anillo λ

En álgebra , un anillo λ o anillo lambda es un anillo conmutativo junto con algunas operaciones λ ⁿ sobre él que se comportan como las potencias exteriores de los espacios vectoriales . Muchos anillos considerados en la teoría K tienen una estructura de anillo λ natural. Los anillos λ también proporcionan un formalismo poderoso para estudiar la acción de funciones simétricas sobre el anillo de polinomios , recuperando y extendiendo muchos resultados clásicos (Lascoux (2003)).

Los anillos λ fueron introducidos por Grothendieck  (1957, 1958, p.148). Para obtener más información sobre los anillos λ, consulte Atiyah & Tall (1969), Knutson (1973), Hazewinkel (2009) y Yau (2010).

Motivación

Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo k , entonces podemos formar la suma directa V ⊕  W , el producto tensorial V ⊗  W y la n -ésima potencia exterior de V , Λ ⁿ ( V ). Todos estos son nuevamente espacios vectoriales de dimensión finita sobre k . Las mismas tres operaciones de suma directa, producto tensorial y potencia exterior también están disponibles cuando se trabaja con k -representaciones lineales de un grupo finito , cuando se trabaja con paquetes de vectores sobre algún espacio topológico y en situaciones más generales.

Los anillos λ están diseñados para abstraer las propiedades algebraicas comunes de estas tres operaciones, donde también permitimos inversas formales con respecto a la operación de suma directa. (Estos inversos formales también aparecen en los grupos de Grothendieck , razón por la cual los grupos aditivos subyacentes de la mayoría de los anillos λ son grupos de Grothendieck). La suma en el anillo corresponde a la suma directa, la multiplicación en el anillo corresponde al producto tensorial y las operaciones λ a las potencias exteriores. Por ejemplo, el isomorfismo

${\displaystyle \Lambda ^{2}(V\oplus W)\cong \Lambda ^{2}(V)\oplus \left(\Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)\right)\oplus \Lambda ^{2}(W)}$

corresponde a la fórmula

${\displaystyle \lambda ^{2}(x+y)=\lambda ^{2}(x)+\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)+\lambda ^{2}(y)}$

válido en todos los anillos λ, y el isomorfismo

${\displaystyle \Lambda ^{1}(V\otimes W)\cong \Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)}$

corresponde a la fórmula

${\displaystyle \lambda ^{1}(xy)=\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)}$

válido en todos los anillos λ. Fórmulas análogas pero (mucho) más complicadas gobiernan los operadores λ de orden superior.

Motivación con paquetes de vectores

Si tenemos una secuencia corta y exacta de paquetes de vectores sobre un esquema suave ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}''\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}'\to 0,}$

luego localmente, para una vecindad abierta lo suficientemente pequeña tenemos el isomorfismo ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}|_{U}\cong \bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'|_{U}\otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''|_{U}}$

Ahora, en el grupo de Grothendieck (que en realidad es un anillo), obtenemos esta ecuación local de forma global y gratuita, a partir de las relaciones de equivalencia que definen . Entonces ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}\right]&=\left[\bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'\otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\\&=\sum _{i+j=n}\left[\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'\right]\cdot \left[\bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\end{aligned}}}$

demostrando la relación básica en un anillo λ, ^[1] que

${\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{i+j=n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{j}(y).}$

Definición

Un anillo λ es un anillo conmutativo R junto con operaciones λ ⁿ  : R → R para cada entero no negativo n . Se requiere que estas operaciones tengan las siguientes propiedades válidas para todo x ,  y en R y todo n, m  ≥ 0:

• λ ⁰ ( x ) = 1
• λ1 ⁽ x ) = x
• λ ^norte (1) = 0 si norte  ≥ 2
• λ ^norte ( x  +  y ) = Σ _{yo + j = norte}  λ ^yo ( x ) λ ^j ( y )
• λ ^norte ( xy ) = P _norte (λ ¹ ( x ), ..., λ ^norte ( x ), λ ¹ ( y ), ..., λ ^norte ( y ))
• λ ^norte (λ ^m ( x )) = P _{n , m} (λ ¹ ( x ), ..., λ ^mn ( x ))

donde P _n y P _n,m son ciertos polinomios universales con coeficientes enteros que describen el comportamiento de potencias exteriores sobre productos tensoriales y bajo composición. Estos polinomios se pueden definir de la siguiente manera.

Sean e ₁ , ..., e _mn los polinomios simétricos elementales en las variables X ₁ , ..., X _mn . Entonces P _{n , m} es el polinomio único en nm variables con coeficientes enteros tales que P _n,m ( e ₁ , ..., e _mn ) es el coeficiente de t ⁿ en la expresión

${\displaystyle \prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq mn}(1+tX_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}})}$  

(Tal polinomio existe porque la expresión es simétrica en X _i y los polinomios simétricos elementales generan todos los polinomios simétricos).

Ahora sean e ₁ , ..., e _n los polinomios simétricos elementales en las variables X ₁ , ..., X _n y f ₁ , ..., f _n los polinomios simétricos elementales en las variables Y ₁ , . .., S _n . Entonces P _n es el polinomio único en 2 n variables con coeficientes enteros tales que P _n ( e ₁ , ..., e _n , f ₁ , ..., f _n ) es el coeficiente de t ⁿ en la expresión

${\displaystyle \prod _{i,j=1}^{n}(1+tX_{i}Y_{j})}$

Variaciones

Los anillos λ definidos anteriormente son llamados "anillos λ especiales" por algunos autores, que utilizan el término "anillo λ" para un concepto más general donde las condiciones en λ ⁿ (1), λ ⁿ ( xy ) y λ ^m (λ ⁿ ( x )) se eliminan.

Ejemplos

• El anillo Z de números enteros , con los coeficientes binomiales como operaciones (que también se definen para x negativo ) es un anillo λ. De hecho, esta es la única estructura λ en Z. Este ejemplo está estrechamente relacionado con el caso de espacios vectoriales de dimensión finita mencionado en la sección Motivación anterior, identificando cada espacio vectorial con su dimensión y recordando que . ${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={x \choose n}}$ ${\displaystyle \dim(\Lambda ^{n}(k^{x}))={x \choose n}}$
• De manera más general, cualquier anillo binomial se convierte en un anillo λ si definimos las operaciones λ como los coeficientes binomiales, λ ⁿ ( x ) = (^xn
  _​). En estos anillos λ, todas las operaciones de Adams son la identidad.
• La teoría K K( X ) de un espacio topológico X es un anillo λ, con las operaciones lambda inducidas tomando potencias exteriores de un haz de vectores.
• Dado un grupo G y un campo base k , el anillo de representación R ( G ) es un anillo λ; las λ-operaciones son inducidas por las potencias exteriores de k -representaciones lineales del grupo G.
• El anillo Λ _Z de funciones simétricas es un anillo λ. En los coeficientes enteros, las operaciones λ se definen mediante coeficientes binomiales como anteriormente, y si e ₁ , e ₂ , ... denotan funciones simétricas elementales, establecemos λ ⁿ ( e ₁ ) = e _n . Utilizando los axiomas para las operaciones λ y el hecho de que las funciones e _k son algebraicamente independientes y generan el anillo Λ _Z , esta definición se puede ampliar de una manera única para convertir Λ _Z en un anillo λ. De hecho, este es el anillo λ libre en un generador, siendo el generador e ₁ . (Yau (2010, p.14)).

Otras propiedades y definiciones

Cada anillo λ tiene la característica 0 y contiene el anillo λ Z como subanillo λ.

Muchas nociones de álgebra conmutativa pueden extenderse a los anillos λ. Por ejemplo, un homomorfismo λ entre los anillos λ R y S es un homomorfismo de anillo f : R → S tal que f (λ ⁿ ( x )) = λ ⁿ ( f ( x )) para todo x en R y todo n ≥ 0. Un λ-ideal en el anillo λ R es un ideal I en R tal que λ ⁿ ( x ) ϵ I para todo x en R y todo n ≥ 1.

Si x es un elemento de un anillo λ y m es un entero no negativo tal que λ ^m ( x ) ≠ 0 y λ ⁿ ( x ) = 0 para todo n > m , escribimos dim( x ) = m y llamamos el elemento x de dimensión finita. No es necesario que todos los elementos sean de dimensiones finitas. Tenemos dim( x + y ) ≤ dim( x ) + dim( y ) y el producto de elementos unidimensionales es unidimensional .

Ver también

• clase negra
• Función simétrica
• teoría k
• operación adams
• exponencial pletista

Referencias

1. Pieter Belmans (23 de octubre de 2014). "Tres filtraciones en el anillo de Grothendieck de un esquema".

• Atiyah, MF; Tall, DO (1969), "Representaciones de grupos, anillos λ y homomorfismo J", Topología , 8 : 253–297, doi :10.1016/0040-9383(69)90015-9, MR  0244387
• Expo 0 y V de Berthelot, Pierre ; Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie , eds. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clases de matemáticas 225 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi :10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8. SEÑOR  0354655.
• Grothendieck, Alexander (1957), "Anillos λ especiales", inédito
• Grothendieck, Alexander (1958), "La théorie desclasses de Chern", Bull. Soc. Matemáticas. Francia , 86 : 137–154, SEÑOR  0116023
• Hazewinkel, Michiel (2009), "Vectores de Witt. I.", Manual de álgebra. vol. 6 , Ámsterdam: Elsevier/Holanda Septentrional, págs. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi :10.1016/S1570-7954(08)00207-6, ISBN 978-0-444-53257-2, señor  2553661
• Knutson, Donald (1973), Los anillos λ y la teoría de la representación del grupo simétrico , Lecture Notes in Mathematics, vol. 308, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0069217, MR  0364425
• Lascoux, Alain (2003), Funciones simétricas y operadores combinatorios en polinomios (PDF) , CBMS Reg. Conf. Ser. en matemáticas. 99, Sociedad Matemática Estadounidense
• Soulé, C.; Abramovich, Dan; Burnol, J.-F.; Kramer, Jürg (1992). Conferencias sobre geometría de Arakelov . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 33. Trabajo conjunto con H. Gillet. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-47709-3. Zbl  0812.14015.
• Yau, Donald (2010), anillos Lambda, Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., doi :10.1142/7664, ISBN 978-981-4299-09-1, señor  2649360