Movimiento browniano

Movimiento aleatorio de partículas suspendidas en un fluido.

Paseo aleatorio bidimensional de un átomo de plata sobre una superficie de Ag(111) ^[1]

Simulación del movimiento browniano de una partícula grande, análoga a una partícula de polvo, que choca con un gran conjunto de partículas más pequeñas, análogas a las moléculas de un gas, que se mueven con diferentes velocidades en diferentes direcciones aleatorias.

El movimiento browniano es el movimiento aleatorio de partículas suspendidas en un medio (un líquido o un gas ). ^[2]

Este patrón de movimiento consiste típicamente en fluctuaciones aleatorias en la posición de una partícula dentro de un subdominio de fluido, seguidas de una reubicación a otro subdominio. Cada reubicación es seguida por más fluctuaciones dentro del nuevo volumen cerrado. Este patrón describe un fluido en equilibrio térmico , definido por una temperatura dada . Dentro de un fluido de este tipo, no existe una dirección preferencial de flujo (como en los fenómenos de transporte ). Más específicamente, los momentos lineales y angulares generales del fluido permanecen nulos con el tiempo. Las energías cinéticas de los movimientos brownianos moleculares, junto con las de las rotaciones y vibraciones moleculares, suman el componente calórico de la energía interna de un fluido (el teorema de equipartición ). ^{[ cita requerida ]}

Este movimiento recibe su nombre del botánico Robert Brown , quien describió por primera vez el fenómeno en 1827, mientras observaba a través de un microscopio el polen de la planta Clarkia pulchella sumergida en agua. En 1900, el matemático francés Louis Bachelier modeló el proceso estocástico ahora llamado movimiento browniano en su tesis doctoral, La teoría de la especulación (Théorie de la spéculation), preparada bajo la supervisión de Henri Poincaré . Luego, en 1905, el físico teórico Albert Einstein publicó un artículo donde modeló el movimiento de las partículas de polen como si fueran movidas por moléculas de agua individuales , haciendo una de sus primeras contribuciones científicas importantes. ^[3]

La dirección de la fuerza del bombardeo atómico cambia constantemente y, en diferentes momentos, la partícula es golpeada más por un lado que por el otro, lo que da lugar a la naturaleza aparentemente aleatoria del movimiento. Esta explicación del movimiento browniano sirvió como prueba convincente de la existencia de átomos y moléculas y fue verificada experimentalmente por Jean Perrin en 1908. Perrin recibió el Premio Nobel de Física en 1926 "por su trabajo sobre la estructura discontinua de la materia". ^[4]

Las interacciones de muchos cuerpos que dan lugar al patrón browniano no pueden resolverse mediante un modelo que tenga en cuenta cada molécula implicada. En consecuencia, solo se pueden emplear modelos probabilísticos aplicados a poblaciones moleculares para describirlo. ^[5] A continuación se presentan dos de estos modelos de la mecánica estadística , debidos a Einstein y Smoluchowski. Otra clase de modelos puramente probabilísticos es la clase de los modelos de procesos estocásticos . Existen secuencias de procesos estocásticos tanto más simples como más complicados que convergen (en el límite ) al movimiento browniano (véase el paseo aleatorio y el teorema de Donsker ). ^{[6] [7]}

Historia

Reproducidos del libro de Jean Baptiste Perrin , Les Atomes , se muestran tres trazados del movimiento de partículas coloidales de radio 0,53 μm, tal como se observan bajo el microscopio. Las posiciones sucesivas cada 30 segundos están unidas por segmentos de línea recta (el tamaño de la malla es de 3,2 μm). ^[8]

El poema científico del filósofo y poeta romano Lucrecio “ Sobre la naturaleza de las cosas ” ( c.  60 a. C. ) contiene una descripción notable del movimiento de las partículas de polvo en los versos 113-140 del Libro II. La utiliza como prueba de la existencia de los átomos:

Observad lo que ocurre cuando los rayos del sol penetran en un edificio y arrojan luz sobre sus zonas oscuras. Veréis una multitud de diminutas partículas mezclándose de múltiples maneras... su danza es una indicación real de movimientos subyacentes de la materia que están ocultos a nuestra vista... Se origina en los átomos que se mueven por sí mismos [es decir, espontáneamente]. Entonces, aquellos pequeños cuerpos compuestos que están menos alejados del impulso de los átomos se ponen en movimiento por el impacto de sus golpes invisibles y a su vez chocan contra cuerpos ligeramente más grandes. Así, el movimiento asciende desde los átomos y emerge gradualmente hasta el nivel de nuestros sentidos, de modo que aquellos cuerpos que vemos en los rayos del sol están en movimiento, movidos por golpes que permanecen invisibles.

Aunque el movimiento de mezcla y volteretas de las partículas de polvo es causado en gran medida por corrientes de aire, el movimiento brillante y tembloroso de las partículas de polvo pequeñas es causado principalmente por la verdadera dinámica browniana ; Lucrecio "describe y explica perfectamente el movimiento browniano con un ejemplo erróneo". ^[9]

Aunque Jan Ingenhousz describió el movimiento irregular de las partículas de polvo de carbón sobre la superficie del alcohol en 1785, el descubrimiento de este fenómeno se atribuye a menudo al botánico Robert Brown en 1827. Brown estaba estudiando los granos de polen de la planta Clarkia pulchella suspendidos en agua bajo un microscopio cuando observó que las partículas diminutas, expulsadas por los granos de polen, ejecutaban un movimiento tembloroso. Al repetir el experimento con partículas de materia inorgánica, pudo descartar que el movimiento estuviera relacionado con la vida, aunque su origen aún estaba por explicar.

La primera persona que describió las matemáticas detrás del movimiento browniano fue Thorvald N. Thiele en un artículo sobre el método de mínimos cuadrados publicado en 1880. A esto le siguió de forma independiente Louis Bachelier en 1900 en su tesis doctoral "La teoría de la especulación", en la que presentó un análisis estocástico de los mercados de acciones y opciones. El modelo del movimiento browniano se cita a menudo en el ámbito financiero, pero Benoit Mandelbrot rechazó su aplicabilidad a los movimientos de los precios de las acciones en parte porque estos son discontinuos. ^[10]

Albert Einstein (en uno de sus artículos de 1905 ) y Marian Smoluchowski (1906) llamaron la atención de los físicos sobre la solución del problema y la presentaron como una forma de confirmar indirectamente la existencia de átomos y moléculas. Sus ecuaciones que describen el movimiento browniano fueron verificadas posteriormente por el trabajo experimental de Jean Baptiste Perrin en 1908.

Teorías de la mecánica estadística

La teoría de Einstein

La teoría de Einstein consta de dos partes: la primera consiste en la formulación de una ecuación de difusión para partículas brownianas, en la que el coeficiente de difusión está relacionado con el desplazamiento cuadrático medio de una partícula browniana, mientras que la segunda parte consiste en relacionar el coeficiente de difusión con magnitudes físicas mensurables. ^[11] De esta forma, Einstein pudo determinar el tamaño de los átomos y cuántos átomos hay en un mol, o el peso molecular en gramos, de un gas. ^[12] De acuerdo con la ley de Avogadro , este volumen es el mismo para todos los gases ideales, que es de 22,414 litros a temperatura y presión estándar. El número de átomos contenidos en este volumen se denomina número de Avogadro , y la determinación de este número equivale al conocimiento de la masa de un átomo, ya que esta última se obtiene dividiendo la masa molar del gas por la constante de Avogadro .

Curvas características en forma de campana de la difusión de partículas brownianas. La distribución comienza como una función delta de Dirac , lo que indica que todas las partículas están ubicadas en el origen en el tiempo t = 0. A medida que t aumenta, la distribución se aplana (aunque sigue teniendo forma de campana) y, en última instancia, se vuelve uniforme en el límite en el que el tiempo tiende al infinito.

La primera parte del argumento de Einstein fue determinar qué tan lejos viaja una partícula browniana en un intervalo de tiempo dado. ^[3] La mecánica clásica no puede determinar esta distancia debido a la enorme cantidad de bombardeos que sufrirá una partícula browniana, aproximadamente del orden de 10 ¹⁴ colisiones por segundo. ^[2]

Consideró el incremento de las posiciones de las partículas en el tiempo en un espacio unidimensional ( x ) (con las coordenadas elegidas de modo que el origen se encuentre en la posición inicial de la partícula) como una variable aleatoria ( ) con alguna función de densidad de probabilidad (es decir, es la densidad de probabilidad para un salto de magnitud , es decir, la densidad de probabilidad de que la partícula incremente su posición de a en el intervalo de tiempo ). Además, suponiendo la conservación del número de partículas, expandió la densidad numérica (número de partículas por unidad de volumen alrededor de ) en el tiempo en una serie de Taylor , donde la segunda igualdad es por definición de . La integral en el primer término es igual a uno por la definición de probabilidad, y el segundo y otros términos pares (es decir, el primero y otros momentos impares ) se desvanecen debido a la simetría espacial. Lo que queda da lugar a la siguiente relación: Donde el coeficiente después del laplaciano , el segundo momento de probabilidad de desplazamiento , se interpreta como difusividad de masa D : Entonces la densidad de partículas brownianas ρ en el punto x en el tiempo t satisface la ecuación de difusión : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varphi (q)}$ ${\displaystyle \varphi (q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+q}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \rho (x,t+\tau )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t+\tau }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t+\tau )={}&\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}+\cdots \\[2ex]={}&\int _{-\infty }^{\infty }\rho (x-q,t)\,\varphi (q)\,dq=\mathbb {E} _{q}{\left[\rho (x-q,t)\right]}\\[1ex]={}&\rho (x,t)\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (q)\,dq-{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,\int _{-\infty }^{\infty }q\,\varphi (q)\,dq+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \\[1ex]={}&\rho (x,t)\cdot 1-0+{\cfrac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq+{\text{higher-order even moments.}}}$$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$$

Suponiendo que N partículas parten del origen en el tiempo inicial t = 0, la ecuación de difusión tiene la solución Esta expresión (que es una distribución normal con media y varianza , generalmente llamada movimiento browniano ) permitió a Einstein calcular los momentos directamente. Se observa que el primer momento se desvanece, lo que significa que la partícula browniana tiene la misma probabilidad de moverse hacia la izquierda que hacia la derecha. El segundo momento, sin embargo, no se desvanece, y está dado por Esta ecuación expresa el desplazamiento cuadrático medio en términos del tiempo transcurrido y la difusividad. A partir de esta expresión, Einstein argumentó que el desplazamiento de una partícula browniana no es proporcional al tiempo transcurrido, sino a su raíz cuadrada. ^[11] Su argumento se basa en un cambio conceptual del "conjunto" de partículas brownianas a la partícula browniana "única": podemos hablar del número relativo de partículas en un solo instante, así como del tiempo que tarda una partícula browniana en alcanzar un punto dado. ^[13] $${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right)}.}$$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2Dt}$ ${\displaystyle B_{t}}$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}=2Dt.}$$

La segunda parte de la teoría de Einstein relaciona la constante de difusión con magnitudes físicamente mensurables, como el desplazamiento cuadrático medio de una partícula en un intervalo de tiempo determinado. Este resultado permite determinar experimentalmente el número de Avogadro y, por tanto, el tamaño de las moléculas. Einstein analizó el establecimiento de un equilibrio dinámico entre fuerzas opuestas. Lo bueno de su argumento es que el resultado final no depende de qué fuerzas intervienen en el establecimiento del equilibrio dinámico.

En su tratamiento original, Einstein consideró un experimento de presión osmótica , pero se puede llegar a la misma conclusión de otras maneras.

Consideremos, por ejemplo, partículas suspendidas en un fluido viscoso en un campo gravitatorio. La gravedad tiende a hacer que las partículas se sedimenten, mientras que la difusión actúa para homogeneizarlas, empujándolas hacia regiones de menor concentración. Bajo la acción de la gravedad, una partícula adquiere una velocidad descendente de v = μmg , donde m es la masa de la partícula, g es la aceleración debida a la gravedad y μ es la movilidad de la partícula en el fluido. George Stokes había demostrado que la movilidad de una partícula esférica con radio r es , donde η es la viscosidad dinámica del fluido. En un estado de equilibrio dinámico, y bajo la hipótesis del fluido isotérmico, las partículas se distribuyen de acuerdo con la distribución barométrica donde ρ − ρ _o es la diferencia de densidad de partículas separadas por una diferencia de altura, de , k _B es la constante de Boltzmann (la relación entre la constante universal de los gases , R , y la constante de Avogadro, N _A ), y T es la temperatura absoluta . ${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{6\pi \eta r}}}$ $${\displaystyle \rho =\rho _{o}\,\exp \left({-{\frac {mgh}{k_{\text{B}}T}}}\right),}$$ ${\displaystyle h=z-z_{o}}$

Perrin examinó el equilibrio (distribución barométrica) de gránulos (0,6 micrones ) de gamboge , una sustancia viscosa, bajo el microscopio. Los gránulos se mueven contra la gravedad hacia regiones de menor concentración. El cambio relativo en la densidad observado en 10 micrones de suspensión es equivalente al que ocurre en 6 km de aire.

El equilibrio dinámico se establece porque cuanto más se atraen las partículas hacia abajo por la gravedad , mayor es la tendencia de las partículas a migrar a regiones de menor concentración. El flujo está dado por la ley de Fick , donde J = ρv . Introduciendo la fórmula para ρ , encontramos que $${\displaystyle J=-D{\frac {d\rho }{dh}},}$$ $${\displaystyle v={\frac {Dmg}{k_{\text{B}}T}}.}$$

En un estado de equilibrio dinámico, esta velocidad también debe ser igual a v = μmg . Ambas expresiones para v son proporcionales a mg , lo que refleja que la derivación es independiente del tipo de fuerzas consideradas. De manera similar, se puede derivar una fórmula equivalente para partículas cargadas idénticas de carga q en un campo eléctrico uniforme de magnitud E , donde mg se reemplaza con la fuerza electrostática qE . Igualando estas dos expresiones se obtiene la relación de Einstein para la difusividad, independiente de mg o qE u otras fuerzas similares: Aquí la primera igualdad se desprende de la primera parte de la teoría de Einstein, la tercera igualdad se desprende de la definición de la constante de Boltzmann como k _B = R / N _A , y la cuarta igualdad se desprende de la fórmula de Stokes para la movilidad. Midiendo el desplazamiento cuadrático medio durante un intervalo de tiempo junto con la constante universal de los gases R , la temperatura T , la viscosidad η y el radio de la partícula r , se puede determinar la constante de Avogadro N _{A .} $${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}}{2t}}=D=\mu k_{\text{B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}.}$$

El tipo de equilibrio dinámico propuesto por Einstein no era nuevo. JJ Thomson ^[14] ya había señalado en su serie de conferencias en la Universidad de Yale en mayo de 1903 que el equilibrio dinámico entre la velocidad generada por un gradiente de concentración dado por la ley de Fick y la velocidad debida a la variación de la presión parcial causada cuando los iones se ponen en movimiento "nos proporciona un método para determinar la constante de Avogadro que es independiente de cualquier hipótesis sobre la forma o el tamaño de las moléculas, o sobre la manera en que actúan unas sobre otras". ^[14]

Una expresión idéntica a la fórmula de Einstein para el coeficiente de difusión fue encontrada también por Walther Nernst en 1888 ^[15] en la que expresó el coeficiente de difusión como la relación entre la presión osmótica y la relación entre la fuerza de fricción y la velocidad a la que da lugar. La primera se equiparó a la ley de van 't Hoff mientras que la segunda fue dada por la ley de Stokes . Escribe para el coeficiente de difusión k′ , donde es la presión osmótica y k es la relación entre la fuerza de fricción y la viscosidad molecular que supone que está dada por la fórmula de Stokes para la viscosidad. Introduciendo la ley de los gases ideales por unidad de volumen para la presión osmótica, la fórmula se vuelve idéntica a la de Einstein. ^[16] El uso de la ley de Stokes en el caso de Nernst, así como en Einstein y Smoluchowski, no es estrictamente aplicable ya que no se aplica al caso en el que el radio de la esfera es pequeño en comparación con el camino libre medio . ^[17] ${\displaystyle k'=p_{o}/k}$ ${\displaystyle p_{o}}$

En un principio, las predicciones de la fórmula de Einstein fueron refutadas aparentemente por una serie de experimentos de Svedberg en 1906 y 1907, que dieron desplazamientos de las partículas de 4 a 6 veces el valor predicho, y por Henri en 1908, que encontró desplazamientos 3 veces mayores que los predichos por la fórmula de Einstein. ^[18] Pero las predicciones de Einstein fueron finalmente confirmadas en una serie de experimentos realizados por Chaudesaigues en 1908 y Perrin en 1909. La confirmación de la teoría de Einstein constituyó un progreso empírico para la teoría cinética del calor . En esencia, Einstein demostró que el movimiento puede predecirse directamente a partir del modelo cinético del equilibrio térmico . La importancia de la teoría residía en el hecho de que confirmaba la explicación de la teoría cinética de la segunda ley de la termodinámica como una ley esencialmente estadística. ^[19]

Modelo de movimiento browniano de la trayectoria de una partícula de tinte en agua.

Modelo de Smoluchowski

La teoría del movimiento browniano de Smoluchowski ^[20] parte de la misma premisa que la de Einstein y deriva la misma distribución de probabilidad ρ ( x , t ) para el desplazamiento de una partícula browniana a lo largo de x en el tiempo t . Por lo tanto, obtiene la misma expresión para el desplazamiento cuadrático medio: . Sin embargo, cuando lo relaciona con una partícula de masa m que se mueve a una velocidad u que es el resultado de una fuerza de fricción gobernada por la ley de Stokes, encuentra donde μ es el coeficiente de viscosidad y a es el radio de la partícula. Asociando la energía cinética con la energía térmica RT / N , la expresión para el desplazamiento cuadrático medio es 64/27 veces la encontrada por Einstein. La fracción 27/64 fue comentada por Arnold Sommerfeld en su necrología sobre Smoluchowski: "El coeficiente numérico de Einstein, que difiere de Smoluchowski en 27/64 solo puede ponerse en duda". ^[21] ${\displaystyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}}$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {mu^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}mu^{2}}{3\pi \mu a}},}$$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

Smoluchowski ^[22] intenta responder a la pregunta de por qué una partícula browniana debería ser desplazada por bombardeos de partículas más pequeñas cuando las probabilidades de golpearla en las direcciones delantera y trasera son iguales. Si la probabilidad de m ganancias y n − m pérdidas sigue una distribución binomial , con probabilidades a priori iguales de 1/2, la ganancia total media es $${\displaystyle P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},}$$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.}$$

Si n es lo suficientemente grande como para que se pueda utilizar la aproximación de Stirling en la forma , entonces la ganancia total esperada será ^{[ cita necesaria ],} lo que demuestra que aumenta como la raíz cuadrada de la población total. $${\displaystyle n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},}$$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}\approx {\sqrt {\frac {2n}{\pi }}},}$$

Supongamos que una partícula browniana de masa M está rodeada de partículas más ligeras de masa m que viajan a una velocidad u . Entonces, razona Smoluchowski, en cualquier colisión entre una partícula browniana y una circundante, la velocidad transmitida a esta última será mu / M . Esta relación es del orden de10 ⁻⁷  cm/s . Pero también tenemos que tener en cuenta que en un gas habrá más de 10 ¹⁶ colisiones en un segundo, e incluso más en un líquido donde esperamos que haya 10 ²⁰ colisiones en un segundo. Algunas de estas colisiones tenderán a acelerar la partícula browniana; otras tenderán a desacelerarla. Si hay un exceso medio de un tipo de colisión u otro del orden de 10 ⁸ a 10 ¹⁰ colisiones en un segundo, entonces la velocidad de la partícula browniana puede estar en cualquier lugar entre10–1000 cm/s . Por lo tanto, aunque existan probabilidades iguales de colisiones hacia adelante y hacia atrás, habrá una tendencia neta a mantener la partícula browniana en movimiento, tal como predice el teorema de la votación.

Estos órdenes de magnitud no son exactos porque no tienen en cuenta la velocidad de la partícula browniana, U , que depende de las colisiones que tienden a acelerarla y desacelerarla. Cuanto mayor sea U , mayores serán las colisiones que la retardarán, de modo que la velocidad de una partícula browniana nunca puede aumentar sin límite. Si tal proceso pudiera ocurrir, equivaldría a un movimiento perpetuo del segundo tipo. Y como se aplica la equipartición de energía, la energía cinética de la partícula browniana, , será igual , en promedio, a la energía cinética de la partícula del fluido circundante, . ${\displaystyle MU^{2}/2}$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

En 1906, Smoluchowski publicó un modelo unidimensional para describir una partícula que experimenta un movimiento browniano. ^[23] El modelo supone colisiones con M ≫ m donde M es la masa de la partícula de prueba y m la masa de una de las partículas individuales que componen el fluido. Se supone que las colisiones de partículas están confinadas a una dimensión y que es igualmente probable que la partícula de prueba sea golpeada desde la izquierda como desde la derecha. También se supone que cada colisión siempre imparte la misma magnitud de Δ V . Si N _R es el número de colisiones desde la derecha y N _L el número de colisiones desde la izquierda, entonces después de N colisiones la velocidad de la partícula habrá cambiado en Δ V (2 N _R − N ) . La multiplicidad entonces simplemente está dada por: y el número total de estados posibles está dado por 2 ^N . Por lo tanto, la probabilidad de que la partícula sea golpeada desde la derecha N _R veces es: $${\displaystyle {\binom {N}{N_{\text{R}}}}={\frac {N!}{N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$ $${\displaystyle P_{N}(N_{\text{R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$

Como resultado de su simplicidad, el modelo 1D de Smoluchowski solo puede describir cualitativamente el movimiento browniano. Para una partícula realista que experimenta un movimiento browniano en un fluido, muchas de las suposiciones no se aplican. Por ejemplo, la suposición de que, en promedio, se produce un número igual de colisiones desde la derecha que desde la izquierda se desmorona una vez que la partícula está en movimiento. Además, habría una distribución de diferentes posibles Δ V s en lugar de siempre solo una en una situación realista.

Otros modelos de física que utilizan ecuaciones diferenciales parciales

La ecuación de difusión proporciona una aproximación de la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad asociada a la posición de la partícula que se encuentra en un movimiento browniano según la definición física. La aproximación es válida en escalas temporales cortas .

La evolución temporal de la posición de la partícula browniana se describe mejor utilizando la ecuación de Langevin , una ecuación que implica un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las fluctuaciones térmicas del solvente sobre la partícula. En dinámica de Langevin y dinámica browniana , la ecuación de Langevin se utiliza para simular de manera eficiente la dinámica de sistemas moleculares que exhiben un fuerte componente browniano.

El desplazamiento de una partícula que experimenta un movimiento browniano se obtiene resolviendo la ecuación de difusión en condiciones de contorno apropiadas y hallando el valor eficaz de la solución. Esto demuestra que el desplazamiento varía con la raíz cuadrada del tiempo (no linealmente), lo que explica por qué los resultados experimentales anteriores sobre la velocidad de las partículas brownianas arrojaron resultados sin sentido. Se supuso incorrectamente una dependencia lineal del tiempo.

Sin embargo, en escalas de tiempo muy cortas, el movimiento de una partícula está dominado por su inercia y su desplazamiento dependerá linealmente del tiempo: Δ x = v Δ t . Por lo tanto, la velocidad instantánea del movimiento browniano se puede medir como v = Δ x /Δ t , cuando Δ t << τ , donde τ es el tiempo de relajación del momento. En 2010, se midió con éxito la velocidad instantánea de una partícula browniana (una microesfera de vidrio atrapada en el aire con pinzas ópticas ). ^[24] Los datos de velocidad verificaron la distribución de velocidad de Maxwell-Boltzmann y el teorema de equipartición para una partícula browniana.

Astrofísica: movimiento de las estrellas dentro de las galaxias

En la dinámica estelar , un cuerpo masivo (estrella, agujero negro , etc.) puede experimentar movimiento browniano al responder a las fuerzas gravitacionales de las estrellas circundantes. ^[25] La velocidad rms V del objeto masivo, de masa M , está relacionada con la velocidad rms de las estrellas de fondo por donde es la masa de las estrellas de fondo. La fuerza gravitacional del objeto masivo hace que las estrellas cercanas se muevan más rápido de lo que lo harían de otra manera, lo que aumenta tanto y V. [ ^25] Se predice a partir de esta fórmula que la velocidad browniana de Sgr A* , el agujero negro supermasivo en el centro de la galaxia Vía Láctea , es menor que 1 km s ⁻¹ . ^[26] ${\displaystyle v_{\star }}$ $${\displaystyle MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}}$$ ${\displaystyle m\ll M}$ ${\displaystyle v_{\star }}$

Matemáticas

Ejemplo animado de un recorrido aleatorio similar al movimiento browniano sobre un toro . En el límite de escala , el recorrido aleatorio se aproxima al proceso de Wiener según el teorema de Donsker .

En matemáticas , el movimiento browniano se describe mediante el proceso de Wiener , un proceso estocástico de tiempo continuo llamado así en honor a Norbert Wiener . Es uno de los procesos de Lévy más conocidos ( procesos estocásticos de càdlàg con incrementos independientes estacionarios ) y se da con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas, economía y física .

Una única realización del movimiento browniano tridimensional para tiempos 0 ≤ t ≤ 2

El proceso de Wiener W _t se caracteriza por cuatro hechos: ^[27]

1. W0 = ₀
2. W _t es casi seguramente continuo
3. W _t tiene incrementos independientes
4. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}$ (para ). ${\displaystyle 0\leq s\leq t}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$denota la distribución normal con valor esperado μ y varianza σ ² . La condición de que tenga incrementos independientes significa que si entonces y son variables aleatorias independientes. Además, para alguna filtración , es medible para todos los . ${\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}}$ ${\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}}$ ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la llamada caracterización de Lévy , que dice que el proceso de Wiener es una martingala casi seguramente continua con W ₀ = 0 y variación cuadrática . ${\displaystyle [W_{t},W_{t}]=t}$

Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie de senos cuyos coeficientes son variables aleatorias independientes. Esta representación se puede obtener utilizando el teorema de Kosambi–Karhunen–Loève . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

El proceso de Wiener se puede construir como el límite de escala de un paseo aleatorio u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos independientes estacionarios. Esto se conoce como el teorema de Donsker . Al igual que el paseo aleatorio, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que regresa casi con seguridad a cualquier entorno fijo del origen infinitamente a menudo), mientras que no es recurrente en dimensiones tres y superiores. A diferencia del paseo aleatorio, es invariante de escala .

La evolución temporal de la posición de la partícula browniana se puede describir aproximadamente mediante una ecuación de Langevin , una ecuación que implica un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las fluctuaciones térmicas del disolvente sobre la partícula browniana. En escalas de tiempo largas, el movimiento browniano matemático se describe bien mediante una ecuación de Langevin. En escalas de tiempo pequeñas, los efectos inerciales prevalecen en la ecuación de Langevin. Sin embargo, el movimiento browniano matemático está exento de tales efectos inerciales. Los efectos inerciales deben considerarse en la ecuación de Langevin, de lo contrario la ecuación se vuelve singular. ^{[ aclaración necesaria ]} de modo que simplemente eliminar el término de inercia de esta ecuación no daría como resultado una descripción exacta, sino más bien un comportamiento singular en el que la partícula no se mueve en absoluto. ^{[ aclaración necesaria ]}

Un campo libre gaussiano de dimensión d se ha descrito como "un análogo en tiempo d-dimensional del movimiento browniano". ^[28]

Estadística

El movimiento browniano se puede modelar mediante un paseo aleatorio . ^[29]

En el caso general, el movimiento browniano es un proceso de Markov y se describe mediante ecuaciones integrales estocásticas . ^[30]

Caracterización de Lévy

El matemático francés Paul Lévy demostró el siguiente teorema, que establece una condición necesaria y suficiente para que un proceso estocástico continuo de valor ⁿ X sea en realidad un movimiento browniano n -dimensional. Por lo tanto, la condición de Lévy puede utilizarse como una definición alternativa del movimiento browniano.

Sea X = ( X ₁ , ..., X _n ) un proceso estocástico continuo en un espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ) que toma valores en R ⁿ . Entonces, los siguientes son equivalentes:

1. X es un movimiento browniano con respecto a P , es decir, la ley de X con respecto a P es la misma que la ley de un movimiento browniano n -dimensional, es decir, la medida de empuje hacia adelante X _∗ ( P ) es una medida clásica de Wiener en C ₀ ( [0, ∞) ; R ⁿ ) .
2. ambos
   1. X es una martingala con respecto a P (y su propia filtración natural ); y
   2. para todo 1 ≤ i , j ≤ n , X _i ( t ) X _j ( t ) − δ _ij t es una martingala con respecto a P (y su propia filtración natural ), donde δ _ij denota el delta de Kronecker .

Contenido espectral

El contenido espectral de un proceso estocástico se puede encontrar a partir de la densidad espectral de potencia , definida formalmente como donde representa el valor esperado . Se encuentra que la densidad espectral de potencia del movimiento browniano es ^[31] donde D es el coeficiente de difusión de X _t . Para señales que ocurren naturalmente, el contenido espectral se puede encontrar a partir de la densidad espectral de potencia de una única realización, con tiempo disponible finito, es decir, que para una realización individual de una trayectoria de movimiento browniano, ^[32] se encuentra que tiene valor esperado y varianza ^[32] ${\displaystyle X_{t}}$ $${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left\{\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}\right\},}$$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ $${\displaystyle S_{BM}(\omega )={\frac {4D}{\omega ^{2}}}.}$$ $${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)={\frac {1}{T}}\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2},}$$ ${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)}$ $${\displaystyle \mu _{\text{BM}}(\omega ,T)={\frac {4D}{\omega ^{2}}}\left[1-{\frac {\sin \left(\omega T\right)}{\omega T}}\right]}$$ ${\displaystyle \sigma _{\text{BM}}^{2}(\omega ,T)}$ $${\displaystyle \sigma _{S}^{2}(f,T)=\mathbb {E} \left\{\left(S_{T}^{(j)}(f)\right)^{2}\right\}-\mu _{S}^{2}(f,T)={\frac {20D^{2}}{f^{4}}}\left[1-{\Big (}6-\cos \left(fT\right){\Big )}{\frac {2\sin \left(fT\right)}{5fT}}+{\frac {{\Big (}17-\cos \left(2fT\right)-16\cos \left(fT\right){\Big )}}{10f^{2}T^{2}}}\right].}$$

Para tiempos de realización suficientemente largos, el valor esperado del espectro de potencia de una única trayectoria converge a la densidad espectral de potencia definida formalmente , pero su coeficiente de variación tiende a . Esto implica que la distribución de es amplia incluso en el límite de tiempo infinito. ${\displaystyle S(\omega )}$ ${\displaystyle \gamma =\sigma /\mu }$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$ ${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)}$

Variedad de Riemann

Movimiento browniano en una esfera

El generador infinitesimal (y por lo tanto el operador característico ) de un movimiento browniano en R ⁿ se calcula fácilmente como ⁠1/2⁠ Δ , donde Δ denota el operador de Laplace . En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora , el operador laplaciano se ha utilizado para varias tareas, como la detección de manchas y bordes . Esta observación es útil para definir el movimiento browniano en una variedad de Riemann de dimensión m ( M , g ) : un movimiento browniano en M se define como una difusión en M cuyo operador característicoen coordenadas locales x _i , 1 ≤ i ≤ m , viene dado por ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$1/2⁠ Δ _LB , donde Δ _LB es el operador de Laplace–Beltrami dado en coordenadas locales por donde [ g ^ij ] = [ g _ij ] ⁻¹ en el sentido de la inversa de una matriz cuadrada . $${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$$

Escapar por los pelos

El problema del escape estrecho es un problema omnipresente en biología, biofísica y biología celular que tiene la siguiente formulación: una partícula browniana ( ion , molécula o proteína ) está confinada en un dominio acotado (un compartimento o una célula) por un límite reflectante, excepto por una pequeña ventana a través de la cual puede escapar. El problema del escape estrecho consiste en calcular el tiempo de escape medio. Este tiempo diverge a medida que la ventana se encoge, lo que convierte el cálculo en un problema de perturbación singular .

Véase también

• Puente browniano : un movimiento browniano que se requiere para "unir" valores específicos en momentos específicos
• Covarianza browniana
• Dinámica browniana
• Movimiento browniano de las partículas del sol
• Motor browniano
• Ruido browniano
• Trinquete browniano
• Superficie browniana
• Árbol browniano
• Red browniana
• Movimiento browniano rotacional
• Clinamen
• Sistema complejo
• Ecuación de continuidad
• Ecuación de difusión
• Movimiento browniano geométrico
• Difusión de Itô : una generalización del movimiento browniano
• Ecuación de Langevin
• Ley del arcoseno de Lévy
• Hora local (matemáticas)
• Problema de muchos cuerpos
• Efecto Marangoni
• Análisis de seguimiento de nanopartículas
• Problema de escape por poco
• Ósmosis
• Paseo aleatorio
• Evolución de Schramm-Loewner
• Trayectorias de partículas individuales
• Seguimiento de partículas individuales
• Mecánica estadística
• Métodos lagrangianos eulerianos estocásticos  : métodos de simulación para el movimiento browniano de estructuras extendidas espacialmente y acoplamiento hidrodinámico.
• Dinámica Stokesiana
• Difusión superficial : un tipo de movimiento browniano restringido.
• Equilibrio térmico
• Equilibrio termodinámico
• Detección por triangulación
• Efecto Tyndall : fenómeno en el que intervienen partículas; utilizado para diferenciar entre los diferentes tipos de mezclas.
• Ultramicroscopio

Referencias

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Lectura adicional

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• Perrin, J. (1909). "Mouvement brownien et réalité moléculaire" [Movimiento browniano y realidad molecular]. Annales de chimie et de physique . 8va serie. 18 : 5–114.
  • Véase también el libro de Perrin "Les Atomes" (1914).
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• Svedberg, T. (1907). Studien zur Lehre von den kolloides Losungen .
• Theile, Tennessee
  • Versión danesa: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder Giver Fejlene en 'systematisk' Karakter".
  • Versión francesa: "Sur lacompensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" publicada simultáneamente en Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og estera. Afd. , 12:381–408, 1880.

Enlaces externos

• Einstein y el movimiento browniano
• Analiza la historia, la botánica y la física de las observaciones originales de Brown, con videos.
• "La predicción de Einstein se cumple finalmente un siglo después": una prueba para observar la velocidad del movimiento browniano
• Demostración del movimiento browniano a gran escala