En matemáticas , y más específicamente en álgebra abstracta , un rng (o anillo no unitario o pseudoanillo ) es una estructura algebraica que satisface las mismas propiedades que un anillo , pero sin asumir la existencia de una identidad multiplicativa . El término rng (IPA: / r ʌ ŋ / ) pretende sugerir que es un anillo sin i , es decir, sin el requisito de un elemento de identidad. [1]
No hay consenso en la comunidad sobre si la existencia de una identidad multiplicativa debe ser uno de los axiomas del anillo (ver Anillo (matemáticas) § Historia ). El término rng fue acuñado para aliviar esta ambigüedad cuando la gente quiere referirse explícitamente a un anillo sin el axioma de identidad multiplicativa.
Varias álgebras de funciones consideradas en el análisis no son unitarias, por ejemplo el álgebra de funciones que decrecen a cero en el infinito, especialmente aquellas con soporte compacto en algún espacio (no compacto ).
Formalmente, un rng es un conjunto R con dos operaciones binarias (+, ·) llamadas suma y multiplicación tales que
Un homomorfismo de rng es una función f : R → S de un rng a otro tal que
para todo x e y en R .
Si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillo R → S es lo mismo que un homomorfismo de anillo R → S que asigna 1 a 1.
Todos los anillos son anillos. Un ejemplo simple de un rng que no es un anillo lo dan los números enteros pares con la suma y multiplicación ordinaria de números enteros. Otro ejemplo lo da el conjunto de todas las matrices reales de 3 por 3 cuya fila inferior es cero. Ambos ejemplos son ejemplos del hecho general de que todo ideal (de una o dos caras) es un anillo.
Los rangos a menudo aparecen naturalmente en el análisis funcional cuando se consideran operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión infinita. Tomemos, por ejemplo, cualquier espacio vectorial V de dimensión infinita y consideremos el conjunto de todos los operadores lineales f : V → V con rango finito (es decir, tenue f ( V ) < ∞ ). Junto con la adición y composición de operadores, esto es un rng, pero no un anillo. Otro ejemplo es el rng de todas las secuencias reales que convergen a 0, con operaciones por componentes.
Además, muchos espacios de funciones de prueba que aparecen en la teoría de distribuciones consisten en funciones que disminuyen a cero en el infinito, como, por ejemplo, el espacio de Schwartz . Por lo tanto, la función siempre igual a uno, que sería el único elemento de identidad posible para la multiplicación puntual, no puede existir en tales espacios, que por lo tanto son rngs (para suma y multiplicación puntual). En particular, las funciones continuas de valor real con soporte compacto definido en algún espacio topológico , junto con la suma y multiplicación puntuales, forman un rng; esto no es un anillo a menos que el espacio subyacente sea compacto .
El conjunto 2 Z de enteros pares es cerrado bajo suma y multiplicación y tiene una identidad aditiva, 0, por lo que es un rng, pero no tiene identidad multiplicativa, por lo que no es un anillo.
En 2 Z , el único idempotente multiplicativo es 0, el único nilpotente es 0 y el único elemento con inverso reflexivo es 0.
La suma directa equipada con suma y multiplicación por coordenadas es un rng con las siguientes propiedades:
Cada rng R se puede ampliar a un anillo R ^ adjuntando un elemento de identidad. Una forma general de hacer esto es agregar formalmente un elemento de identidad 1 y dejar que R ^ consista en combinaciones lineales integrales de 1 y elementos de R con la premisa de que ninguno de sus múltiplos integrales distintos de cero coincide o está contenido en R. Es decir, los elementos de R ^ son de la forma
donde n es un número entero y r ∈ R . La multiplicación se define por la linealidad:
Más formalmente, podemos tomar R ^ como el producto cartesiano Z × R y definir la suma y la multiplicación por
La identidad multiplicativa de R ^ es entonces (1, 0) . Existe un homomorfismo de rng natural j : R → R ^ definido por j ( r ) = (0, r ) . Este mapa tiene la siguiente propiedad universal :
El mapa g puede definirse como g ( n , r ) = n · 1 S + f ( r ) .
Existe un homomorfismo de anillo sobreyectivo natural R ^ → Z que envía ( n , r ) an . El núcleo de este homomorfismo es la imagen de R en R ^. Dado que j es inyectivo , vemos que R está incluido como un ideal (de dos caras) en R ^ con el anillo cociente R ^/ R isomorfo a Z. Resulta que
Tenga en cuenta que j nunca es sobreyectivo. Entonces, incluso cuando R ya tiene un elemento de identidad, el anillo R ^ será uno más grande con una identidad diferente. El anillo R ^ a menudo se denomina extensión Dorroh de R en honor al matemático estadounidense Joe Lee Dorroh, quien fue el primero en construirlo.
El proceso de adjuntar un elemento de identidad a un rng puede formularse en el lenguaje de la teoría de categorías . Si denotamos la categoría de todos los anillos y homomorfismos de anillos por Ring y la categoría de todos los rngs y homomorfismos de rng por Rng , entonces Ring es una subcategoría (no completa) de Rng . La construcción de R ^ dada anteriormente produce un adjunto izquierdo al funtor de inclusión I : Ring → Rng . Observe que Ring no es una subcategoría reflectante de Rng porque el funtor de inclusión no está completo.
Hay varias propiedades que se han considerado en la literatura que son más débiles que tener un elemento de identidad, pero no tan generales. Por ejemplo:
No es difícil comprobar que estas propiedades son más débiles que tener un elemento de identidad y más débiles que el anterior.
Un anillo de cero cuadrado es un anillo R tal que xy = 0 para todo x e y en R. [3] Cualquier grupo abeliano puede convertirse en un anillo de cuadrado cero definiendo la multiplicación de manera que xy = 0 para todo x e y ; [4] por tanto, cada grupo abeliano es el grupo aditivo de algún rng. El único anillo del cero cuadrado con identidad multiplicativa es el anillo cero {0}. [4]
Cualquier subgrupo aditivo de un anillo de cero cuadrado es un ideal . Así, un anillo de cero cuadrado es simple si y sólo si su grupo aditivo es un grupo abeliano simple, es decir, un grupo cíclico de orden primo. [5]
Dadas dos álgebras unitales A y B , un homomorfismo de álgebra
es unital si asigna el elemento identidad de A al elemento identidad de B .
Si el álgebra asociativa A sobre el campo K no es unital, se puede adjuntar un elemento identidad de la siguiente manera: tomar A × K como K subyacente - espacio vectorial y definir la multiplicación ∗ por
para x , y en A y r , s en K. Entonces ∗ es una operación asociativa con elemento identidad (0, 1) . El álgebra antigua A está contenida en la nueva, y de hecho A × K es el álgebra unital "más general" que contiene A , en el sentido de construcciones universales .
