Glosario de símbolos matemáticos

Meanings of symbols used in mathematics

Un símbolo matemático es una figura o una combinación de figuras que se utiliza para representar un objeto matemático , una acción sobre objetos matemáticos, una relación entre objetos matemáticos o para estructurar los demás símbolos que aparecen en una fórmula . Como las fórmulas están constituidas en su totalidad por símbolos de diversos tipos, se necesitan muchos símbolos para expresar todas las matemáticas.

Los símbolos más básicos son los dígitos decimales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y las letras del alfabeto latino . Los dígitos decimales se utilizan para representar números a través del sistema de numeración hindú-arábigo . Históricamente, las letras mayúsculas se utilizaban para representar puntos en geometría, y las letras minúsculas se utilizaban para variables y constantes . Las letras se utilizan para representar muchos otros tipos de objetos matemáticos . A medida que el número de estos tipos ha aumentado notablemente en las matemáticas modernas, también se utilizan el alfabeto griego y algunas letras hebreas . En las fórmulas matemáticas, el tipo de letra estándar es la letra cursiva para las letras latinas y las letras griegas minúsculas, y el tipo vertical para las letras griegas mayúsculas. Para tener más símbolos también se utilizan otras tipografías, principalmente boldface , script typeface (la tipografía minúscula script rara vez se utiliza por la posible confusión con la tipografía estándar), fraktur alemana y blackboard bold (las otras letras rara vez se utilizan en esta tipografía, o su uso es poco convencional). ${\displaystyle \mathbf {a,A,b,B} ,\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {A,B}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a,A,b,B}},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F,P} _{q}}$

En este artículo no se describe el uso de letras latinas y griegas como símbolos para denotar objetos matemáticos. Para dichos usos, véase Variable (matemáticas) y Lista de constantes matemáticas . Sin embargo, algunos símbolos que se describen aquí tienen la misma forma que la letra de la que se derivan, como y . ${\displaystyle \textstyle \prod {}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum {}}$

Estas letras por sí solas no son suficientes para las necesidades de los matemáticos, y se utilizan muchos otros símbolos. Algunos tienen su origen en los signos de puntuación y diacríticos utilizados tradicionalmente en tipografía ; otros, en la deformación de las formas de las letras , como en los casos de y . Otros, como + y = , fueron diseñados especialmente para las matemáticas. ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \forall }$

Diseño de este artículo

• Normalmente, las entradas de un glosario se estructuran por temas y se ordenan alfabéticamente. Esto no es posible en este caso, ya que no existe un orden natural de los símbolos y muchos de ellos se utilizan en distintas partes de las matemáticas con significados diferentes, a menudo completamente inconexos. Por lo tanto, se tuvieron que hacer algunas elecciones arbitrarias, que se resumen a continuación.
• El artículo está dividido en secciones que están ordenadas según un nivel de tecnicismo creciente. Es decir, las primeras secciones contienen los símbolos que se encuentran en la mayoría de los textos matemáticos y que se supone que conocen incluso los principiantes. Por otro lado, las últimas secciones contienen símbolos que son específicos de algún área de las matemáticas y se ignoran fuera de estas áreas. Sin embargo, la larga sección sobre corchetes se ha colocado cerca del final, aunque la mayoría de sus entradas son elementales: esto hace que sea más fácil buscar una entrada de símbolo desplazándose.
• La mayoría de los símbolos tienen múltiples significados que generalmente se distinguen ya sea por el área de las matemáticas donde se utilizan o por su sintaxis , es decir, por su posición dentro de una fórmula y la naturaleza de las otras partes de la fórmula que están cerca de ellas.
• Como los lectores pueden no ser conscientes del área de las matemáticas con la que se relaciona el símbolo que están buscando, los diferentes significados de un símbolo se agrupan en la sección correspondiente a su significado más común.
• Cuando el significado depende de la sintaxis, un símbolo puede tener diferentes entradas según la sintaxis. Para resumir la sintaxis en el nombre de la entrada, el símbolo se utiliza para representar las partes adyacentes de una fórmula que contiene el símbolo. Consulte § Corchetes para ver ejemplos de uso. ${\displaystyle \Box }$
• La mayoría de los símbolos tienen dos versiones impresas. Pueden mostrarse como caracteres Unicode o en formato LaTeX . Con la versión Unicode, el uso de motores de búsqueda y la función copiar y pegar son más fáciles. Por otro lado, la representación en LaTeX suele ser mucho mejor (más estética) y, en general, se considera un estándar en matemáticas. Por lo tanto, en este artículo, se utiliza la versión Unicode de los símbolos (cuando es posible) para etiquetar su entrada, y la versión LaTeX se utiliza en su descripción. Por lo tanto, para saber cómo escribir un símbolo en LaTeX, basta con consultar la fuente del artículo.
• Para la mayoría de los símbolos, el nombre de la entrada es el símbolo Unicode correspondiente. Por lo tanto, para buscar la entrada de un símbolo, basta con escribir o copiar el símbolo Unicode en el cuadro de texto de búsqueda. De manera similar, cuando es posible, el nombre de la entrada de un símbolo también es un ancla , lo que permite vincularlo fácilmente desde otro artículo de Wikipedia. Cuando el nombre de una entrada contiene caracteres especiales como [, ] y |, también hay un ancla, pero hay que consultar la fuente del artículo para saberlo.
• Finalmente, cuando hay un artículo sobre el símbolo en sí (no sobre su significado matemático), se incluye un enlace en el nombre de la entrada.

Operadores aritméticos

+     ( signo más )

1. Denota adición y se lee como más ; por ejemplo, 3 + 2 .

2. Indica que un número es positivo y se lee como plus . Es redundante, pero a veces se usa para enfatizar que un número es positivo , especialmente cuando otros números en el contexto son o pueden ser negativos; por ejemplo, +2 .

3. A veces se utiliza en lugar de para una unión disjunta de conjuntos . ${\displaystyle \sqcup }$

−     ( signo menos )

1. Denota resta y se lee como menos ; por ejemplo, 3 – 2 .

2. Denota el inverso aditivo y se lee como menos , el negativo de , o el opuesto de ; por ejemplo, –2 .

3. También se utiliza en lugar de \ para denotar el complemento teórico de conjuntos ; véase \ en § Teoría de conjuntos.

×     ( signo de multiplicación )

1. En aritmética elemental , denota multiplicación , y se lee como veces ; por ejemplo, 3 × 2 .

2. En geometría y álgebra lineal , denota el producto vectorial .

3. En teoría de conjuntos y teoría de categorías , denota el producto cartesiano y el producto directo . Véase también × en § Teoría de conjuntos.

·     ( punto )

1. Denota multiplicación y se lee como veces ; por ejemplo, 3 ⋅ 2 .

2. En geometría y álgebra lineal , denota el producto escalar .

3. Marcador de posición utilizado para reemplazar un elemento indeterminado. Por ejemplo, decir "el valor absoluto se denota por | · | " es quizás más claro que decir que se denota como | | .

±     ( signo más-menos )

1. Denota un signo más o un signo menos.

2. Denota el rango de valores que puede tener una cantidad medida; por ejemplo, 10 ± 2 denota un valor desconocido que se encuentra entre 8 y 12.

∓     ( signo menos-más )

Usado junto con ± , denota el signo opuesto; es decir, + si ± es – , y – si ± es + .

÷     ( signo de división )

Ampliamente utilizado para denotar división en países anglófonos , ya no es de uso común en matemáticas y su uso "no se recomienda". ^[1] En algunos países, puede indicar resta.

:     ( dos puntos )

1. Denota la relación entre dos cantidades.

2. En algunos países, puede denotar división .

3. En la notación de construcción de conjuntos , se utiliza como separador que significa "tal que"; consulte {□ : □}.

/     ( barra )

1. Denota división y se lee como dividido por o sobre . A menudo se reemplaza por una barra horizontal. Por ejemplo, 3/2 o . ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

2. Denota una estructura de cociente . Por ejemplo, conjunto de cocientes , grupo de cocientes , categoría de cocientes , etc.

3. En teoría de números y teoría de campos , denota una extensión de campo , donde F es un campo de extensión del campo E. ${\displaystyle F/E}$

4. En teoría de la probabilidad , denota una probabilidad condicional . Por ejemplo, denota la probabilidad de A , dado que B ocurre. Generalmente se denota : ver "|". ${\displaystyle P(A/B)}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$

√     ( símbolo de raíz cuadrada )

Denota raíz cuadrada y se lee como la raíz cuadrada de . Rara vez se utiliza en las matemáticas modernas sin una barra horizontal que delimite el ancho de su argumento (ver el siguiente elemento). Por ejemplo, √2 .

√      ( símbolo radical )

1. Denota raíz cuadrada y se lee como la raíz cuadrada de . Por ejemplo, . ${\displaystyle {\sqrt {3+2}}}$

2. Con un entero mayor que 2 como superíndice izquierdo, denota una raíz n- ésima . Por ejemplo, denota la raíz séptima de 3. ${\displaystyle {\sqrt[{7}]{3}}}$

^     ( signo de intercalación )

1.   La exponenciación normalmente se denota con un superíndice . Sin embargo, a menudo se denota x ^ y cuando los superíndices no están fácilmente disponibles, como en los lenguajes de programación (incluido LaTeX ) o en los correos electrónicos de texto sin formato . ${\displaystyle x^{y}}$

2. No debe confundirse con ∧

Igualdad, equivalencia y semejanza

=     ( signo igual )

1. Denota igualdad .

2. Se utiliza para nombrar un objeto matemático en una oración como "sea ", donde E es una expresión . Véase también ≝ , ≜ o . ${\displaystyle x=E}$  ${\displaystyle :=}$

${\displaystyle \triangleq \quad {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\quad :=}$

Cualquiera de estos se utiliza a veces para nombrar un objeto matemático . Por lo tanto, y son cada uno una abreviatura de la frase "let ", donde ⁠ ⁠ es una expresión y ⁠ ⁠ es una variable . Esto es similar al concepto de asignación en informática, que se denota de diversas formas (según el lenguaje de programación utilizado). ${\displaystyle x\triangleq E,}$ ${\displaystyle x\mathrel {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}} E,}$ ${\displaystyle x\mathrel {:=} E}$ ${\displaystyle E\mathrel {=:} x}$ ${\displaystyle x=E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =,:=,\leftarrow ,\ldots }$

≠     ( signo desigual )

Denota desigualdad y significa "no igual".

≈

El símbolo más común para denotar igualdad aproximada . Por ejemplo, ${\displaystyle \pi \approx 3.14159.}$

~     ( tilde )

1. Entre dos números, se utiliza en lugar de ≈ para significar "aproximadamente igual", o bien significa "tiene el mismo orden de magnitud que".

2. Denota la equivalencia asintótica de dos funciones o secuencias.

3. Se utiliza a menudo para denotar otros tipos de similitud, por ejemplo, similitud de matrices o similitud de formas geométricas .

4. Notación estándar para una relación de equivalencia .

5. En probabilidad y estadística , se puede especificar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria . Por ejemplo, significa que la distribución de la variable aleatoria X es normal estándar . ^[2] ${\displaystyle X\sim N(0,1)}$

6. Notación de proporcionalidad . Véase también ∝ para un símbolo menos ambiguo.

≡     ( triple barra )

1. Denota una identidad ; es decir, una igualdad que es verdadera cualesquiera que sean los valores dados a las variables que aparecen en ella.

2. En teoría de números , y más específicamente en aritmética modular , denota la congruencia módulo de un número entero.

3. Puede denotar una equivalencia lógica .

${\displaystyle \cong }$

1. Puede denotar un isomorfismo entre dos estructuras matemáticas y se lee como "es isomorfo a".

2. En geometría , puede denotar la congruencia de dos formas geométricas (es decir, la igualdad hasta un desplazamiento ), y se lee "es congruente con".

Comparación

<     ( signo menor que )

1.   Desigualdad estricta entre dos números; significa y se lee como " menor que ".

2. Se utiliza comúnmente para denotar cualquier orden estricta .

3. Entre dos grupos , puede significar que el primero es un subgrupo propio del segundo.

>     ( signo mayor que )

1.   Desigualdad estricta entre dos números; significa y se lee como " mayor que ".

2. Se utiliza comúnmente para denotar cualquier orden estricta .

3. Entre dos grupos , puede significar que el segundo es un subgrupo propio del primero.

≤

1. Significa " menor o igual a ". Es decir, cualesquiera que sean A y B , A ≤ B es equivalente a A < B o A = B .

2. Entre dos grupos , puede significar que el primero es un subgrupo del segundo.

≥

1. Significa " mayor o igual que ". Es decir, cualesquiera que sean A y B , A ≥ B es equivalente a A > B o A = B .

2. Entre dos grupos , puede significar que el segundo es un subgrupo del primero.

${\displaystyle \ll {\text{ and }}\gg }$

1. Significa " mucho menor que " y " mucho mayor que ". Generalmente, mucho no se define formalmente, pero significa que la cantidad menor puede despreciarse con respecto a la otra. Este es generalmente el caso cuando la cantidad menor es menor que la otra en uno o varios órdenes de magnitud .

2. En teoría de la medida , significa que la medida es absolutamente continua con respecto a la medida . ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \leqq }$

Un símbolo raramente utilizado, generalmente sinónimo de ≤ .

${\displaystyle \prec {\text{ and }}\succ }$

1. Se utiliza a menudo para indicar un pedido o, de forma más general, un pedido anticipado , cuando sería confuso o no sería conveniente utilizar < y > .

2.   Secuencia en lógica asincrónica .

Teoría de conjuntos

∅

Denota el conjunto vacío y se escribe más a menudo como . Utilizando la notación de constructor de conjuntos , también se puede denotar como { } {\displaystyle \{\}} . ${\displaystyle \emptyset }$

#     ( signo de número )

1. Número de elementos: puede denotar la cardinalidad del conjunto S . Una notación alternativa es ; ver | ◻ | {\displaystyle |\square |} . ${\displaystyle \#{}S}$ ${\displaystyle |S|}$

2.   Primorial : denota el producto de los números primos que no son mayores que n . ${\displaystyle n{}\#}$

3. En topología , denota la suma conexa de dos variedades o dos nudos . ${\displaystyle M\#N}$

∈

Denota pertenencia al conjunto y se lee "está en" , "pertenece a" o "es miembro de". Es decir, significa que x es un elemento del conjunto S. ${\displaystyle x\in S}$

∉

Significa "no está en". Es decir, significa . ${\displaystyle x\notin S}$ ${\displaystyle \neg (x\in S)}$

⊂

Denota inclusión de un conjunto . Sin embargo, se utilizan dos definiciones ligeramente diferentes.

1.   puede significar que A es un subconjunto de B , y posiblemente es igual a B ; es decir, cada elemento de A pertenece a B ; expresado como una fórmula, . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

2.   puede significar que A es un subconjunto propio de B , es decir, los dos conjuntos son diferentes y cada elemento de A pertenece a B ; expresado como una fórmula, . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle A\neq B\land \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

⊆

${\displaystyle A\subseteq B}$significa que A es un subconjunto de B. Se utiliza para enfatizar que la igualdad es posible, o cuando A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} significa que es un subconjunto propio de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

⊊

${\displaystyle A\subsetneq B}$significa que A es un subconjunto propio de B. Se utiliza para enfatizar que , o cuando A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} no implica que sea un subconjunto propio de ${\displaystyle A\neq B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

⊃, ⊇, ⊋

Denotemos la relación inversa de ⊂ {\displaystyle \subset } , ⊆ {\displaystyle \subseteq } y ⊊ {\displaystyle \subsetneq } respectivamente. Por ejemplo, es equivalente a . ${\displaystyle B\supset A}$ ${\displaystyle A\subset B}$

∪

Denota unión de conjuntos , es decir, es el conjunto formado por los elementos de A y B juntos. Es decir, . ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle A\cup B=\{x\mid (x\in A)\lor (x\in B)\}}$

∩

Denota intersección de conjuntos , es decir, es el conjunto formado por los elementos de A y B. Es decir, . ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle A\cap B=\{x\mid (x\in A)\land (x\in B)\}}$

∖     ( barra invertida )

Diferencia de conjuntos , es decir, es el conjunto formado por los elementos de A que no están en B. En ocasiones se utiliza en su lugar ; véase – en § Operadores aritméticos. ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle A-B}$

⊖ o ${\displaystyle \triangle }$

Diferencia simétrica : es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exactamente a uno de los dos conjuntos A y B. ${\displaystyle A\ominus B}$ ${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B}$

${\displaystyle \complement }$

1. Con un subíndice, denota un complemento de conjunto : es decir, si , entonces . ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \complement _{A}B=A\setminus B}$

2. Sin subíndice, denota el complemento absoluto ; es decir, , donde U es un conjunto implícitamente definido por el contexto, que contiene todos los conjuntos considerados. Este conjunto U a veces se denomina el universo del discurso . ${\displaystyle \complement A=\complement _{U}A}$

×     ( signo de multiplicación )

Véase también × en § Operadores aritméticos.

1. Denota el producto cartesiano de dos conjuntos. Es decir, es el conjunto formado por todos los pares de un elemento de A y un elemento de B. ${\displaystyle A\times B}$

2. Denota el producto directo de dos estructuras matemáticas del mismo tipo, que es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, dotados de una estructura del mismo tipo. Por ejemplo, producto directo de anillos , producto directo de espacios topológicos .

3. En la teoría de categorías , denota el producto directo (a menudo llamado simplemente producto ) de dos objetos, que es una generalización de los conceptos anteriores de producto.

${\displaystyle \sqcup }$

Denota la unión disjunta . Es decir, si A y B son conjuntos entonces es un conjunto de pares donde i _A e i _B son índices distintos que discriminan los miembros de A y B en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A\sqcup B=\left(A\times \{i_{A}\}\right)\cup \left(B\times \{i_{B}\}\right)}$ ${\displaystyle A\sqcup B}$

${\displaystyle \bigsqcup {\text{ or }}\coprod }$

1. Se utiliza para la unión disjunta de una familia de conjuntos, como en ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}.}$

2. Denota el coproducto de estructuras matemáticas o de objetos de una categoría .

Lógica básica

En la siguiente lista se enumeran varios símbolos lógicos que se utilizan ampliamente en todas las matemáticas. Para los símbolos que se utilizan solo en lógica matemática o que se usan con poca frecuencia, consulte la Lista de símbolos lógicos .

¬     ( no signo )

Denota negación lógica y se lee como "no". Si E es un predicado lógico , es el predicado que se evalúa como verdadero si y solo si E se evalúa como falso . Para mayor claridad, a menudo se reemplaza por la palabra "no". En lenguajes de programación y algunos textos matemáticos, a veces se reemplaza por " ~ " o " ! ", que son más fáciles de escribir en algunos teclados. ${\displaystyle \neg E}$

∨     ( cuña descendente )

1. Denota el o lógico y se lee como "o". Si E y F son predicados lógicos , es verdadero si E , F o ambos son verdaderos. A menudo se reemplaza por la palabra "o". ${\displaystyle E\lor F}$

2. En teoría de redes , denota la operación de unión o de límite superior mínimo .

3. En topología , denota la suma en cuña de dos espacios puntiagudos .

∧     ( cuña )

1. Denota el y lógico , y se lee como "y". Si E y F son predicados lógicos , es verdadero si E y F son ambos verdaderos. A menudo se reemplaza por la palabra "y" o el símbolo " & ". ${\displaystyle E\land F}$

2. En la teoría de redes , denota la operación de encuentro o de mayor límite inferior .

3. En álgebra multilineal , geometría y cálculo multivariable , denota el producto de cuña o el producto exterior .

⊻

O exclusivo : si E y F son dos variables o predicados booleanos , denota el o exclusivo. Las notaciones E XOR F y también se usan comúnmente; consulte ⊕. ${\displaystyle E\veebar F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$

∀     ( giró A )

1. Denota cuantificación universal y se lee como "para todos". Si E es un predicado lógico , significa que E es verdadero para todos los valores posibles de la variable x . ${\displaystyle \forall x\;E}$

2. A menudo se utiliza de forma incorrecta ^[3] en texto simple como abreviatura de "para todos" o "para cada".

∃

1. Denota cuantificación existencial y se lee "existe... tal que". Si E es un predicado lógico , significa que existe al menos un valor de x para el cual E es verdadero. ${\displaystyle \exists x\;E}$

2. A menudo se utiliza de forma incorrecta ^[3] en texto simple como abreviatura de "existe".

∃!

Denota cuantificación de unicidad , es decir, significa "existe exactamente un x tal que P (es verdadero)". En otras palabras, es una abreviatura de . ${\displaystyle \exists !x\;P}$ ${\displaystyle \exists !x\;P(x)}$ ${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}$

⇒

1. Denota condicional material y se lee como "implica". Si P y Q son predicados lógicos , significa que si P es verdadero, entonces Q también lo es. Por lo tanto, es lógicamente equivalente a . ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q\lor \neg P}$

2. A menudo se utiliza de forma incorrecta ^[3] en texto simple como abreviatura de "implica".

⇔

1. Denota equivalencia lógica y se lee "es equivalente a" o " si y sólo si ". Si P y Q son predicados lógicos , es entonces una abreviatura de , o de . ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle (P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)}$ ${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$

2. A menudo se utiliza de forma incorrecta ^[3] en texto simple como abreviatura de " si y sólo si ".

⊤     ( camiseta )

1.   denota el predicado lógico siempre verdadero . ${\displaystyle \top }$

2. Denota también el valor de verdad verdadero .

3. A veces denota el elemento superior de una red delimitada (los significados anteriores son ejemplos específicos).

4. Para su uso como superíndice, véase □⊤.

⊥     ( punta arriba )

1.   denota el predicado lógico siempre falso . ${\displaystyle \bot }$

2. Denota también el valor de verdad falso .

3. A veces denota el elemento inferior de una red delimitada (los significados anteriores son ejemplos específicos).

4. En criptografía a menudo denota un error en lugar de un valor regular.

5. Para su uso como superíndice, véase □⊥.

6. Para el símbolo similar, consulte ⊥ {\displaystyle \perp } .

Pizarra en negrita

La tipografía blackboard bold se utiliza ampliamente para denotar los sistemas numéricos básicos . Estos sistemas a menudo también se denotan con la letra mayúscula negrita correspondiente. Una clara ventaja de blackboard bold es que estos símbolos no se pueden confundir con nada más. Esto permite usarlos en cualquier área de las matemáticas, sin tener que recordar su definición. Por ejemplo, si uno se encuentra en combinatoria , debería saber inmediatamente que esto denota los números reales , aunque la combinatoria no estudia los números reales (pero los usa para muchas demostraciones). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {N} }$

Denota el conjunto de números naturales o, a veces, cuando la distinción es importante y los lectores pueden suponer que se trata de una definición, y se utilizan, respectivamente, para denotar uno de ellos de forma inequívoca. La notación también se utiliza comúnmente. ${\displaystyle \{1,2,\ldots \},}$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Denota el conjunto de números enteros. A menudo se denota también por ${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} .}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

1. Denota el conjunto de números enteros p -ádicos , donde p es un número primo .

2. A veces, denota los números enteros módulo n , donde n es un número entero mayor que 0. La notación también se utiliza y es menos ambigua. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Denota el conjunto de números racionales (fracciones de dos enteros). A menudo se denota también por ${\displaystyle \mathbf {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Denota el conjunto de números p -ádicos , donde p es un número primo .

${\displaystyle \mathbb {R} }$

Denota el conjunto de números reales . A menudo se denota también por ${\displaystyle \mathbf {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

Denota el conjunto de números complejos . A menudo se denota también por ${\displaystyle \mathbf {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {H} }$

Denota el conjunto de cuaterniones . A menudo se denota también por ${\displaystyle \mathbf {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

Denota el cuerpo finito con q elementos, donde q es una potencia prima (incluidos los números primos ). También se denota por GF( q ) .

${\displaystyle \mathbb {O} }$

Se utiliza en raras ocasiones para denotar el conjunto de octoniones . A menudo también se denota por ${\displaystyle \mathbf {O} .}$

Cálculo

□ '

Notación de Lagrange para la derivada : Si f es una función de una sola variable, , que se lee como "f prima ", es la derivada de f con respecto a esta variable. La segunda derivada es la derivada de , y se denota . ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$

${\displaystyle {\dot {\Box }}}$

Notación de Newton , más comúnmente utilizada para la derivada con respecto al tiempo. Si x es una variable que depende del tiempo, entonces se lee como "x punto", es su derivada con respecto al tiempo. En particular, si x representa un punto en movimiento, entonces es su velocidad . ${\displaystyle {\dot {x}},}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\ddot {\Box }}}$

Notación de Newton , para la segunda derivada : Si x es una variable que representa un punto en movimiento, entonces es su aceleración . ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

⁠o □/o □⁠

Notación de Leibniz para la derivada , que se utiliza de formas ligeramente diferentes.

1. Si y es una variable que depende de x , entonces , leído como "dy sobre d x" (comúnmente abreviado como "dyd x"), es la derivada de y con respecto a x . ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$

2. Si f es una función de una sola variable x , entonces es la derivada de f , y es el valor de la derivada en a . ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)}$

3.   Derivada total : Si es función de varias variables que dependen de x , entonces la derivada de f se considera como función de x . Es decir, . ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{dx}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

⁠∂ □/∂ □⁠

Derivada parcial : Si es función de varias variables, la derivada con respecto a la i- ésima variable se considera como variable independiente , considerándose las demás variables como constantes. ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

⁠𝛿 □/𝛿 □⁠

Derivada funcional : Si es una funcional de varias funciones , la derivada funcional con respecto a la función n- ésima se considera como variable independiente , considerándose las demás funciones constantes. ${\displaystyle f(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\delta f}{\delta y_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {\Box }}}$

1.   Conjugado complejo : si z es un número complejo , entonces es su conjugado complejo. Por ejemplo, . ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {a+bi}}=a-bi}$

2.   Cierre topológico : Si S es un subconjunto de un espacio topológico T , entonces es su cierre topológico, es decir, el subconjunto cerrado más pequeño de T que contiene a S . ${\displaystyle {\overline {S}}}$

3.   Clausura algebraica : Si F es un cuerpo , entonces es su clausura algebraica, es decir, el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a F . Por ejemplo, es el cuerpo de todos los números algebraicos . ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$

4.   Valor medio : Si x es una variable que toma sus valores en alguna secuencia de números S , entonces puede denotar la media de los elementos de S . ${\displaystyle {\overline {x}}}$

→

1.   denota una función con dominio A y codominio B. Para nombrar dicha función, se escribe , que se lee como " f de A a B ". ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$

2. De manera más general, denota un homomorfismo o un morfismo de A a B. ${\displaystyle A\to B}$

3. Puede denotar una implicación lógica . En el caso de la implicación material , que se utiliza ampliamente en el razonamiento matemático, hoy en día se suele sustituir por ⇒. En lógica matemática , sigue utilizándose para denotar implicación, pero su significado exacto depende de la teoría específica que se estudie.

4. Sobre un nombre de variable , significa que la variable representa un vector , en un contexto donde las variables ordinarias representan escalares ; por ejemplo, . La negrita ( ) o el acento circunflejo ( ) se utilizan a menudo para el mismo propósito. ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

5. En geometría euclidiana y más generalmente en geometría afín , denota el vector definido por los dos puntos P y Q , que puede identificarse con la traslación que asigna P a Q. El mismo vector puede denotarse también como ; véase Espacio afín . ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$ ${\displaystyle Q-P}$

↦

" Maps to ": se utiliza para definir una función sin tener que nombrarla. Por ejemplo, es la función cuadrada . ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$

○ ^[4]

1.   Composición de funciones : Si f y g son dos funciones, entonces la función es tal que para cada valor de x . ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

2.   Producto de Hadamard de matrices : Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, entonces la matriz es tal que . Posiblemente, también se utiliza en lugar de ⊙ para el producto de Hadamard de series de potencias . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle A\circ B}$ ${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}$ ${\displaystyle \circ }$

∂

1.   Límite de un subespacio topológico : Si S es un subespacio de un espacio topológico, entonces su límite , denotado , es la diferencia de conjuntos entre el cierre y el interior de S. ${\displaystyle \partial S}$

2.   Derivada parcial : ver ⁠∂□/∂□⁠.

∫

1. Sin subíndice, denota una antiderivada . Por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

2. Con un subíndice y un superíndice, o expresiones colocadas debajo y encima de él, denota una integral definida . Por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}x^{2}dx={\frac {b^{3}-a^{3}}{3}}}$

3. Con un subíndice que denota una curva, denota una integral de línea . Por ejemplo, , si r es una parametrización de la curva C , de a a b . ${\displaystyle \textstyle \int _{C}f=\int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)\operatorname {d} t}$

∮

Se utiliza a menudo, normalmente en física, en lugar de para integrales de línea sobre una curva cerrada . ${\displaystyle \textstyle \int }$

∬, ∯

Similar a y para integrales de superficie . ${\displaystyle \textstyle \int }$ ${\displaystyle \textstyle \oint }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$o ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Nabla , el gradiente , operador derivado vectorial , también llamado del o grad , ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

o la derivada covariante .

∇ ² o ∇⋅∇

Operador de Laplace o Laplaciano : Las formas y representan el producto escalar del gradiente ( o ) consigo mismo. También se denota Δ (próximo elemento). ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Δ

(Letra griega mayúscula delta —que no debe confundirse con , que puede denotar un triángulo geométrico o, alternativamente, la diferencia simétrica de dos conjuntos.) ${\displaystyle \triangle }$

1. Otra notación para el Laplaciano (ver arriba).

2. Operador de diferencia finita .

${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$o ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

(Nota: no se recomienda esta notación para los cuatro gradientes, ya que tanto como se utilizan para denotar el d'Alembertiano ; ver más abajo). ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle {\Box }^{2}}$

Quad , el operador de gradiente de 4 vectores o de cuatro gradientes . ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

${\displaystyle \Box }$o ${\displaystyle {\Box }^{2}}$

(aquí un cuadro real, no un marcador de posición)

Denota el d'Alembertiano o gradiente cuadrado de cuatro dimensiones , que es una generalización del laplaciano al espacio-tiempo de cuatro dimensiones. En el espacio-tiempo plano con coordenadas euclidianas, esto puede significar o ; se debe especificar la convención de signos. En el espacio-tiempo curvo (o espacio-tiempo plano con coordenadas no euclidianas), la definición es más complicada. También se denomina caja o quabla . ${\displaystyle ~\textstyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;}$ ${\displaystyle \;~\textstyle +{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;}$

Álgebra lineal y multilineal

∑     ( notación sigma mayúscula )

1. Denota la suma de un número finito de términos, que están determinados por subíndices y superíndices (que también pueden colocarse debajo y encima), como en o . ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{0<i<j<n}j-i}$

2. Denota una serie y, si la serie es convergente , la suma de la serie . Por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}$

∏    ( notación pi mayúscula )

1. Denota el producto de un número finito de términos, que están determinados por subíndices y superíndices (que también pueden colocarse debajo y encima), como en o . ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}i^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{0<i<j<n}j-i}$

2. Denota un producto infinito . Por ejemplo, la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann es . ${\displaystyle \textstyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$

3. También se utiliza para el producto cartesiano de cualquier número de conjuntos y el producto directo de cualquier número de estructuras matemáticas .

${\displaystyle \oplus }$

1. Suma directa interna : si E y F son subgrupos abelianos de un grupo abeliano V , la notación significa que V es la suma directa de E y F ; es decir, cada elemento de V puede escribirse de forma única como la suma de un elemento de E y un elemento de F. Esto se aplica también cuando E y F son subespacios lineales o submódulos del espacio vectorial o módulo V. ${\displaystyle V=E\oplus F}$

2.   Suma directa : si E y F son dos grupos abelianos , espacios vectoriales o módulos , entonces su suma directa, denotada como un grupo abeliano, espacio vectorial o módulo (respectivamente) dotado de dos monomorfismos y tal que es la suma directa interna de y . Esta definición tiene sentido porque esta suma directa es única hasta un isomorfismo único . ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle f:E\to E\oplus F}$ ${\displaystyle g:F\to E\oplus F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle f(E)}$ ${\displaystyle g(F)}$

3.   O exclusivo : si E y F son dos variables o predicados booleanos , puede denotar el o exclusivo. Las notaciones E XOR F y también se usan comúnmente; consulte ⊻. ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle E\veebar F}$

${\displaystyle \otimes }$

1. Denota el producto tensorial de grupos abelianos , espacios vectoriales , módulos u otras estructuras matemáticas, como en o ${\displaystyle E\otimes F,}$ ${\displaystyle E\otimes _{K}F.}$

2. Denota el producto tensorial de elementos: si y entonces ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle y\in F,}$ ${\displaystyle x\otimes y\in E\otimes F.}$

□ ^⊤

1.   Transpuesta : si A es una matriz, denota la transpuesta de A , es decir, la matriz obtenida al intercambiar filas y columnas de A. También se utiliza la notación . El símbolo se suele sustituir por la letra T o t . ${\displaystyle A^{\top }}$ ${\displaystyle ^{\top }\!\!A}$ ${\displaystyle \top }$

2. Para usos en línea del símbolo, consulte ⊤.

□ ^⊥

1.   Complemento ortogonal : Si W es un subespacio lineal de un espacio producto interno V , entonces denota su complemento ortogonal , es decir, el espacio lineal de los elementos de V cuyos productos internos con los elementos de W son todos cero. ${\displaystyle W^{\bot }}$

2.   Subespacio ortogonal en el espacio dual : Si W es un subespacio lineal (o un submódulo ) de un espacio vectorial (o de un módulo ) V , entonces puede denotar el subespacio ortogonal de W , es decir, el conjunto de todas las formas lineales que asignan W a cero. ${\displaystyle W^{\bot }}$

3. Para usos en línea del símbolo, consulte ⊥.

Teoría avanzada de grupos

⋉
⋊

1. Producto semidirecto interno : si N y H son subgrupos de un grupo G , tales que N es un subgrupo normal de G , entonces y significan que G es el producto semidirecto de N y H , es decir, que cada elemento de G puede descomponerse de forma única como el producto de un elemento de N y un elemento de H . (A diferencia del producto directo de grupos , el elemento de H puede cambiar si se cambia el orden de los factores). ${\displaystyle G=N\rtimes H}$ ${\displaystyle G=H\ltimes N}$

2. Producto semidirecto externo : si N y H son dos grupos , y es un homomorfismo de grupo de N al grupo de automorfismo de H , entonces denota un grupo G , único hasta un isomorfismo de grupo , que es un producto semidirecto de N y H , con la conmutación de elementos de N y H definida por . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H=H\ltimes _{\varphi }N}$ ${\displaystyle \varphi }$

≀

En teoría de grupos , denota el producto en corona de los grupos G y H. También se denota como o ; consulte Producto en corona § Notación y convenciones para varias variantes de notación. ${\displaystyle G\wr H}$ ${\displaystyle G\operatorname {wr} H}$ ${\displaystyle G\operatorname {Wr} H}$

Números infinitos

${\displaystyle \infty }$    ( símbolo de infinito )

1. El símbolo se lee como infinito . Como límite superior de una suma , un producto infinito , una integral , etc., significa que el cálculo es ilimitado. De manera similar, como límite inferior significa que el cálculo no está limitado a valores negativos. ${\displaystyle -\infty }$

2.   y son los números generalizados que se suman a la línea real para formar la línea real extendida . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

3.   es el número generalizado que se suma a la línea real para formar la línea real extendida proyectivamente . ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$   ( fractura 𝔠)

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$denota la cardinalidad del continuo , que es la cardinalidad del conjunto de números reales .

${\displaystyle \aleph }$   ( alef )

Con un ordinal i como subíndice, denota el i- ésimo número aleph , es decir, el i- ésimo cardinal infinito . Por ejemplo, es el cardinal infinito más pequeño, es decir, el cardinal de los números naturales. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle \beth }$   ( apuesta (letra) )

Con un ordinal i como subíndice, denota el i- ésimo número beth . Por ejemplo, es el cardinal de los números naturales y es el cardinal del continuo . ${\displaystyle \beth _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$

${\displaystyle \omega }$   ( omega )

1. Denota el primer ordinal límite . También se denota y puede identificarse con el conjunto ordenado de los números naturales . ${\displaystyle \omega _{0}}$

2. Con un ordinal i como subíndice, denota el i -ésimo ordinal límite que tiene una cardinalidad mayor que la de todos los ordinales anteriores.

3. En informática , denota el límite inferior máximo (desconocido) para el exponente de la complejidad computacional de la multiplicación de matrices .

4. Escrita como función de otra función, se utiliza para comparar el crecimiento asintótico de dos funciones. Véase Notación Big O § Notaciones asintóticas relacionadas .

5. En teoría de números , puede denotar la función omega prima . Es decir, es el número de factores primos distintos del entero n . ${\displaystyle \omega (n)}$

Soportes

En matemáticas se utilizan muchos tipos de corchetes . Su significado depende no sólo de su forma, sino también de la naturaleza y disposición de lo que delimitan y, a veces, de lo que aparece entre ellos o delante de ellos. Por este motivo, en los títulos de las entradas se utiliza el símbolo □ como marcador de posición para esquematizar la sintaxis que subyace al significado.

Paréntesis

(□)

Se utiliza en una expresión para especificar que la subexpresión entre los paréntesis debe considerarse como una entidad única; normalmente se utiliza para especificar el orden de las operaciones .

□(□)
□(□, □)
□(□, ..., □)

1.   Notación funcional : si el primero es el nombre (símbolo) de una función , denota el valor de la función aplicada a la expresión entre paréntesis; por ejemplo, , . En el caso de una función multivariable , los paréntesis contienen varias expresiones separadas por comas, como . ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sin(x+y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

2. También puede denotar un producto, como en . Cuando la confusión es posible, el contexto debe distinguir qué símbolos denotan funciones y cuáles denotan variables . ${\displaystyle a(b+c)}$

(□, □)

1. Denota un par ordenado de objetos matemáticos , por ejemplo, . ${\displaystyle (\pi ,0)}$

2. Si a y b son números reales , , o , y a < b , entonces denota el intervalo abierto delimitado por a y b . Véase ]□, □[ para una notación alternativa. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (a,b)}$

3. Si a y b son números enteros , puede denotar el máximo común divisor de a y b . En su lugar, se suele utilizar la notación . ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)}$

(□, □, □)

Si x , y , z son vectores en , entonces pueden denotar el triple producto escalar . ^{[ cita requerida ]} Véase también [□,□,□] en § Corchetes. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

(□, ..., □)

Denota una tupla . Si hay n objetos separados por comas, es una n -tupla.

(□, □,...)
(□,..., □,...)

Denota una secuencia infinita .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{pmatrix}}}$

Denota una matriz . A menudo se indica con corchetes.

${\displaystyle {\binom {\Box }{\Box }}}$

Denota un coeficiente binomial : Dados dos números enteros no negativos , se lee como " n choose k ", y se define como el entero (si k = 0 , su valor es convencionalmente 1 ). Usando la expresión del lado izquierdo, denota un polinomio en n , y por lo tanto se define y se usa para cualquier valor real o complejo de n . ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\Box }{\Box }}\right)}$

Símbolo de Legendre : si p es un número primo impar y a es un entero , el valor de es 1 si a es un residuo cuadrático módulo p ; es –1 si a es un residuo cuadrático no módulo p ; es 0 si p divide a a . La misma notación se utiliza para el símbolo de Jacobi y el símbolo de Kronecker , que son generalizaciones donde p es, respectivamente, cualquier entero positivo impar o cualquier entero. ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

Corchetes cuadrados

[□]

1. A veces se utiliza como sinónimo de (□) para evitar paréntesis anidados.

2.   Clase de equivalencia : dada una relación de equivalencia , a menudo denota la clase de equivalencia del elemento x . ${\displaystyle [x]}$

3.   Parte integral : si x es un número real , suele denotar la parte integral o truncamiento de x , es decir, el número entero que se obtiene eliminando todos los dígitos después de la coma decimal . Esta notación también se ha utilizado para otras variantes de las funciones de suelo y techo . ${\displaystyle [x]}$

4.   Corchete de Iverson : si P es un predicado , puede denotar el corchete de Iverson, es decir, la función que toma el valor 1 para los valores de las variables libres en P para las que P es verdadera, y toma el valor 0 en caso contrario. Por ejemplo, es la función delta de Kronecker , que es igual a uno si , y cero en caso contrario. ${\displaystyle [P]}$ ${\displaystyle [x=y]}$ ${\displaystyle x=y}$

5. En combinatoria o informática, a veces con denota el conjunto de números enteros positivos hasta n , con . ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle [0]=\emptyset }$

□[□]

Imagen de un subconjunto : si S es un subconjunto del dominio de la función f , entonces a veces se utiliza para denotar la imagen de S . Cuando no hay posibilidad de confusión, se suele utilizar la notación f(S). ${\displaystyle f[S]}$

[□, □]

1.   Intervalo cerrado : si a y b son números reales tales que , entonces denota el intervalo cerrado definido por ellos. ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle [a,b]}$

2.   Conmutador (teoría de grupos) : si a y b pertenecen a un grupo , entonces . ${\displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab}$

3.   Conmutador (teoría de anillos) : si a y b pertenecen a un anillo , entonces . ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$

4. Denota el corchete de Lie , la operación de un álgebra de Lie .

[□ : □]

1.   Grado de extensión de un campo : si F es una extensión de un campo E , entonces denota el grado de la extensión del campo . Por ejemplo, . ${\displaystyle [F:E]}$ ${\displaystyle F/E}$ ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$

2.   Índice de un subgrupo : si H es un subgrupo de un grupo E , entonces denota el índice de H en G. También se utiliza la notación |G:H| ${\displaystyle [G:H]}$

[□, □, □]

Si x , y , z son vectores en , entonces pueden denotar el triple producto escalar . ^[5] Véase también (□,□,□) en § Paréntesis. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y,z]}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{bmatrix}}}$

Denota una matriz . A menudo se indica con paréntesis.

Tirantes

{ }

Notación constructora de conjuntos para el conjunto vacío , también denotado como ∅. ${\displaystyle \emptyset }$

{□}

1. A veces se utiliza como sinónimo de (□) y [□] para evitar paréntesis anidados.

2.   Notación generadora de conjuntos para un conjunto singleton : denota el conjunto que tiene x como único elemento. ${\displaystyle \{x\}}$

{□, ..., □}

Notación generadora de conjuntos : denota el conjunto cuyos elementos están enumerados entre llaves, separados por comas.

{□ : □}
{□ | □}

Notación de generador de conjuntos : si es un predicado que depende de una variable x , entonces tanto como denotan el conjunto formado por los valores de x para el cual es verdadero. ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \{x:P(x)\}}$ ${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$ ${\displaystyle P(x)}$

Tirante simple

1. Se utiliza para enfatizar que varias ecuaciones deben considerarse como ecuaciones simultáneas ; por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}2x+y=1\\3x-y=1\end{cases}}}$

2.   Definición por partes ; por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle |x|={\begin{cases}x&{\text{if }}x\geq 0\\-x&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$

3. Se utiliza para la anotación agrupada de elementos en una fórmula; por ejemplo, , , ${\displaystyle \textstyle \underbrace {(a,b,\ldots ,z)} _{26}}$ ${\displaystyle \textstyle \overbrace {1+2+\cdots +100} ^{=5050}}$ ${\displaystyle \textstyle \left.{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}\right\}m+n{\text{ rows}}}$

Otros soportes

|□|

1.   Valor absoluto : si x es un número real o complejo , denota su valor absoluto. ${\displaystyle |x|}$

2. Número de elementos: Si S es un conjunto , puede denotar su cardinalidad , es decir, su número de elementos. también se utiliza a menudo, ver #. ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \#S}$

3. Longitud de un segmento de línea : si P y Q son dos puntos en un espacio euclidiano , entonces a menudo denota la longitud del segmento de línea que definen, que es la distancia de P a Q , y a menudo se denota . ${\displaystyle |PQ|}$ ${\displaystyle d(P,Q)}$

4. Para un operador de aspecto similar, consulte |.

| □:□ |

Índice de un subgrupo : si H es un subgrupo de un grupo G , entonces denota el índice de H en G. También se utiliza la notación [G:H]. ${\displaystyle |G:H|}$

${\displaystyle \textstyle {\begin{vmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{vmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{vmatrix}}}$denota el determinante de la matriz cuadrada . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{bmatrix}}}$

||□||

1. Denota la norma de un elemento de un espacio vectorial normado .

2. Para el operador de aspecto similar llamado paralelo , consulte ∥.

⌊□⌋

Función piso : si x es un número real, es el mayor entero que no es mayor que x . ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

⌈□⌉

Función techo : si x es un número real, es el entero más bajo que no es menor que x . ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

⌊□⌉

Función entero más cercano : si x es un número real, es el entero más cercano a x . ${\displaystyle \lfloor x\rceil }$

]□, □[

Intervalo abierto : si a y b son números reales, , o , y , entonces denota el intervalo abierto delimitado por a y b. Véase (□, □) para una notación alternativa. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle ]a,b[}$

(□, □]
]□, □]

Ambas notaciones se utilizan para un intervalo abierto por la izquierda .

[□, □)
[□, □[

Ambas notaciones se utilizan para un intervalo abierto por la derecha .

⟨□⟩

1.   Objeto generado : si S es un conjunto de elementos en una estructura algebraica, denota a menudo el objeto generado por S. Si , se escribe (es decir, se omiten las llaves). En particular, esto puede denotar ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle S=\{s_{1},\ldots ,s_{n}\}}$ ${\displaystyle \langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle }$

• el espacio lineal en un espacio vectorial (también denominado a menudo Span( S ) ),
• el subgrupo generado en un grupo ,
• el ideal generado en un anillo ,
• el submódulo generado en un módulo .

2. Se utiliza a menudo, principalmente en física, para indicar un valor esperado . En teoría de la probabilidad , se utiliza generalmente en lugar de . ${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$

⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩

Tanto como se utilizan comúnmente para denotar el producto interno en un espacio de producto interno . ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$

${\displaystyle \langle \Box |{\text{ and }}|\Box \rangle }$

Notación de Bra–ket o notación de Dirac : si x e y son elementos de un espacio de producto interno , es el vector definido por x , y es el covector definido por y ; su producto interno es . ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y|}$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle }$

Símbolos que no pertenecen a fórmulas

En esta sección, los símbolos que se enumeran se utilizan como signos de puntuación en el razonamiento matemático o como abreviaturas de frases en lenguaje natural. Por lo general, no se utilizan dentro de una fórmula. Algunos se utilizaban en la lógica clásica para indicar la dependencia lógica entre oraciones escritas en lenguaje sencillo. A excepción de los dos primeros, normalmente no se utilizan en textos matemáticos impresos, ya que, para facilitar la lectura, generalmente se recomienda que haya al menos una palabra entre dos fórmulas. Sin embargo, todavía se utilizan en una pizarra para indicar relaciones entre fórmulas.

■ , □

Se utiliza para marcar el final de una prueba y separarla del texto actual. La sigla Q.ED o QED ( del latín quod erat demonstrandum , "como debía demostrarse") se utiliza a menudo con el mismo fin, ya sea en mayúsculas o en minúsculas.

☡

Símbolo de curva peligrosa de Bourbaki : a veces se utiliza en el margen para advertir a los lectores de errores graves, donde corren el riesgo de caer, o para marcar un pasaje que es complicado en una primera lectura debido a un argumento especialmente sutil.

∴

Abreviatura de "por lo tanto". Colocada entre dos afirmaciones, significa que la primera implica la segunda. Por ejemplo: "Todos los humanos son mortales, y Sócrates es un humano. ∴ Sócrates es mortal".

∵

Abreviatura de “porque” o “ya que”. Colocada entre dos afirmaciones, significa que la primera está implícita en la segunda. Por ejemplo: “ 11 es primo ∵ no tiene factores enteros positivos distintos de él mismo y uno”.

∋

1. Abreviatura de "tal que". Por ejemplo, normalmente se escribe " x tal que ". ${\displaystyle x\ni x>3}$ ${\displaystyle x>3}$

2. A veces se utiliza para invertir los operandos de ; es decir, tiene el mismo significado que . Véase ∈ en § Teoría de conjuntos. ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S\ni x}$ ${\displaystyle x\in S}$

∝

Abreviatura de "es proporcional a".

Misceláneas

!

1.  Factorial: if n is a positive integer, n! is the product of the first n positive integers, and is read as "n factorial".

2.  Double factorial: if n is a positive integer, n!! is the product of all positive integers up to n with the same parity as n, and is read as "the double factorial of n".

3.  Subfactorial: if n is a positive integer, !n is the number of derangements of a set of n elements, and is read as "the subfactorial of n".

*

Many different uses in mathematics; see Asterisk § Mathematics.

|

1.  Divisibility: if m and n are two integers, ${\displaystyle m\mid n}$ means that m divides n evenly.

2.  In set-builder notation, it is used as a separator meaning "such that"; see {□ | □}.

3.  Restriction of a function: if f is a function, and S is a subset of its domain, then ${\displaystyle f|_{S}}$ is the function with S as a domain that equals f on S.

4.  Conditional probability: ${\displaystyle P(X\mid E)}$ denotes the probability of X given that the event E occurs. Also denoted ${\displaystyle P(X/E)}$; see "/".

5.  For several uses as brackets (in pairs or with ⟨ and ⟩) see § Other brackets.

∤

Non-divisibility: ${\displaystyle n\nmid m}$ means that n is not a divisor of m.

∥

1.  Denotes parallelism in elementary geometry: if PQ and RS are two lines, ${\displaystyle PQ\parallel RS}$ means that they are parallel.

2.  Parallel, an arithmetical operation used in electrical engineering for modeling parallel resistors: ${\displaystyle x\parallel y={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$.

3.  Used in pairs as brackets, denotes a norm; see ||□||.

4.  Concatenation: Typically used in computer science, ${\displaystyle x\mathbin {\vert \vert } y}$ is said to represent the value resulting from appending the digits of y to the end of x.

5.   ${\displaystyle {\displaystyle D_{\text{KL}}(P\parallel Q)}}$, denotes a statistical distance or measure of how one probability distribution P is different from a second, reference probability distribution Q.

∦

Sometimes used for denoting that two lines are not parallel; for example, ${\displaystyle PQ\not \parallel RS}$.

${\displaystyle \perp }$

1.  Denotes perpendicularity and orthogonality. For example, if A, B, C are three points in a Euclidean space, then ${\displaystyle AB\perp AC}$ means that the line segments AB and AC are perpendicular, and form a right angle.

2.  For the similar symbol, see ⊥ {\displaystyle \bot } .

⊙

Hadamard product of power series: if ${\displaystyle \textstyle S=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}x^{i}}$ and ${\displaystyle \textstyle T=\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}x^{i}}$, then ${\displaystyle \textstyle S\odot T=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}t_{i}x^{i}}$. Possibly, ${\displaystyle \odot }$ is also used instead of ○ for the Hadamard product of matrices.^{[citation needed]}

See also

Related articles

• Language of mathematics
• Mathematical notation
• Notation in probability and statistics
• Physical constants

Related lists

• List of logic symbols
• List of mathematical constants
• Table of mathematical symbols by introduction date
• Blackboard bold
• Greek letters used in mathematics, science, and engineering
• Latin letters used in mathematics, science, and engineering
• List of common physics notations
• List of letters used in mathematics, science, and engineering
• List of mathematical abbreviations
• List of typographical symbols and punctuation marks
• ISO 31-11 (Mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology)
• List of APL functions

Unicode symbols

• Unicode block
• Mathematical Alphanumeric Symbols (Unicode block)
• List of Unicode characters
• Letterlike Symbols
• Mathematical operators and symbols in Unicode
• Miscellaneous Mathematical Symbols: A, B, Technical
• Arrow (symbol) and Miscellaneous Symbols and Arrows
• Number Forms
• Geometric Shapes

References

1. ISO 80000-2, Section 9 "Operations", 2-9.6
2. "Statistics and Data Analysis: From Elementary to Intermediate".
3. Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (2017). "AMS style guide" (PDF). American Mathematical Society. p. 99.
4. The LaTeX equivalent to both Unicode symbols ∘ and ○ is \circ. The Unicode symbol that has the same size as \circ depends on the browser and its implementation. In some cases ∘ is so small that it can be confused with an interpoint, and ○ looks similar as \circ. In other cases, ○ is too large for denoting a binary operation, and it is ∘ that looks like \circ. As LaTeX is commonly considered as the standard for mathematical typography, and it does not distinguish these two Unicode symbols, they are considered here as having the same mathematical meaning.
5. Rutherford, D. E. (1965). Vector Methods. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh.

External links

• Jeff Miller: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• Numericana: Scientific Symbols and Icons
• GIF and PNG Images for Math Symbols
• Mathematical Symbols in Unicode
• Detexify: LaTeX Handwriting Recognition Tool

Some Unicode charts of mathematical operators and symbols:

• Index of Unicode symbols
• Range 2100–214F: Unicode Letterlike Symbols
• Range 2190–21FF: Unicode Arrows
• Range 2200–22FF: Unicode Mathematical Operators
• Range 27C0–27EF: Unicode Miscellaneous Mathematical Symbols–A
• Range 2980–29FF: Unicode Miscellaneous Mathematical Symbols–B
• Range 2A00–2AFF: Unicode Supplementary Mathematical Operators

Some Unicode cross-references:

• Short list of commonly used LaTeX symbols and Comprehensive LaTeX Symbol List
• MathML Characters - sorts out Unicode, HTML and MathML/TeX names on one page
• Unicode values and MathML names
• Unicode values and Postscript names from the source code for Ghostscript