (ver, por ejemplo, Hörmander (1983, Teorema 1.2.5)). De manera similar, cada medida de Radon en U define un elemento de cuyo valor en la función de prueba es Como arriba, es convencional abusar de la notación y escribir el emparejamiento entre una medida de Radon y una función de prueba como A la inversa, como se muestra en un teorema de Schwartz (similar al teorema de representación de Riesz ), cada distribución que no es negativa en funciones no negativas es de esta forma para alguna medida de Radon (positiva). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \textstyle \int \phi \,d\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle \mu ,\phi \rangle .}$

Las funciones de prueba se consideran distribuciones

Las funciones de prueba son en sí mismas integrables localmente y, por lo tanto, definen distribuciones. El espacio de funciones de prueba es secuencialmente denso en con respecto a la topología fuerte en ^[28]. Esto significa que para cualquier hay una secuencia de funciones de prueba, que converge a (en su topología dual fuerte) cuando se considera como una secuencia de distribuciones. O equivalentemente, ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle (\phi _{i})_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ $${\displaystyle \langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Además, también es secuencialmente denso en el espacio dual fuerte de ^[28] ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Distribuciones con soporte compacto

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. Así, la imagen de la transpuesta, denotada por forma un espacio de distribuciones cuando está dotada de la topología dual fuerte de (transferida a ella a través del mapa de transpuesta, por lo que la topología de es más fina que la topología del subespacio que este conjunto hereda de ). ^[35] ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle \left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {E}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Los elementos de pueden identificarse como el espacio de distribuciones con soporte compacto. ^[35] Explícitamente, si T es una distribución en U entonces las siguientes son equivalentes, ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(U)=\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}^{\prime }(U)}$;
• el soporte de T es compacto;
• la restricción de cuando ese espacio está equipado con la topología de subespacio heredada de (una topología más burda que la topología LF canónica), es continua; ^[35] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$
• existe un subconjunto compacto K de U tal que para cada función de prueba cuyo soporte esté completamente fuera de K , tenemos ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T(\phi )=0.}$

Las distribuciones con soporte compacto definen funciones lineales continuas en el espacio ; recuerde que la topología en se define de modo que una secuencia de funciones de prueba converge a 0 si y solo si todas las derivadas de convergen uniformemente a 0 en cada subconjunto compacto de U . A la inversa, se puede demostrar que cada función lineal continua en este espacio define una distribución con soporte compacto. Por lo tanto, las distribuciones con soporte compacto se pueden identificar con aquellas distribuciones que se pueden extender de a ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Distribuciones de orden finito

Sea El mapa de inclusión una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. En consecuencia, la imagen de denotada por forma un espacio de distribuciones cuando está dotada de la topología dual fuerte de (transferida a ella mediante el mapa de transpuesta por lo que la topología de es más fina que la topología del subespacio que este conjunto hereda de ). Los elementos de son las distribuciones de orden ^[36] Las distribuciones de orden que también se denominan distribuciones de orden son exactamente las distribuciones que son medidas de Radon (descritas anteriormente). ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C_{c}^{k}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$ ${\displaystyle \left(C_{c}^{k}(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{m}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)}$ ${\displaystyle \,\leq k.}$ ${\displaystyle \,\leq 0,}$ ${\displaystyle 0,}$

Porque una distribución de orden es una distribución de orden que no es una distribución de orden ^[36] ${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \,\leq k}$ ${\displaystyle \,\leq k-1}$

Se dice que una distribución es de orden finito si hay algún entero k tal que es una distribución de orden y el conjunto de distribuciones de orden finito se denota por Nótese que si entonces de modo que es un subespacio vectorial de y además, si y solo si ^[36] ${\displaystyle \,\leq k,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U).}$ ${\displaystyle k\leq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$

Estructura de distribuciones de orden finito

Toda distribución con soporte compacto en U es una distribución de orden finito. ^[36] En efecto, toda distribución en U es localmente una distribución de orden finito, en el siguiente sentido: ^[36] Si V es un subconjunto abierto y relativamente compacto de U y si es la aplicación de restricción de U a V , entonces la imagen de bajo está contenida en ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(V).}$

El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de orden finito, que muestra que toda distribución de orden finito puede escribirse como una suma de derivadas de medidas de Radon :

Teorema ^[36]  —  Supóngase que tiene orden finito y Dado cualquier subconjunto abierto V de U que contiene el soporte de T , existe una familia de medidas de Radon en U , tal que para muy y ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.}$ ${\displaystyle (\mu _{p})_{p\in I},}$ ${\displaystyle p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V}$ $${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.}$$

Ejemplo. (Distribuciones de orden infinito) Sea y para cada función de prueba sea ${\displaystyle U:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).}$$

Entonces S es una distribución de orden infinito en U . Además, S no puede extenderse a una distribución en ; es decir, no existe ninguna distribución T en tal que la restricción de T a U sea igual a T . ^[37] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Distribuciones templadas y transformada de Fourier

A continuación se definen las distribuciones templadas , que forman un subespacio del espacio de distribuciones en Este es un subespacio propio: mientras que cada distribución templada es una distribución y un elemento de la inversa no es cierta. Las distribuciones templadas son útiles si se estudia la transformada de Fourier, ya que todas las distribuciones templadas tienen una transformada de Fourier, que no es cierta para una distribución arbitraria en ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Espacio Schwartz

El espacio de Schwartz es el espacio de todas las funciones suaves que decrecen rápidamente en el infinito junto con todas las derivadas parciales. Por lo tanto, está en el espacio de Schwartz siempre que cualquier derivada de multiplicada por cualquier potencia de converja a 0 como Estas funciones forman un TVS completo con una familia de seminormas adecuadamente definida . Más precisamente, para cualquier multiíndice y defina: ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle |x|,}$ ${\displaystyle |x|\to \infty .}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )~=~\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.}$$

Entonces está en el espacio de Schwartz si todos los valores satisfacen: ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .}$$

La familia de seminormas define una topología localmente convexa en el espacio de Schwartz, ya que las seminormas son, de hecho, normas en el espacio de Schwartz. También se puede utilizar la siguiente familia de seminormas para definir la topología: ^[38] ${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle n=1,}$ $${\displaystyle |f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .}$$

De lo contrario, se puede definir una norma sobre la base de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \|\phi \|_{k}~=~\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.}$$

El espacio de Schwartz es un espacio de Fréchet (es decir, un espacio localmente convexo metrizable completo ). Como la transformada de Fourier se transforma en multiplicación por y viceversa, esta simetría implica que la transformada de Fourier de una función de Schwartz también es una función de Schwartz. ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$

Una secuencia en converge a 0 en si y sólo si las funciones convergen a 0 de manera uniforme en su totalidad, lo que implica que dicha secuencia debe converger a cero en ^[38] ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$es denso en El subconjunto de todas las funciones analíticas de Schwartz también es denso en. ^[39] ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

El espacio de Schwartz es nuclear y el producto tensorial de dos mapas induce un isomorfismo TVS sobreyectivo canónico donde representa la compleción del producto tensorial inyectivo (que en este caso es idéntico a la compleción del producto tensorial proyectivo ). ^[40] $${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),}$$ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

Distribuciones templadas

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. Así, la imagen del mapa transpuesto, denotada por forma un espacio de distribuciones cuando está dotada de la topología dual fuerte de (transferida a ella a través del mapa transpuesto, por lo que la topología de es más fina que la topología de subespacio que este conjunto hereda de ). ${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle ({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

El espacio se denomina espacio de distribuciones templadas . Es el dual continuo del espacio de Schwartz. De manera equivalente, una distribución T es una distribución templada si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.}$$

La derivada de una distribución templada es nuevamente una distribución templada. Las distribuciones templadas generalizan las funciones localmente integrables acotadas (o de crecimiento lento); todas las distribuciones con soporte compacto y todas las funciones integrables al cuadrado son distribuciones templadas. De manera más general, todas las funciones que son productos de polinomios con elementos del espacio Lp para son distribuciones templadas. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Las distribuciones templadas también se pueden caracterizar como de crecimiento lento , lo que significa que cada derivada de T crece como máximo tan rápido como algún polinomio . Esta caracterización es dual con el comportamiento de caída rápida de las derivadas de una función en el espacio de Schwartz, donde cada derivada de decae más rápido que cada potencia inversa de Un ejemplo de una función de caída rápida es para cualquier función positiva ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |x|.}$ ${\displaystyle |x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })}$ ${\displaystyle n,\lambda ,\beta .}$

Transformada de Fourier

Para estudiar la transformada de Fourier, es mejor considerar funciones de prueba de valor complejo y distribuciones lineales complejas. La transformada de Fourier continua ordinaria es un automorfismo TVS del espacio de Schwartz, y la transformada de Fourier se define como su transpuesta que (abusando de la notación) nuevamente se denotará por F . Entonces, la transformada de Fourier de la distribución templada T se define por para cada función de Schwartz es, por lo tanto, nuevamente una distribución templada. La transformada de Fourier es un isomorfismo TVS del espacio de distribuciones templadas sobre sí mismo. Esta operación es compatible con la diferenciación en el sentido de que y también con la convolución: si T es una distribución templada y es una función suave de crecimiento lento en es nuevamente una distribución templada y es la convolución de y . En particular, la transformada de Fourier de la función constante igual a 1 es la distribución. ${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}F:{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle (FT)(\psi )=T(F\psi )}$ ${\displaystyle \psi .}$ ${\displaystyle FT}$ $${\displaystyle F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \psi T}$ $${\displaystyle F(\psi T)=F\psi *FT}$$ ${\displaystyle FT}$ ${\displaystyle F\psi }$ ${\displaystyle \delta }$

Expresar distribuciones templadas como sumas de derivadas

Si es una distribución templada, entonces existen una constante y números enteros positivos M y N tales que para todas las funciones de Schwartz ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C>0,}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).}$$

Esta estimación junto con algunas técnicas de análisis funcional se puede utilizar para demostrar que existe una función F continua que aumenta lentamente y un índice múltiple tal que ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F.}$$

Restricción de distribuciones a conjuntos compactos

Si entonces para cualquier conjunto compacto existe una función continua F soportada de forma compacta en (posiblemente en un conjunto mayor que el propio K ) y un multiíndice tal que en ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K).}$

Producto tensorial de distribuciones

Sean y conjuntos abiertos. Supóngase que todos los espacios vectoriales están sobre el cuerpo donde o Para definir para cada y cada una de las siguientes funciones: ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle v\in V}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}}$$

Dadas y definamos las siguientes funciones: donde y Estas definiciones asocian cada y con el mapa lineal continuo (respectivo): ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&f&&\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&&f&&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}}$$

Además, si alguno (resp. ) tiene soporte compacto, entonces también induce un mapa lineal continuo de (resp. ). ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)}$

Teorema de Fubini para distribuciones ^[41]  —  SeaySientonces ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V).}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ $${\displaystyle \langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

El producto tensorial de y ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$ denotado por o es la distribución en definida por: ^[41] ${\displaystyle S\otimes T}$ ${\displaystyle T\otimes S,}$ ${\displaystyle U\times V}$ $${\displaystyle (S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

Teorema del núcleo de Schwartz

El producto tensorial define una función bilineal, el espacio que abarca esta función es un subespacio denso de su codominio. Además, ^[41] Además, induce funciones bilineales continuas: donde denota el espacio de distribuciones con soporte compacto y es el espacio de Schwartz de funciones rápidamente decrecientes. ^[14] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\times {\mathcal {D}}^{\prime }(V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}^{\prime }(U\times V)\\&~~~~~~~~(S,T)&&\mapsto \,&&S\otimes T\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S\otimes T)=\operatorname {supp} (S)\times \operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle (S,T)\mapsto S\otimes T}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}&{\mathcal {E}}^{\prime }(U)&&\times {\mathcal {E}}^{\prime }(V)&&\to {\mathcal {E}}^{\prime }(U\times V)\\&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})&&\times {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})&&\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Teorema del núcleo de Schwartz ^[40]  —  Cada uno de los mapas canónicos a continuación (definidos de forma natural) son isomorfismos TVS : Aquírepresenta la compleción del producto tensorial inyectivo (que en este caso es idéntico a la compleción del producto tensorial proyectivo , ya que estos espacios son nucleares ) ytiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados . $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})~&&~\cong ~&&~{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m});&&\;{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}))\\&{\mathcal {E}}^{\prime }(U\times V)~&&~\cong ~&&~{\mathcal {E}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {E}}^{\prime }(V)~&&~\cong ~&&~L_{b}(C^{\infty }(U);&&\;{\mathcal {E}}^{\prime }(V))\\&{\mathcal {D}}^{\prime }(U\times V)~&&~\cong ~&&~{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {D}}^{\prime }(V)~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {D}}(U);&&\;{\mathcal {D}}^{\prime }(V))\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Este resultado no se cumple para espacios de Hilbert como y su espacio dual. ^[42] ¿Por qué se cumple un resultado así para el espacio de distribuciones y funciones de prueba pero no para otros espacios "agradables" como el espacio de Hilbert ? Esta pregunta llevó a Alexander Grothendieck a descubrir los espacios nucleares , los mapas nucleares y el producto tensorial inyectivo . Finalmente demostró que es precisamente porque es un espacio nuclear que se cumple el teorema del núcleo de Schwartz . Al igual que los espacios de Hilbert, los espacios nucleares pueden considerarse como generalizaciones del espacio euclidiano de dimensión finita. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$

Uso de funciones holomorfas como funciones de prueba

El éxito de la teoría condujo a la investigación de la idea de hiperfunción , en la que se utilizan espacios de funciones holomorfas como funciones de prueba. Se ha desarrollado una teoría refinada, en particular el análisis algebraico de Mikio Sato , utilizando la teoría de haces y varias variables complejas . Esto amplía la gama de métodos simbólicos que se pueden utilizar en matemáticas rigurosas, por ejemplo, las integrales de Feynman .

Véase también

• Álgebra de Colombeau  : álgebra diferencial asociativa conmutativa de funciones generalizadas en la que las funciones suaves (pero no las continuas arbitrarias) se integran como un subálgebra y las distribuciones se integran como un subespacioPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Matemáticas actuales  : Distribuciones en espacios de formas diferenciales
• Distribución (teoría de números)  : función en conjuntos finitos que es análoga a una integral.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Distribución en un grupo algebraico lineal  – Función lineal que satisface una condición de soporte
• Triple de Gelfand  : construcción que vincula el estudio de los valores propios "atados" y continuos en el análisis funcionalPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función generalizada  – Objetos que extienden la noción de funciones
• Distribución homogénea
• Hiperfunción  – Tipo de función generalizada
• Laplaciano del indicador  – Límite de sucesión de funciones suaves
• Límite de una distribución
• Forma lineal  : aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares
• Teorema de Malgrange-Ehrenpreis
• Operador pseudodiferencial  – Tipo de operador diferencialPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de representación de Riesz  – Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert
• Topología vaga
• Solución débil  – Solución matemática

Notas

1. El espacio de Schwartz consiste en funciones de prueba suaves que decrecen rápidamente, donde "decreciente rápidamente" significa que la función decrece más rápido de lo que aumenta cualquier polinomio a medida que los puntos en su dominio se alejan del origen.
2. Excepto el mapa trivial (es decir, idéntico), que por supuesto siempre es analítico. ${\displaystyle 0}$
3. Tenga en cuenta que ser un número entero implica Esto a veces se expresa como Dado que la desigualdad " " significa: si mientras si entonces significa ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\neq \infty .}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1.}$ ${\displaystyle \infty +1=\infty ,}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1}$ ${\displaystyle 0\leq i<\infty }$ ${\displaystyle k=\infty ,}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k.}$
4. La imagen del conjunto compacto bajo una función de valor continuo (por ejemplo, para ) es en sí misma un subconjunto compacto y, por lo tanto, acotado, de Si entonces esto implica que cada una de las funciones definidas anteriormente es de valor continuo (es decir, ninguno de los supremos anteriores es igual a ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$
5. Si tomamos como el conjunto de todos los subconjuntos compactos de U entonces podemos usar la propiedad universal de los límites directos para concluir que la inclusión es una continua e incluso que son incrustaciones topológicas para cada subconjunto compacto Sin embargo, si tomamos como el conjunto de cierres de alguna secuencia creciente numerable de subconjuntos abiertos relativamente compactos de U que tienen todas las propiedades mencionadas anteriormente en este artículo, entonces deducimos inmediatamente que es un LF-espacio estricto localmente convexo de Hausdorff (e incluso un LB-espacio estricto cuando ). Todos estos hechos también se pueden demostrar directamente sin usar sistemas directos (aunque con más trabajo). ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$
6. Para cualquier TVS X ( metrizable o no), la noción de completitud depende enteramente de una cierta denominada " uniformidad canónica " que se define utilizando únicamente la operación de sustracción (véase el artículo Espacio vectorial topológico completo para más detalles). De esta manera, la noción de un TVS completo no requiere la existencia de ninguna métrica . Sin embargo, si el TVS X es metrizable y si es cualquier métrica invariante a la traslación en X que define su topología, entonces X es completo como un TVS (es decir, es un espacio uniforme completo bajo su uniformidad canónica) si y solo si es un espacio métrico completo . Así que si resulta que un TVS X tiene una topología que puede definirse por una métrica d, entonces d puede usarse para deducir la completitud de X, pero la existencia de una métrica no es necesaria para definir la completitud e incluso es posible deducir que un TVS metrizable es completo sin siquiera considerar una métrica (por ejemplo, dado que el producto cartesiano de cualquier colección de TVS completos es nuevamente un TVS completo, podemos deducir inmediatamente que el TVS que resulta ser metrizable es un TVS completo; nótese que no hubo necesidad de considerar ninguna métrica en ). ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
7. Una razón para dar la topología LF canónica es porque es con esta topología que y su espacio dual continuo se convierten en espacios nucleares, que tienen muchas propiedades agradables y que pueden verse como una generalización de los espacios de dimensión finita (para comparación, los espacios normados son otra generalización de los espacios de dimensión finita que tienen muchas propiedades "agradables"). En más detalle, hay dos clases de espacios vectoriales topológicos (TVS) que son particularmente similares a los espacios euclidianos de dimensión finita : los espacios de Banach (especialmente los espacios de Hilbert ) y los espacios nucleares de Montel . Los espacios de Montel son una clase de TVS en los que cada subconjunto cerrado y acotado es compacto (esto generaliza el teorema de Heine-Borel ), que es una propiedad que ningún espacio de Banach de dimensión infinita puede tener; es decir, ningún TVS de dimensión infinita puede ser a la vez un espacio de Banach y un espacio de Montel. Además, ningún TVS de dimensión infinita puede ser a la vez un espacio de Banach y un espacio nuclear. Todos los espacios euclidianos de dimensión finita son espacios nucleares de Montel Hilbert , pero una vez que uno entra en el espacio de dimensión infinita, estas dos clases se separan. Los espacios nucleares en particular tienen muchas de las propiedades "agradables" de los TVS de dimensión finita (por ejemplo, el teorema del núcleo de Schwartz ) de las que carecen los espacios de Banach de dimensión infinita (para más detalles, vea las propiedades, condiciones suficientes y caracterizaciones dadas en el artículo Espacio nuclear ). Es en este sentido que los espacios nucleares son una "generalización alternativa" de los espacios de dimensión finita. Además, como regla general, en la práctica la mayoría de los TVS "que ocurren naturalmente" suelen ser espacios de Banach o espacios nucleares. Típicamente, la mayoría de los TVS que están asociados con suavidad (es decir, diferenciabilidad infinita , como y ) terminan siendo TVS nucleares, mientras que los TVS asociados con diferenciabilidad continua finita (como con K compacto y ) a menudo terminan siendo espacios no nucleares, como los espacios de Banach. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$
8. Aunque la topología de no es metrizable, una funcional lineal en es continua si y sólo si es secuencialmente continua. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$
9. Una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
10. una secuencia es convergente de Mackey a 0 en si existe una secuencia divergente de números reales positivos tal que es un conjunto acotado en ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$
11. Si también es un conjunto dirigido bajo la comparación de funciones habitual, entonces podemos tomar la colección finita como formada por un solo elemento. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
12. En el análisis funcional , la topología dual fuerte es a menudo la topología "estándar" o "predeterminada" ubicada en el espacio dual continuo , donde si X es un espacio normalizado , entonces esta topología dual fuerte es la misma que la topología inducida por norma habitual en ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle X'.}$
13. Técnicamente, la topología debe ser más burda que la topología dual fuerte y también, al mismo tiempo, más fina que la topología débil* .
14. Recuerde que un mapa lineal está acotado si y solo si asigna secuencias nulas a secuencias acotadas.
15. Para obtener más información sobre esta clase de funciones, consulte la entrada sobre funciones integrables localmente .

Referencias

1. Trèves 2006, págs. 222-223.
2. Véase por ejemplo Grubb 2009, pág. 14.
3. Trèves 2006, págs. 85–89.
4. Trèves 2006, págs. 142-149.
5. Trèves 2006, págs. 356–358.
6. Rudin 1991, págs. 149-181.
7. Trèves 2006, págs. 131-134.
8. Trèves 2006, págs. 245-247.
9. Trèves 2006, págs. 247-252.
10. Trèves 2006, págs. 126-134.
11. Trèves 2006, págs. 136-148.
12. Rudin 1991, págs. 149-155.
13. Narici y Beckenstein 2011, págs. 446–447.
14. Trèves 2006, pág. 423.
15. Véase por ejemplo Schaefer & Wolff 1999, pág. 173.
16. Gabriyelyan, Saak "Propiedades topológicas de los espacios LF estrictos y duales fuertes de los espacios LF estrictos de Montel" (2017)
17. Gabriyelyan, SS Kakol J. y Leiderman, A. "La propiedad fuerte de Pitkeev para grupos topológicos y espacios vectoriales topológicos"
18. Trèves 2006, págs. 195-201.
19. Narici y Beckenstein 2011, pág. 435.
20. Trèves 2006, págs. 526–534.
21. Trèves 2006, pág. 357.
22. "Espacio vectorial topológico". Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 . Es un espacio de Montel, por lo tanto paracompacto y, por lo tanto, normal.
23. T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Académico de Japón. 35 (1959), 31-36.
24. Según Gel'fand y Shilov 1966-1968, v. 1, §1.2
25. Trèves 2006, págs. 351–359.
26. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
27. Trèves 2006, págs. 150-160.
28. Trèves 2006, págs. 300–304.
29. Strichartz 1994, §2.3; Tréves 2006.
30. Trèves 2006, págs. 131-135.
31. Trèves 2006, págs. 240-245.
32. Trèves 2006, págs. 240-252.
33. Trèves 2006, págs. 262-264.
34. Trèves 2006, pág. 218.
35. Trèves 2006, págs. 255-257.
36. Trèves 2006, págs. 258-264.
37. Rudin 1991, págs. 177-181.
38. Trèves 2006, págs. 92–94.
39. Trèves 2006, págs. 160.
40. Trèves 2006, pág. 531.
41. Trèves 2006, págs. 416–419.
42. Trèves 2006, págs. 509–510.

Bibliografía

• Barros-Neto, José (1973). Introducción a la teoría de las distribuciones . Nueva York, Nueva York: Dekker.
• Benedetto, JJ (1997), Análisis armónico y aplicaciones , CRC Press.
• Folland, GB (1989). Análisis armónico en el espacio de fases . Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Friedlander, FG; Joshi, MS (1998). Introducción a la teoría de distribuciones . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press..
• Gårding, L. (1997), Algunos puntos de análisis y su historia , American Mathematical Society.
• Gel'fand, IM ; Shilov, GE (1966–1968), Funciones generalizadas , vol. 1–5, Academic Press.
• Grubb, G. (2009), Distribuciones y operadores , Springer.
• Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, Sr.  0717035.
• Horváth, John (1966). Espacios vectoriales topológicos y distribuciones . Serie Addison-Wesley en matemáticas. Vol. 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (1957). Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional . Dover Books on Mathematics. Nueva York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2.OCLC 912495626  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Petersen, Bent E. (1983). Introducción a la transformada de Fourier y a los operadores pseudodiferenciales . Boston, MA: Pitman Publishing..
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schwartz, Laurent (1954), "Sur l'impossibilité de la multiplications des Distributions", CR Acad. Ciencia. París , 239 : 847–848.
• Schwartz, Laurent (1951), Teoría de las distribuciones , vol. 1-2, Hermann.
• Sobolev, SL (1936), "Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales", Mat. Sborník , 1 : 39–72.
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Strichartz, R. (1994), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Woodward, PM (1953). Probabilidad y teoría de la información con aplicaciones al radar . Oxford, Reino Unido: Pergamon Press.

Lectura adicional

• MJ Lighthill (1959). Introducción al análisis de Fourier y funciones generalizadas . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requiere muy pocos conocimientos de análisis; define las distribuciones como límites de secuencias de funciones bajo integrales). 
• V. S. Vladimirov (2002). Métodos de la teoría de funciones generalizadas . Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0 
• Vladimirov, V. S. (2001) [1994], "Función generalizada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, V. S. (2001) [1994], "Funciones generalizadas, espacio de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Función generalizada, derivada de a", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, V. S. (2001) [1994], "Funciones generalizadas, producto de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Oberguggenberger, Michael (2001) [1994], "Álgebras de funciones generalizadas", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press.