Teoría K algebraica

Área temática en matemáticas

La teoría K algebraica es un área temática de matemáticas con conexiones con la geometría , la topología , la teoría de anillos y la teoría de números . A los objetos geométricos, algebraicos y aritméticos se les asignan objetos llamados K ​​-grupos. Estos son grupos en el sentido del álgebra abstracta . Contienen información detallada sobre el objeto original pero son notoriamente difíciles de calcular; por ejemplo, un importante problema pendiente es calcular los K grupos de los números enteros .

La teoría K fue descubierta a finales de la década de 1950 por Alexander Grothendieck en su estudio de la teoría de la intersección en variedades algebraicas . En el lenguaje moderno, Grothendieck definió sólo K ₀ , el grupo K cero , pero incluso este grupo tiene muchas aplicaciones, como el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . La teoría de la intersección sigue siendo una fuerza motivadora en el desarrollo de la teoría K algebraica (superior) a través de sus vínculos con la cohomología motívica y específicamente con los grupos de Chow . El tema también incluye temas clásicos de la teoría de números como la reciprocidad cuadrática y la incorporación de campos numéricos en números reales y complejos , así como preocupaciones más modernas como la construcción de reguladores superiores y valores especiales de funciones L.

Los grupos K inferiores fueron descubiertos primero, en el sentido de que se encontraron descripciones adecuadas de estos grupos en términos de otras estructuras algebraicas. Por ejemplo, si F es un campo , entonces K ₀ ( F ) es isomorfo a los números enteros Z y está estrechamente relacionado con la noción de dimensión del espacio vectorial . Para un anillo conmutativo R , el grupo K ₀ ( R ) está relacionado con el grupo Picard de R , y cuando R es el anillo de números enteros en un campo numérico, esto generaliza la construcción clásica del grupo de clases . El grupo K ₁ ( R ) está estrechamente relacionado con el grupo de unidades R ^× , y si R es un campo, es exactamente el grupo de unidades. Para un campo numérico F , el grupo K ₂ ( F ) está relacionado con la teoría de campos de clases , el símbolo de Hilbert y la solubilidad de ecuaciones cuadráticas sobre terminaciones. Por el contrario, encontrar la definición correcta de los grupos K superiores de anillos fue un logro difícil de Daniel Quillen , y muchos de los hechos básicos sobre los grupos K superiores de variedades algebraicas no se conocieron hasta el trabajo de Robert Thomason .

Historia

La historia de la teoría K fue detallada por Charles Weibel . ^[1]

El grupo Grothendieck K 0

En el siglo XIX, Bernhard Riemann y su alumno Gustav Roch demostraron lo que hoy se conoce como teorema de Riemann-Roch . Si X es una superficie de Riemann , entonces los conjuntos de funciones meromórficas y formas diferenciales meromórficas en X forman espacios vectoriales. Un paquete de líneas en X determina los subespacios de estos espacios vectoriales, y si X es proyectivo, entonces estos subespacios son de dimensión finita. El teorema de Riemann-Roch establece que la diferencia de dimensiones entre estos subespacios es igual al grado del haz de líneas (una medida de torsión) más uno menos el género de X. A mediados del siglo XX, Friedrich Hirzebruch generalizó el teorema de Riemann-Roch a todas las variedades algebraicas. En la formulación de Hirzebruch, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , el teorema se convirtió en una declaración sobre las características de Euler : la característica de Euler de un paquete de vectores en una variedad algebraica (que es la suma alterna de las dimensiones de sus grupos de cohomología) es igual a la característica de Euler. del paquete trivial más un factor de corrección proveniente de clases características del paquete vectorial. Esta es una generalización porque en una superficie proyectiva de Riemann, la característica de Euler de un haz de líneas es igual a la diferencia de dimensiones mencionada anteriormente, la característica de Euler del haz trivial es uno menos el género y la única clase característica no trivial es el grado.

El tema de la teoría K toma su nombre de una construcción de 1957 de Alexander Grothendieck que apareció en el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , su generalización del teorema de Hirzebruch. ^[2] Sea X una variedad algebraica suave. A cada paquete de vectores en X , Grothendieck asocia un invariante, su clase . El conjunto de todas las clases en X se llamó K ( X ) del alemán Klasse . Por definición, K ( X ) es un cociente del grupo abeliano libre en clases de isomorfismo de haces de vectores en X , por lo que es un grupo abeliano. Si el elemento base correspondiente a un paquete de vectores V se denota por [ V ], entonces para cada secuencia corta exacta de paquetes de vectores:

${\displaystyle 0\to V'\to V\to V''\to 0,}$

Grothendieck impuso la relación [ V ] = [ V′ ] + [ V″ ] . Estos generadores y relaciones definen K ( X ) e implican que es la forma universal de asignar invariantes a paquetes de vectores de una manera compatible con secuencias exactas.

Grothendieck adoptó la perspectiva de que el teorema de Riemann-Roch es una afirmación sobre morfismos de variedades, no sobre las variedades en sí. Demostró que existe un homomorfismo de K ( X ) a los grupos Chow de X provenientes del carácter Chern y la clase Todd de X. Además, demostró que un morfismo propio f  : X → Y para una variedad suave Y determina un homomorfismo f _*  : K ( X ) → K ( Y ) llamado pushforward . Esto proporciona dos formas de determinar un elemento en el grupo Chow de Y a partir de un paquete de vectores en X : A partir de X , primero se puede calcular el avance en la teoría K y luego aplicar el carácter Chern y la clase Todd de Y , o se puede Primero aplique el carácter Chern y la clase Todd de X y luego calcule el avance para los grupos Chow. El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch dice que son iguales. Cuando Y es un punto, un paquete de vectores es un espacio vectorial, la clase de un espacio vectorial es su dimensión y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch se especializa en el teorema de Hirzebruch.

El grupo K ( X ) ahora se conoce como K ₀ ( X ). Al reemplazar los haces de vectores por módulos proyectivos, K ₀ también quedó definido para anillos no conmutativos, donde tenía aplicaciones para representaciones de grupos . Atiyah y Hirzebruch transportaron rápidamente la construcción de Grothendieck a la topología y la utilizaron para definir la teoría K topológica . ^{[3] La teoría} K topológica fue uno de los primeros ejemplos de una extraordinaria teoría de cohomología : asocia a cada espacio topológico X (que satisface algunas restricciones técnicas leves) una secuencia de grupos K _n ( X ) que satisfacen todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod. excepto el axioma de normalización. Sin embargo, el entorno de las variedades algebraicas es mucho más rígido y las construcciones flexibles utilizadas en topología no estaban disponibles. Si bien el grupo K ₀ parecía satisfacer las propiedades necesarias para ser el comienzo de una teoría de cohomología de variedades algebraicas y de anillos no conmutativos, no había una definición clara del grupo K _n ( X ) superior. Incluso cuando se desarrollaron tales definiciones, los problemas técnicos relacionados con la restricción y el pegado generalmente obligaron a definir K _{n sólo para los anillos, no para las variedades.}

K 0 , K 1 y K 2

JHC Whitehead introdujo anteriormente un grupo estrechamente relacionado con K ₁ para anillos de grupo . Henri Poincaré había intentado definir los números de Betti de una variedad en términos de una triangulación. Sus métodos, sin embargo, tenían una seria laguna: Poincaré no podía demostrar que dos triangulaciones de una variedad siempre dieran los mismos números de Betti. Era claramente cierto que los números de Betti no cambiaban al subdividir la triangulación y, por lo tanto, estaba claro que dos triangulaciones cualesquiera que compartieran una subdivisión común tenían los mismos números de Betti. Lo que no se sabía era que dos triangulaciones cualesquiera admitieran una subdivisión común. Esta hipótesis se convirtió en una conjetura conocida como Hauptvermutung (más o menos "conjetura principal"). El hecho de que las triangulaciones fueran estables bajo subdivisión llevó a JHC Whitehead a introducir la noción de tipo de homotopía simple . ^[4] Una equivalencia de homotopía simple se define en términos de agregar simples o celdas a un complejo simplicial o complejo de celdas de tal manera que cada simplex adicional o deformación de celda se retraiga a una subdivisión del espacio antiguo. Parte de la motivación para esta definición es que una subdivisión de una triangulación es equivalente en homotopía simple a la triangulación original y, por lo tanto, dos triangulaciones que comparten una subdivisión común deben ser equivalentes en homotopía simple. Whitehead demostró que la equivalencia de homotopía simple es una invariante más fina que la equivalencia de homotopía introduciendo una invariante llamada torsión . La torsión de una equivalencia de homotopía toma valores en un grupo ahora llamado grupo de Whitehead y denotado Wh ( π ), donde π es el grupo fundamental del complejo objetivo. Whitehead encontró ejemplos de torsión no triviales y demostró así que algunas equivalencias de homotopía no eran simples. Más tarde se descubrió que el grupo de Whitehead era un cociente de K ₁ ( Z π ), donde Z π es el anillo de grupo integral de π . Posteriormente, John Milnor utilizó la torsión de Reidemeister , una invariante relacionada con la torsión de Whitehead, para refutar la Hauptvermutung.

La primera definición adecuada de K ₁ de un anillo fue realizada por Hyman Bass y Stephen Schanuel . ^[5] En la teoría K topológica , K ₁ se define utilizando haces de vectores en una suspensión del espacio. Todos estos paquetes de vectores provienen de la construcción de embrague , donde dos paquetes de vectores triviales en dos mitades de un espacio se pegan a lo largo de una franja común del espacio. Estos datos de pegado se expresan utilizando el grupo lineal general , pero los elementos de ese grupo provenientes de matrices elementales (matrices correspondientes a operaciones elementales de fila o columna) definen pegados equivalentes. Motivado por esto, la definición de Bass-Schanuel de K ₁ de un anillo R es GL ( R ) / E ( R ) , donde GL ( R ) es el grupo lineal general infinito (la unión de todos los GL _n ( R )) y E ( R ) es el subgrupo de matrices elementales. También proporcionaron una definición de K ₀ de un homomorfismo de anillos y demostraron que K ₀ y K ₁ podían encajarse en una secuencia exacta similar a la secuencia exacta de homología relativa.

El trabajo en teoría K de este período culminó en el libro de Bass Teoría K algebraica . ^[6] Además de proporcionar una exposición coherente de los resultados entonces conocidos, Bass mejoró muchos de los enunciados de los teoremas. De particular interés es que Bass, basándose en su trabajo anterior con Murthy, ^[7] proporcionó la primera prueba de lo que ahora se conoce como el teorema fundamental de la teoría K algebraica . Esta es una secuencia exacta de cuatro términos que relaciona K ₀ de un anillo R con K ₁ de R , el anillo polinomial R [ t ] y la localización R [ t , t ⁻¹ ]. Bass reconoció que este teorema proporcionaba una descripción de K ₀ enteramente en términos de K ₁ . Al aplicar esta descripción de forma recursiva, produjo K -grupos negativos K _−n ( R ). En un trabajo independiente, Max Karoubi dio otra definición de grupos K negativos para ciertas categorías y demostró que sus definiciones producían los mismos grupos que las de Bass. ^[8]

El siguiente gran avance en el tema llegó con la definición de K ₂ . Steinberg estudió las extensiones centrales universales de un grupo de Chevalley sobre un campo y hizo una presentación explícita de este grupo en términos de generadores y relaciones. ^[9] En el caso del grupo E _n ( k ) de matrices elementales, la extensión central universal ahora se escribe St _n ( k ) y se llama grupo de Steinberg . En la primavera de 1967, John Milnor definió K ₂ ( R ) como el núcleo del homomorfismo St ( R ) → E ( R ) . ^[10] El grupo K ₂ amplió aún más algunas de las secuencias exactas conocidas para K ₁ y K ₀ , y tuvo sorprendentes aplicaciones en la teoría de números. La tesis de Hideya Matsumoto de 1968 ^[11] mostró que para un campo F , K ₂ ( F ) era isomorfo a:

${\displaystyle F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle x\otimes (1-x)\colon x\in F\setminus \{0,1\}\rangle .}$

Esta relación también la satisface el símbolo de Hilbert , que expresa la solubilidad de ecuaciones cuadráticas sobre campos locales . En particular, John Tate pudo demostrar que K ₂ ( Q ) se estructura esencialmente en torno a la ley de reciprocidad cuadrática .

Grupos K superiores

A finales de los años 1960 y principios de los años 1970, se propusieron varias definiciones de la teoría K superior. Swan ^[12] y Gersten ^[13] produjeron definiciones de K _n para todo n , y Gersten demostró que sus teorías y las de Swan eran equivalentes, pero no se sabía que las dos teorías satisficieran todas las propiedades esperadas. Nobile y Villamayor también propusieron una definición de grupos K superiores . ^{[14] Karoubi y Villamayor definieron grupos} K de buen comportamiento para todos los n , ^[15] pero su equivalente de K ₁ era a veces un cociente adecuado del K ₁ de Bass-Schanuel . Sus grupos K ahora se denominan KV _n y están relacionados con modificaciones invariantes de homotopía de la teoría K.

Inspirado en parte por el teorema de Matsumoto, Milnor hizo una definición de los grupos K superiores de un campo. ^[16] Se refirió a su definición como "puramente ad hoc ", ^[17] y no parecía generalizarse a todos los anillos ni parecía ser la definición correcta de la teoría K superior de campos. Mucho más tarde, Nesterenko y Suslin ^[18] y Totaro ^[19] descubrieron que la teoría K de Milnor es en realidad una suma directa de la verdadera teoría K del campo. Específicamente, los grupos K tienen una filtración llamada filtración de peso , y la teoría K de Milnor de un campo es la parte de mayor clasificación de peso de la teoría K. Además, Thomason descubrió que no existe un análogo de la teoría de Milnor K para una variedad general. ^[20]

La primera definición de teoría K superior que fue ampliamente aceptada fue la de Daniel Quillen . ^[21] Como parte del trabajo de Quillen sobre la conjetura de Adams en topología, había construido mapas desde los espacios de clasificación BGL ( F _q ) hasta la fibra de homotopía de ψ ^q − 1 , donde ψ ^q es la q ésima operación de Adams que actúa sobre la clasificación del espacio BU . Este mapa es acíclico y después de modificar ligeramente BGL ( F _q ) para producir un nuevo espacio BGL ( F _q ) ⁺ , el mapa se convirtió en una equivalencia de homotopía. Esta modificación se denominó construcción plus . Se sabía que las operaciones de Adams estaban relacionadas con las clases de Chern y con la teoría K desde el trabajo de Grothendieck, por lo que Quillen se vio llevado a definir la teoría K de R como los grupos de homotopía de BGL ( R ) ⁺ . Esto no sólo recuperó K ₁ y K ₂ , sino que la relación de la teoría K con las operaciones de Adams permitió a Quillen calcular los K grupos de campos finitos.

El espacio de clasificación BGL es conexo, por lo que la definición de Quillen no pudo dar el valor correcto para K ₀ . Además, no dio ningún grupo K negativo . Dado que K ₀ tenía una definición conocida y aceptada, fue posible sortear esta dificultad, pero seguía siendo técnicamente incómoda. Conceptualmente, el problema era que la definición surgía de GL , que clásicamente era la fuente de K ₁ . Debido a que GL sólo sabe acerca de cómo unir haces de vectores, no acerca de los haces de vectores en sí, le resultó imposible describir K ₀ .

Inspirado por conversaciones con Quillen, Segal pronto introdujo otro enfoque para construir la teoría K algebraica bajo el nombre de Γ-objetos. ^[22] El enfoque de Segal es un análogo de homotopía de la construcción de K ₀ de Grothendieck . Mientras que Grothendieck trabajó con clases de isomorfismos de paquetes, Segal trabajó con los paquetes mismos y utilizó isomorfismos de los paquetes como parte de sus datos. Esto da como resultado un espectro cuyos grupos de homotopía son los grupos K superiores (incluido K ₀ ). Sin embargo, el enfoque de Segal sólo fue capaz de imponer relaciones para secuencias exactas divididas, no para secuencias exactas generales. En la categoría de módulos proyectivos sobre un anillo, cada secuencia corta y exacta se divide, por lo que los objetos Γ podrían usarse para definir la teoría K de un anillo. Sin embargo, hay secuencias exactas cortas no divididas en la categoría de haces de vectores en una variedad y en la categoría de todos los módulos sobre un anillo, por lo que el enfoque de Segal no se aplica a todos los casos de interés.

En la primavera de 1972, Quillen encontró otro enfoque para la construcción de la teoría K superior que resultó enormemente exitoso. Esta nueva definición comenzó con una categoría exacta , una categoría que satisface ciertas propiedades formales similares, pero ligeramente más débiles, a las propiedades satisfechas por una categoría de módulos o paquetes de vectores. A partir de esto construyó una categoría auxiliar utilizando un nuevo dispositivo llamado " Construcción Q ". Al igual que los objetos Γ de Segal, la construcción Q tiene sus raíces en la definición de K ₀ de Grothendieck . Sin embargo, a diferencia de la definición de Grothendieck, la construcción Q construye una categoría, no un grupo abeliano, y a diferencia de los objetos Γ de Segal, la construcción Q trabaja directamente con secuencias cortas y exactas. Si C es una categoría abeliana , entonces QC es una categoría con los mismos objetos que C pero cuyos morfismos se definen en términos de secuencias cortas exactas en C. Los K -grupos de la categoría exacta son los grupos de homotopía de Ω BQC , el espacio de bucle de la realización geométrica (tomar el espacio de bucle corrige la indexación). Quillen demostró además con su " teorema + = Q " que sus dos definiciones de la teoría K coincidían entre sí. Esto produjo el K ₀ correcto y condujo a pruebas más simples, pero aún así no produjo ningún grupo K negativo .

Todas las categorías abelianas son categorías exactas, pero no todas las categorías exactas son abelianas. Como Quillen pudo trabajar en esta situación más general, pudo utilizar categorías exactas como herramientas en sus pruebas. Esta técnica le permitió demostrar muchos de los teoremas básicos de la teoría K algebraica . Además, fue posible demostrar que las definiciones anteriores de Swan y Gersten eran equivalentes a la de Quillen bajo ciertas condiciones.

La teoría K ahora parecía ser una teoría de homología para anillos y una teoría de cohomología para variedades. Sin embargo, muchos de sus teoremas básicos llevaban la hipótesis de que el anillo o variedad en cuestión era regular. Una de las relaciones básicas esperadas era una secuencia larga y exacta (llamada "secuencia de localización") que relacionaba la teoría K de una variedad X y un subconjunto abierto U. Quillen no pudo demostrar la existencia de la secuencia de localización con total generalidad. Sin embargo, pudo demostrar su existencia para una teoría relacionada llamada teoría G (o, a veces, teoría K ′). La teoría G había sido definida temprano en el desarrollo del tema por Grothendieck. Grothendieck definió G ₀ ( X ) para una variedad X como el grupo abeliano libre en clases de isomorfismo de haces coherentes en X , relaciones de módulo provenientes de secuencias exactas de haces coherentes. En el marco categórico adoptado por autores posteriores, la teoría K de una variedad es la teoría K de su categoría de haces de vectores, mientras que su teoría G es la teoría K de su categoría de haces coherentes. Quillen no sólo pudo demostrar la existencia de una secuencia exacta de localización para la teoría G , sino que también pudo demostrar que para un anillo o variedad regular, la teoría K era igual a la teoría G y, por lo tanto, la teoría K de las variedades regulares tenía una secuencia exacta de localización. Dado que esta secuencia era fundamental para muchos de los hechos del tema, las hipótesis de regularidad impregnaron los primeros trabajos sobre la teoría K superior .

Aplicaciones de la teoría K algebraica en topología

La primera aplicación de la teoría K algebraica a la topología fue la construcción de la torsión de Whitehead. CTC Wall encontró una construcción estrechamente relacionada en 1963. ^[23] Wall descubrió que un espacio X dominado por un complejo finito tiene una característica de Euler generalizada que toma valores en un cociente de K ₀ ( Z π ), donde π es el grupo fundamental. del espacio. Este invariante se llama obstrucción de la finitud de Wall porque X es homotópicamente equivalente a un complejo finito si y sólo si el invariante desaparece. Laurent Siebenmann en su tesis encontró una invariante similar a la de Wall que obstruye una variedad abierta siendo el interior de una variedad compacta con límite. ^[24] Si dos variedades con límite M y N tienen interiores isomorfos (en TOP, PL o DIFF según corresponda), entonces el isomorfismo entre ellas define un h -cobordismo entre M y N.

La torsión de Whitehead finalmente se reinterpretó de una manera más directa desde la teoría K. Esta reinterpretación se produjo a través del estudio de los h -cobordismos . Dos variedades n -dimensionales M y N son h -cobordantes si existe una variedad ( n + 1) -dimensional con límite W cuyo límite es la unión disjunta de M y N y para la cual las inclusiones de M y N en W son homotopías equivalencias (en las categorías TOP, PL o DIFF). El teorema del cobordismo h de Stephen Smale ^[25] afirmaba que si n ≥ 5 , W es compacto y M , N y W están simplemente conectados, entonces W es isomorfo al cilindro M × [0, 1] (en ARRIBA , PL o DIFF según corresponda). Este teorema demostró la conjetura de Poincaré para n ≥ 5 .

Si no se supone que M y N estén simplemente conectados, entonces un h -cobordismo no tiene por qué ser un cilindro. El teorema del s -cobordismo, debido independientemente a Mazur, ^[26] Stallings y Barden, ^[27] explica la situación general: Un h -cobordismo es un cilindro si y sólo si la torsión de Whitehead de la inclusión M ⊂ W desaparece. Esto generaliza el teorema del h -cobordismo porque las hipótesis de conectividad simple implican que el grupo de Whitehead relevante es trivial. De hecho, el teorema del s -cobordismo implica que existe una correspondencia biyectiva entre clases de isomorfismo de h -cobordismos y elementos del grupo de Whitehead.

Una cuestión obvia asociada con la existencia de h -cobordismos es su singularidad. La noción natural de equivalencia es isotopía . Jean Cerf demostró que para variedades suaves M simplemente conectadas de dimensión al menos 5, la isotopía de h -cobordismos es lo mismo que una noción más débil llamada pseudoisotopía. ^[28] Hatcher y Waggoner estudiaron los componentes del espacio de pseudoisotopías y lo relacionaron con un cociente de K ₂ ( Z π ). ^[29]

El contexto adecuado para el teorema del s -cobordismo es el espacio de clasificación de los h -cobordismos. Si M es una variedad CAT, entonces H ^CAT ( M ) es un espacio que clasifica paquetes de h -cobordismos en M . El teorema del s -cobordismo puede reinterpretarse como la afirmación de que el conjunto de componentes conexos de este espacio es el grupo de Whitehead de π ₁ ( M ). Este espacio contiene estrictamente más información que el grupo Whitehead; por ejemplo, el componente conectado del cobordismo trivial describe los posibles cilindros en M y, en particular, es la obstrucción a la unicidad de una homotopía entre una variedad y M × [0, 1] . La consideración de estas cuestiones llevó a Waldhausen a introducir su teoría K algebraica de los espacios. ^[30] La teoría K algebraica de M es un espacio A ( M ) que se define de manera que desempeña esencialmente el mismo papel para grupos K superiores que K ₁ ( Z π ₁ ( M ) ) para M . En particular, Waldhausen demostró que existe un mapa de A ( M ) a un espacio Wh( M ) que generaliza el mapa K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh( π ₁ ( M )) y cuya fibra de homotopía es una teoría de la homología.

Para desarrollar plenamente la teoría A , Waldhausen realizó importantes avances técnicos en los fundamentos de la teoría K. Waldhausen introdujo las categorías de Waldhausen , y para una categoría C de Waldhausen introdujo una categoría simple S _⋅ C (la S es para Segal ) definida en términos de cadenas de cofibraciones en C. ^[31] Esto liberó los fundamentos de la teoría K de la necesidad de invocar análogos de secuencias exactas.

Topología algebraica y geometría algebraica en la teoría K algebraica

Quillen sugirió a su alumno Kenneth Brown que podría ser posible crear una teoría de haces de espectros de la cual la teoría K proporcionaría un ejemplo. El haz de espectros de la teoría K asociaría, a cada subconjunto abierto de una variedad, la teoría K de ese subconjunto abierto. Brown desarrolló tal teoría para su tesis. Al mismo tiempo, Gersten tuvo la misma idea. En una conferencia de Seattle en otoño de 1972, descubrieron juntos una secuencia espectral que converge desde la cohomología del haz de , el haz de K _n -grupos en X , hasta el grupo K del espacio total. Esto ahora se llama secuencia espectral de Brown-Gersten. ^[32] ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}}$

Spencer Bloch , influenciado por el trabajo de Gersten sobre haces de grupos K , demostró que en una superficie regular, el grupo de cohomología es isomorfo al grupo de Chow CH ² ( X ) de codimensión 2 ciclos en X . ^[33] Inspirado por esto, Gersten conjeturó que para un anillo local regular R con campo fraccionario F , K _n ( R ) se inyecta en K _n ( F ) para todo n . Pronto Quillen demostró que esto es cierto cuando R contiene un campo, ^[34] y usando esto demostró que ${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {K}}_{2})}$

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {K}}_{p})\cong \operatorname {CH} ^{p}(X)}$

para todos p . Esto se conoce como fórmula de Bloch . Si bien desde entonces se han logrado avances en la conjetura de Gersten, el caso general sigue abierto.

Lichtenbaum conjeturó que valores especiales de la función zeta de un campo numérico podrían expresarse en términos de los K -grupos del anillo de números enteros del campo. Se sabía que estos valores especiales estaban relacionados con la cohomología étale del anillo de números enteros. Por lo tanto, Quillen generalizó la conjetura de Lichtenbaum, prediciendo la existencia de una secuencia espectral como la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch en la teoría K topológica . ^[35] La secuencia espectral propuesta por Quillen comenzaría desde la cohomología étale de un anillo R y, en grados suficientemente altos y después de completarse en un l primo invertible en R , lindaría con la finalización l -ádica de la teoría K de R. En el caso estudiado por Lichtenbaum, la secuencia espectral degeneraría, dando lugar a la conjetura de Lichtenbaum.

La necesidad de localizar en un l primo sugirió a Browder que debería haber una variante de la teoría K con coeficientes finitos. ^[36] Introdujo los grupos de teoría K K _n ( R ; Z / l Z ) que eran espacios vectoriales Z / l Z , y encontró un análogo del elemento Bott en la teoría K topológica . Soule utilizó esta teoría para construir " clases étale Chern ", un análogo de las clases topológicas de Chern que llevaban elementos de la teoría K algebraica a clases de cohomología étale . ^{[37] A diferencia de la teoría} K algebraica , la cohomología étale es altamente computable, por lo que las clases de Chern étale proporcionaron una herramienta eficaz para detectar la existencia de elementos en la teoría K. William G. Dwyer y Eric Friedlander luego inventaron un análogo de la teoría K para la topología étale llamada teoría K étale . ^[38] Para variedades definidas sobre números complejos, la teoría K étale es isomorfa a la teoría K topológica . Además, la teoría étale K admitía una secuencia espectral similar a la conjeturada por Quillen. Thomason demostró alrededor de 1980 que después de invertir el elemento de Bott, la teoría K algebraica con coeficientes finitos se volvió isomorfa a la teoría K de Etale . ^[39]

A lo largo de la década de 1970 y principios de la de 1980, la teoría K sobre variedades singulares todavía carecía de fundamentos adecuados. Si bien se creía que la teoría K de Quillen daba los grupos correctos, no se sabía que estos grupos tuvieran todas las propiedades previstas. Para ello fue necesario reformular la teoría algebraica K. Esto lo hizo Thomason en una extensa monografía que atribuyó a su amigo fallecido Thomas Trobaugh, quien, según dijo, le dio una idea clave en un sueño. ^[40] Thomason combinó la construcción de la teoría K de Waldhausen con los fundamentos de la teoría de la intersección descrita en el volumen seis del Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie de Grothendieck . Allí, K ₀ se describió en términos de complejos de haces en variedades algebraicas. Thomason descubrió que si se trabajaba con una categoría derivada de haces, había una descripción simple de cuándo un complejo de haces podía extenderse desde un subconjunto abierto de una variedad a la variedad completa. Al aplicar la construcción de la teoría K de Waldhausen a categorías derivadas, Thomason pudo demostrar que la teoría K algebraica tenía todas las propiedades esperadas de una teoría de cohomología.

En 1976, Keith Dennis descubrió una técnica completamente nueva para calcular la teoría K basada en la homología de Hochschild . ^[41] Esto se basó en la existencia del mapa de trazas de Dennis, un homomorfismo de la teoría K a la homología de Hochschild. Si bien el mapa de trazas de Dennis pareció tener éxito para los cálculos de la teoría K con coeficientes finitos, tuvo menos éxito para los cálculos racionales. Goodwillie, motivado por su "cálculo de funtores", conjeturó la existencia de una teoría intermedia a la teoría K y la homología de Hochschild. Llamó a esta teoría homología topológica de Hochschild porque su anillo fundamental debería ser el espectro de la esfera (considerado como un anillo cuyas operaciones se definen sólo hasta la homotopía). A mediados de la década de 1980, Bokstedt dio una definición de homología topológica de Hochschild que satisfacía casi todas las propiedades conjeturales de Goodwillie, y esto hizo posibles nuevos cálculos de K -grupos. ^[42] La versión de Bokstedt del mapa de trazas de Dennis era una transformación de los espectros K → THH . Esta transformación se factorizó a través de los puntos fijos de una acción circular sobre el THH , lo que sugirió una relación con la homología cíclica . En el curso de la demostración de una teoría algebraica K análoga a la conjetura de Novikov , Bokstedt, Hsiang y Madsen introdujeron la homología cíclica topológica, que tenía la misma relación con la homología topológica de Hochschild que la homología cíclica con la homología de Hochschild. ^[43] El mapa de trazas de Dennis a los factores de homología topológica de Hochschild a través de la homología cíclica topológica, proporciona una herramienta aún más detallada para los cálculos. En 1996, Dundas, Goodwillie y McCarthy demostraron que la homología cíclica topológica tiene en un sentido preciso la misma estructura local que la teoría K algebraica , de modo que si es posible un cálculo en la teoría K o en la homología cíclica topológica, entonces muchos otros "cercanos" "Siguen los cálculos. ^[44]

Grupos K inferiores

Los grupos K inferiores fueron descubiertos primero y se les dieron varias descripciones ad hoc, que siguen siendo útiles. En todo momento, sea A un anillo .

K 0

El funtor K ₀ lleva un anillo A al grupo de Grothendieck del conjunto de clases de isomorfismo de sus módulos proyectivos generados finitamente , considerado como un monoide bajo suma directa. Cualquier homomorfismo de anillo A → B da un mapa K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) al mapear (la clase de) un módulo A proyectivo M a M ⊗ _A B , haciendo de K ₀ un functor covariante.

Si el anillo A es conmutativo, podemos definir un subgrupo de K ₀ ( A ) como el conjunto

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},}$

dónde :

${\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} }$

es el mapa que envía cada (clase de a) módulo proyectivo A M finitamente generado al rango del módulo libre (este módulo es de hecho libre, ya que cualquier módulo proyectivo generado finitamente sobre un anillo local es libre). Este subgrupo se conoce como teoría K cero reducida de A. ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)}$

Si B es un anillo sin elemento identidad , podemos ampliar la definición de K ₀ de la siguiente manera. Sea A = B ⊕ Z la extensión de B a un anillo con unidad obtenida al unir un elemento identidad (0,1). Hay una secuencia exacta corta B → A → Z y definimos K ₀ ( B ) como el núcleo del mapa correspondiente K ₀ ( A ) → K ₀ ( Z ) = Z . ^[45]

Ejemplos

• Los módulos (proyectivos) sobre un campo k son espacios vectoriales y K ₀ ( k ) es isomorfo a Z , por dimensión .
• Los módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo local A son libres y, por lo tanto, en este caso una vez más K ₀ ( A ) es isomorfo a Z , por rango . ^[46]
• Para A un dominio de Dedekind , K ₀ ( A ) = Pic( A ) ⊕ Z , donde Pic( A ) es el grupo Picard de A , ^[47]

Una variante algebro-geométrica de esta construcción se aplica a la categoría de variedades algebraicas ; asocia con una variedad algebraica dada X el grupo K de Grothendieck de la categoría de haces localmente libres (o haces coherentes) en X. Dado un espacio topológico compacto X , la teoría K topológica K ^top ( X ) de paquetes de vectores (reales) sobre X coincide con K ₀ del anillo de funciones continuas de valores reales en X. ^[48]

Relativo K ₀

Sea I un ideal de A y defina el "doble" como un subanillo del producto cartesiano A × A : ^[49]

${\displaystyle D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A:x-y\in I\}\ .}$

El grupo K relativo se define en términos del "doble" ^[50]

${\displaystyle K_{0}(A,I)=\ker \left({K_{0}(D(A,I))\rightarrow K_{0}(A)}\right)\ .}$

donde el mapa es inducido por proyección a lo largo del primer factor.

El relativo K ₀ ( A , I ) es isomorfo a K ₀ ( I ), considerando I como un anillo sin identidad. La independencia de A es análoga al teorema de escisión en homología. ^[45]

K ₀ como un anillo

Si A es un anillo conmutativo, entonces el producto tensorial de los módulos proyectivos es nuevamente proyectivo, por lo que el producto tensorial induce una multiplicación que convierte a K ₀ en un anillo conmutativo con la clase [ A ] como identidad. ^[46] El producto exterior induce de manera similar una estructura de anillo λ . El grupo Picard se incorpora como un subgrupo del grupo de unidades K ₀ ( A ) ^∗ . ^[51]

k 1

Hyman Bass proporcionó esta definición, que generaliza el grupo de unidades de un anillo: K ₁ ( A ) es la abelianización del grupo lineal general infinito :

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

Aquí

${\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\operatorname {colim} \operatorname {GL} (n,A)}$

es el límite directo de GL( n ), que se incrusta en GL( n + 1) como matriz de bloque  superior izquierda , y es su subgrupo de conmutadores . Defina una matriz elemental como aquella que es la suma de una matriz identidad y un único elemento fuera de la diagonal (este es un subconjunto de las matrices elementales utilizadas en álgebra lineal ). Entonces el lema de Whitehead establece que el grupo E ( A ) generado por matrices elementales es igual al subgrupo del conmutador [GL( A ), GL( A )]. De hecho, el grupo GL( A )/E( A ) fue definido y estudiado por primera vez por Whitehead, ^[52] y se denomina grupo Whitehead del anillo A. ${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

Relativo K ₁

El grupo K relativo se define en términos del "doble" ^[53]

${\displaystyle K_{1}(A,I)=\ker \left({K_{1}(D(A,I))\rightarrow K_{1}(A)}\right)\ .}$

Hay una secuencia exacta natural ^[54]

${\displaystyle K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\rightarrow K_{1}(A/I)\rightarrow K_{0}(A,I)\rightarrow K_{0}(A)\rightarrow K_{0}(A/I)\ .}$

Anillos y campos conmutativos.

Para A un anillo conmutativo , se puede definir un determinante det: GL( A ) → A* al grupo de unidades de A , que desaparece en E( A ) y así desciende a un mapa det : K ₁ ( A ) → A * . Como E( A ) ◅ SL( A ), también se puede definir el grupo especial de Whitehead SK 1 ₍ A ) := SL( A )/E( A ). Este mapa se divide a través del mapa A* → GL(1, A ) → K ₁ ( A ) (unidad en la esquina superior izquierda) y, por lo tanto, está en el grupo especial Whitehead y tiene como núcleo, lo que produce la secuencia exacta corta dividida. :

${\displaystyle 1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{*}\to 1,}$

que es un cociente de la secuencia exacta corta dividida habitual que define el grupo lineal especial , a saber

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1.}$

El determinante se divide incluyendo el grupo de unidades A* = GL ₁ ( A ) en el grupo lineal general GL (A) , por lo que K ₁ ( A ) se divide como la suma directa del grupo de unidades y el grupo especial de Whitehead: K ₁ ( UNA ) ≅ UNA* ⊕ SK ₁ ( UNA ).

Cuando A es un dominio euclidiano (por ejemplo, un campo o los números enteros), SK 1 ₍ A ) desaparece y el mapa determinante es un isomorfismo de K ₁ ( A ) a A ^∗ . ^[55] Esto es falso en general para los PID, proporcionando así una de las raras características matemáticas de los dominios euclidianos que no se generalizan a todos los PID. Ischebeck en 1980 y Grayson en 1981 dieron un PID explícito tal que SK _{1 sea distinto de cero.} ^[56] Si A es un dominio de Dedekind cuyo campo cociente es un campo numérico algebraico (una extensión finita de los racionales), entonces Milnor (1971) , corolario 16.3) muestra que SK 1 ₍ A ) desaparece. ^[57]

La desaparición de SK ₁ puede interpretarse como que K ₁ es generado por la imagen de GL ₁ en GL. Cuando esto falla, uno puede preguntarse si K ₁ es generado por la imagen de GL ₂ . Para un dominio de Dedekind, este es el caso: de hecho, K ₁ es generado por las imágenes de GL ₁ y SL ₂ en GL. ^[56] El subgrupo de SK ₁ generado por SL ₂ puede estudiarse mediante símbolos de Mennicke . Para dominios de Dedekind con todos los cocientes por ideales máximos finitos, SK ₁ es un grupo de torsión. ^[58]

Para un anillo no conmutativo, el determinante no se puede definir en general, pero el mapa GL( A ) → K ₁ ( A ) es una generalización del determinante.

Álgebras centrales simples

En el caso de un álgebra central simple A sobre un campo F , la norma reducida proporciona una generalización del determinante dando un mapa K ₁ ( A ) → F ^∗ y SK 1 ₍ A ) puede definirse como el núcleo. El teorema de Wang establece que si A tiene grado primo, entonces SK 1 ₍ A ) es trivial, ^[59] y esto puede extenderse a grado libre de cuadrados. ^[60] Wang también demostró que SK 1 ₍ A ) es trivial para cualquier álgebra simple central sobre un cuerpo numérico, ^[61] pero Platonov ha dado ejemplos de álgebras de grado primo cuadrado para las cuales SK 1 ₍ A ) no es trivial. ^[60]

k 2

John Milnor encontró la definición correcta de K ₂ : es el centro del grupo de Steinberg St( A ) de A .

También se puede definir como el núcleo del mapa.

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}$

o como el multiplicador de Schur del grupo de matrices elementales .

Para un campo, K ₂ está determinado por los símbolos de Steinberg : esto lleva al teorema de Matsumoto.

Se puede calcular que K ₂ es cero para cualquier campo finito. ^{[62] [63]} El cálculo de K ₂ ( Q ) es complicado: Tate lo demostró ^{[63] [64]}

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \prod _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }$

y comentó que la prueba siguió a la primera prueba de Gauss de la Ley de Reciprocidad Cuadrática . ^{[65] [66]}

Para campos locales no de Arquímedes, el grupo K ₂ ( F ) es la suma directa de un grupo cíclico finito de orden m , digamos, y un grupo divisible K ₂ ( F ) ^m . ^[67]

Tenemos K ₂ ( Z ) = Z /2, ^[68] y en general K ₂ es finito para el anillo de números enteros de un cuerpo numérico. ^[69]

Además tenemos K ₂ ( Z / n ) = Z /2 si n es divisible por 4 y, en caso contrario, cero. ^[70]

teorema de matsumoto

El teorema de Matsumoto ^[71] establece que para un campo k , el segundo grupo K viene dado por ^{[72] [73]}

${\displaystyle K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .}$

El teorema original de Matsumoto es aún más general: para cualquier sistema de raíces , ofrece una presentación de la teoría K inestable. Esta presentación es diferente de la que se da aquí sólo para los sistemas de raíces simplécticas. Para sistemas de raíces no simplécticos, el segundo grupo K inestable con respecto al sistema de raíces es exactamente el grupo K estable para GL( A ). Los segundos grupos K inestables (en este contexto) se definen tomando el núcleo de la extensión central universal del grupo Chevalley de tipo universal para un sistema de raíces determinado. Esta construcción produce el núcleo de la extensión de Steinberg para los sistemas de raíces _An ( n > 1) y, en el límite, segundos K ​​-grupos  estables .

Secuencias largas y exactas.

Si A es un dominio de Dedekind con campo de fracciones F entonces hay una secuencia exacta larga

${\displaystyle K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{1}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{0}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{0}A\rightarrow K_{0}F\rightarrow 0\ }$

donde p recorre todos los ideales primos de A . ^[74]

También hay una extensión de la secuencia exacta para K ₁ y K ₀ relativos : ^[75]

${\displaystyle K_{2}(A)\rightarrow K_{2}(A/I)\rightarrow K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\cdots \ .}$

Emparejamiento

Hay un emparejamiento en K ₁ con valores en K ₂ . Dadas las matrices de conmutación X e Y sobre A , tome los elementos x e y en el grupo de Steinberg con X , Y como imágenes. El conmutador es un elemento de K ₂ . ^[76] El mapa no siempre es sobreyectivo. ^[77] ${\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$

Teoría de Milnor K

La expresión anterior para K ₂ de un campo k llevó a Milnor a la siguiente definición de K -grupos "superiores" por

${\displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a)),}$

así como partes graduadas de un cociente del álgebra tensorial del grupo multiplicativo k ^× por el ideal de dos lados , generado por el

${\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}.}$

Para n = 0,1,2 coinciden con los siguientes, pero para n ≧ 3 difieren en general. ^[78] Por ejemplo, tenemos K^m
_n( F _q ) = 0 para n ≧ 2 pero K _n F _q es distinto de cero para n impar (ver más abajo).

El producto tensorial en el álgebra tensorial induce un producto que forma un anillo graduado que es conmutativo graduado . ^[79] ${\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}}$ ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$

Las imágenes de los elementos se denominan símbolos , denotados . Para el entero m invertible en k hay un mapa ${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{m})}$

donde denota el grupo de m -ésimas raíces de la unidad en alguna extensión separable de k . Esto se extiende a ${\displaystyle \mu _{m}}$

${\displaystyle \partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\rightarrow H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right)\ }$

satisfaciendo las relaciones definitorias del grupo Milnor K. Por lo tanto, puede considerarse como un mapa , llamado mapa de símbolos de Galois . ^[80] ${\displaystyle \partial ^{n}}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$

La relación entre la cohomología del campo de étale (o Galois ) y la teoría K de Milnor módulo 2 es la conjetura de Milnor , probada por Vladimir Voevodsky . ^[81] La afirmación análoga para los números primos impares es la conjetura de Bloch-Kato , demostrada por Voevodsky, Rost y otros.

Teoría K superior

Las definiciones aceptadas de grupos K superiores fueron dadas por Quillen (1973), después de unos años durante los cuales se sugirieron varias definiciones incompatibles. El objetivo del programa era encontrar definiciones de K ( R ) y K ( R , I ) en términos de clasificación de espacios de modo que R ⇒ K ( R ) y ( R , I ) ⇒ K ( R , I ) sean functores en una categoría de homotopía de espacios y la secuencia exacta larga para grupos K relativos surge como la secuencia de homotopía exacta larga de una fibración K ( R , I ) →  K ( R ) →  K ( R / I ). ^[82]

Quillen dio dos construcciones, la "construcción plus" y la " construcción Q ", esta última modificada posteriormente de diferentes maneras. ^[83] Las dos construcciones producen los mismos grupos K. ^[84]

La construcción +

Quillen dio una posible definición de la teoría K algebraica superior de los anillos.

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),}$

Aquí π _n es un grupo de homotopía , GL( R ) es el límite directo de los grupos lineales generales sobre R para el tamaño de la matriz que tiende al infinito, B es la construcción del espacio de clasificación de la teoría de la homotopía y ^{+ es la} construcción más de Quillen. . Originalmente encontró esta idea mientras estudiaba la cohomología de grupo de ^[85] y notó que algunos de sus cálculos estaban relacionados con . ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle K_{1}(\mathbb {F} _{q})}$

Esta definición sólo es válida para n  > 0, por lo que a menudo se define la teoría K algebraica superior mediante

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))}$

Dado que BGL ( R ) ⁺ es un camino conexo y K ₀ ( R ) discreto, esta definición no difiere en grados superiores y también es válida para n  = 0.

La construcción Q

La construcción Q da los mismos resultados que la construcción +, pero se aplica en situaciones más generales. Además, la definición es más directa en el sentido de que los K -grupos, definidos mediante la Q -construcción, son funtoriales por definición. Este hecho no es automático en la construcción plus.

Supongamos que es una categoría exacta ; asociado a una nueva categoría , cuyos objetos son los de y los morfismos de M ′ a M ″ son clases de diagramas de isomorfismo ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle QP}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',}$

donde la primera flecha es un epimorfismo admisible y la segunda flecha es un monomorfismo admisible . Tenga en cuenta que los morfismos en son análogos a las definiciones de morfismos en la categoría de motivos , donde los morfismos se dan como correspondencias tales que ${\displaystyle QP}$ ${\displaystyle Z\subset X\times Y}$

${\displaystyle X\leftarrow Z\rightarrow Y}$

es un diagrama donde la flecha de la izquierda es un mapa de cobertura (por lo tanto sobreyectivo) y la flecha de la derecha es inyectiva. Esta categoría puede luego convertirse en un espacio topológico utilizando la construcción del espacio de clasificación , que se define como la realización geométrica del nervio de . Entonces, el i-ésimo grupo K de la categoría exacta se define como ${\displaystyle BQP}$ ${\displaystyle QP}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

con un objeto cero fijo . Tenga en cuenta que el espacio de clasificación de un grupoide mueve los grupos de homotopía un grado hacia arriba, de ahí el cambio en grados por ser de un espacio. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i+1}}$

Esta definición coincide con la definición anterior de K ₀ ( P ). Si P es la categoría de módulos R proyectivos generados finitamente , esta definición concuerda con la definición anterior de BGL ⁺ de K _n ( R ) para todo n . De manera más general, para un esquema X , los K -grupos superiores de X se definen como los K -grupos de (la categoría exacta de) haces coherentes localmente libres en X.

También se utiliza la siguiente variante de esto: en lugar de módulos proyectivos generados de forma finita (= libres localmente), tome módulos generados de forma finita. Los grupos K resultantes generalmente se escriben G _n ( R ). Cuando R es un anillo regular noetheriano , entonces las teorías G y K coinciden. De hecho, la dimensión global de los anillos regulares es finita, es decir, cualquier módulo generado finitamente tiene una resolución proyectiva finita P _* → M , y un argumento simple muestra que el mapa canónico K ₀ (R) → G ₀ (R) es un isomorfismo , con [ M ]=Σ ± [ P _n ]. Este isomorfismo se extiende también a los grupos K superiores .

La construcción S

Una tercera construcción de los grupos de teoría K es la construcción S , debida a Waldhausen . ^[86] Se aplica a categorías con cofibraciones (también llamadas categorías de Waldhausen ). Este es un concepto más general que las categorías exactas.

Ejemplos

Si bien la teoría K algebraica de Quillen ha proporcionado una visión profunda de varios aspectos de la geometría y la topología algebraica, los grupos K han demostrado ser particularmente difíciles de calcular, excepto en unos pocos casos aislados pero interesantes. (Ver también: grupos K de un campo ).

K algebraico -grupos de campos finitos

El primero y uno de los cálculos más importantes de los grupos K algebraicos superiores de un anillo fue realizado por el propio Quillen para el caso de campos finitos :

Si F _q es el cuerpo finito con q elementos, entonces:

• K ₀ ( F _q ) = Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 para i ≥1,
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z /( q ⁱ  − 1) Z para i  ≥ 1. 

Rick Jardine  (1993) refutó el cálculo de Quillen utilizando diferentes métodos.

K algebraico : grupos de anillos de números enteros.

Quillen demostró que si A es el anillo de números enteros algebraicos en un campo numérico algebraico F (una extensión finita de los racionales), entonces los K-grupos algebraicos de A se generan de forma finita. Armand Borel usó esto para calcular la torsión del módulo K _i ( A ) y K _i ( F ). Por ejemplo, para los números enteros Z , Borel demostró que (módulo de torsión)

• K _i ( Z )/tors.=0 para i positivo a menos que i=4k+1 con k positivo
• K _{4 k +1} ( Z )/tors.= Z para k positivo .

Los subgrupos de torsión de K _{2 i +1} ( Z ) y los órdenes de los grupos finitos K _{4 k +2} ( Z ) se han determinado recientemente, pero si estos últimos grupos son cíclicos y si los grupos K _{4 k} ( Z ) desaparecer depende de la conjetura de Vandiver sobre los grupos de clases de enteros ciclotómicos. Consulte la conjetura de Quillen-Lichtenbaum para obtener más detalles.

Aplicaciones y preguntas abiertas

Los grupos K algebraicos se utilizan en conjeturas sobre valores especiales de funciones L y en la formulación de una conjetura principal no conmutativa de la teoría de Iwasawa y en la construcción de reguladores superiores . ^[69]

La conjetura de Parshin se refiere a los grupos K algebraicos superiores para variedades suaves sobre campos finitos, y afirma que en este caso los grupos desaparecen hasta la torsión.

Otra conjetura fundamental debida a Hyman Bass ( conjetura de Bass ) dice que todos los grupos G _n ( A ) se generan finitamente cuando A es un álgebra Z finitamente generada . (Los grupos G _n ( A ) son los K -grupos de la categoría de A -módulos finitamente generados) ^[87]

Ver también

• Teoría K aditiva
• La fórmula de Bloch.
• Teorema fundamental de la teoría K algebraica
• Teoremas básicos de la teoría K algebraica
• teoría k
• K -teoría de una categoría
• K -grupo de un campo
• Espectro de la teoría K
• Conjetura del corrimiento al rojo
• Teoría K topológica
• Rigidez ( teoría K )

Notas

1. Weibel 1999
2. Grothendieck 1957, Borel-Serre 1958
3. Atiyah-Hirzebruch 1961
4. Whitehead 1939, Whitehead 1941, Whitehead 1950
5. Bajo-Schanuel 1962
6. Bajo 1968
7. Bajo-Murthy 1967
8. Karoubi 1968
9. Steinberg 1962
10. Milnor 1971
11. Matsumoto 1969
12. Cisne 1968
13. Gersten 1969
14. Nobile-Villamayor 1968
15. Karoubi-Villamayor 1971
16. Milnor 1970
17. Milnor 1970, pag. 319
18. Nesterenko-Suslin 1990
19. Totaro 1992
20. Thomason 1992
21. Quillán 1971
22. Segal 1974
23. Muro 1965
24. Siebenmann 1965
25. Pequeño 1962
26. Mazur 1963
27. Barden 1963
28. Cerf 1970
29. Hatcher y Wagoner 1973
30. Waldhausen 1978
31. Waldhausen 1985
32. Marrón-Gersten 1973
33. Bloch 1974
34. Quillán 1973
35. Quillán 1975
36. Explorador 1976
37. Soulé 1979
38. Dwyer-Friedlander 1982
39. Thomason 1985
40. Thomason y Trobaugh 1990
41. Dennis 1976
42. Bokstedt 1986
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85. "Geometría algebraica agrícola: la motivación de Quillen para la teoría K algebraica superior". Desbordamiento matemático . Consultado el 26 de marzo de 2021 .
86. Waldhausen, Friedhelm (1985), "Teoría K algebraica de espacios", Teoría K algebraica de espacios , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1126, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 318–419, doi :10.1007/BFb0074449, ISBN 978-3-540-15235-4, señor  0802796. Véase también la Conferencia IV y las referencias en (Friedlander y Weibel 1999).
87. (Friedlander y Weibel 1999), Conferencia VI

Referencias

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• Milnor, John Willard (1971), Introducción a la teoría K algebraica , Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , MR  0349811, Zbl  0237.18005(grupos K inferiores)
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Otras lecturas

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• Magurn, Bruce A. (2009), Una introducción algebraica a la teoría K , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 87 (edición de bolsillo corregida), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-10658-0
• Srinivas, V. (2008), Teoría algebraica K , Modern Birkhäuser Classics (reimpresión en rústica de la segunda edición de 1996), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl  1125.19300
• Weibel, C., El libro K: una introducción a la teoría K algebraica

Referencias pedagógicas

• Teoría K algebraica superior: una descripción general
• Rosenberg, Jonathan (1994), Teoría K algebraica y sus aplicaciones, Textos de Posgrado en Matemáticas , vol. 147, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-4314-4, ISBN 978-0-387-94248-3, SEÑOR  1282290, Zbl  0801.19001. Erratas
• Weibel, Charles (2013), El libro K: una introducción a la teoría K algebraica, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 145, AM

Referencias históricas

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enlaces externos

• Archivo de preimpresión de la teoría K