Soporte (matemáticas)

Paréntesis utilizados en notación matemática

En matemáticas , los corchetes de diversas formas tipográficas, como paréntesis (), corchetes [], llaves {} y corchetes angulares ⟨ ⟩, se utilizan con frecuencia en notación matemática . Generalmente, este tipo de corchetes denota alguna forma de agrupación: al evaluar una expresión que contiene una subexpresión entre corchetes, los operadores de la subexpresión tienen prioridad sobre los que la rodean. A veces, para mayor claridad de lectura, se utilizan diferentes tipos de corchetes para expresar el mismo significado de precedencia en una sola expresión con un profundo anidamiento de subexpresiones. ^[1]

Históricamente, otras notaciones, como el vinculum en general , se utilizaron de manera similar para agrupar. En el uso actual, todas estas notaciones tienen significados específicos. El primer uso de corchetes para indicar agregación (es decir, agrupación) fue sugerido en 1608 por Christopher Clavius ​​y en 1629 por Albert Girard . ^[2]

Símbolos para representar corchetes angulares.

Se utiliza una variedad de símbolos diferentes para representar corchetes angulares. En el correo electrónico y otros textos ASCII , es común utilizar los signos menor que ( <) y mayor que ( >) para representar corchetes angulares, porque ASCII no incluye corchetes angulares. ^[3]

Unicode tiene pares de caracteres dedicados; Además de los símbolos menor que y mayor que, estos incluyen:

• U+27E8 ⟨ SOPORTE DE ÁNGULO IZQUIERDO MATEMÁTICO y U+27E9 ⟩ SOPORTE DE ÁNGULO DERECHO MATEMÁTICO
• U+29FC ⧼ SOPORTE DE ÁNGULO CURVO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA y U+29FD ⧽ SOPORTE DE ÁNGULO CURVO QUE APUNTA A LA DERECHA
• U+2991 ⦑ SOPORTE ANGULAR IZQUIERDO CON PUNTO y U+2992 ⦒ SOPORTE ANGULAR DERECHO CON PUNTO
• U+27EA ⟪ DOBLE ÁNGULO MATEMÁTICO IZQUIERDO y U+27EB ⟫ DOBLE ÁNGULO MATEMÁTICO DERECHO
• U+2329 〈 SOPORTE DE ÁNGULO QUE PUNTA A LA IZQUIERDA y U+232A〉SOPORTE DE ÁNGULO QUE PUNTA A LA DERECHA , que están en desuso ^[4]

En LaTeX el marcado es \langley \rangle: . ${\displaystyle \langle \ \rangle }$

Los corchetes angulares no matemáticos incluyen:

• U+3008 〈 SOPORTE DE ÁNGULO IZQUIERDO y U+3009〉SOPORTE DE ÁNGULO DERECHO , utilizado en citas de texto de Asia oriental
• U+276C ❬ ORNAMENTO MEDIANO DE SOPORTE DE ÁNGULO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA y U+276D ❭ ORNAMENTO MEDIANO DE SOPORTE DE ÁNGULO QUE APUNTA A LA DERECHA , que son dingbats

Hay dingbats adicionales con mayor grosor de línea, ^[5] y algunas comillas angulares y caracteres obsoletos.

Álgebra

En álgebra elemental , los paréntesis () se utilizan para especificar el orden de las operaciones . ^[1] Los términos dentro del paréntesis se evalúan primero; por lo tanto, 2×(3 + 4) es 14, 20 ÷ (5(1 + 1)) es 2 y (2×3) + 4 es 10. Esta notación se amplía para cubrir álgebra más general que involucra variables: por ejemplo ( x + y ) × ( x - y ) . Los corchetes también se utilizan a menudo en lugar de un segundo par de paréntesis cuando están anidados, para proporcionar una distinción visual.

En las expresiones matemáticas en general, los paréntesis también se utilizan para indicar agrupación (es decir, qué partes van juntas) cuando es necesario para evitar ambigüedades y mejorar la claridad. Por ejemplo, en la fórmula utilizada en la definición de composición de dos transformaciones naturales , los paréntesis alrededor sirven para indicar que la indexación por se aplica a la composición , y no solo a su último componente . ${\displaystyle (\varepsilon \eta )_{X}=\varepsilon _{Cod\,\eta _{X}}\eta _{X}}$ ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle \eta }$

Funciones

Los argumentos de una función suelen estar entre corchetes: . Con alguna función estándar cuando hay pocas posibilidades de ambigüedad, es común omitir por completo los paréntesis alrededor del argumento (por ejemplo, ). Tenga en cuenta que esto nunca se hace con una función general , en cuyo caso los paréntesis siempre se incluyen ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle f}$

Coordenadas y vectores

En el sistema de coordenadas cartesiano , los paréntesis se utilizan para especificar las coordenadas de un punto. Por ejemplo, (2,3) denota el punto con la coordenada x 2 y la coordenada y 3.

El producto interno de dos vectores se escribe comúnmente como , pero también se usa la notación ( a , b ). ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

Intervalos

Tanto los paréntesis ( ) como los corchetes [ ] también se pueden utilizar para indicar un intervalo . La notación se utiliza para indicar un intervalo de a a c que incluye pero excluye . Es decir, sería el conjunto de todos los números reales entre 5 y 12, incluido 5 pero no 12. Aquí, los números pueden acercarse tanto como quieran a 12, incluido 11,999 y así sucesivamente (con cualquier número finito de 9), pero 12.0 no está incluido. ${\displaystyle [a,c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle [5,12)}$

En algunos países europeos, la notación también se usa para esto, y siempre que se use una coma como separador decimal , se puede usar punto y coma como separador para evitar ambigüedades (por ejemplo, ). ^[6] ${\displaystyle [5,12[}$ ${\displaystyle (0;1)}$

El punto final contiguo al corchete se conoce como cerrado , mientras que el punto final contiguo al paréntesis se conoce como abierto . Si ambos tipos de corchetes son iguales, todo el intervalo puede denominarse cerrado o abierto, según corresponda. Siempre que se utiliza infinito o infinito negativo como punto final (en el caso de intervalos en la recta de números reales ), siempre se considera abierto y junto a un paréntesis. El punto final se puede cerrar al considerar intervalos en la recta numérica real extendida .

Una convención común en matemáticas discretas es definir como el conjunto de números enteros positivos menores o iguales que . Es decir, correspondería al conjunto . ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [5]}$ ${\displaystyle \{1,2,3,4,5\}}$

Conjuntos y grupos

Las llaves { } se utilizan para identificar los elementos de un conjunto . Por ejemplo, { a , b , c } denota un conjunto de tres elementos a , b y c .

Los corchetes angulares ⟨ ⟩ se utilizan en teoría de grupos y álgebra conmutativa para especificar presentaciones de grupos y para denotar el subgrupo o ideal generado por una colección de elementos.

matrices

Una matriz dada explícitamente se escribe comúnmente entre corchetes o corchetes grandes:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}}\quad \quad {\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}}$

Derivados

la notación

${\displaystyle f^{(n)}(x)}$

representa la n -ésima derivada de la función f , aplicada al argumento x . Entonces, por ejemplo, si , entonces . Esto debe contrastarse con la aplicación n veces de f al argumento x . ${\displaystyle f(x)=\exp(\lambda x)}$ ${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lambda ^{n}\exp(\lambda x)}$ ${\displaystyle f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))}$

Factorial descendente y creciente

La notación se utiliza para indicar el factorial descendente , un polinomio de n -ésimo grado definido por ${\displaystyle (x)_{n}}$

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}.}$

Alternativamente, se puede encontrar la misma notación que representa el factorial ascendente , también llamado " símbolo de Pochhammer ". Otra notación para lo mismo es . Se puede definir por ${\displaystyle x^{(n)}}$

${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.}$

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , los corchetes angulares también se utilizan como parte del formalismo de Dirac , la notación bra-ket , para denotar vectores de los espacios duales de bra  y ket  . ${\displaystyle \left\langle A\right|}$ ${\displaystyle \left|B\right\rangle }$

En mecánica estadística , los corchetes angulares denotan conjunto o promedio de tiempo.

Anillos polinomiales

Los corchetes se utilizan para contener las variables en anillos polinomiales . Por ejemplo, es el anillo de polinomios con coeficientes de números reales y variables . ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ ${\displaystyle x}$

Subring generado por un elemento o colección de elementos

Si A es un subanillo de un anillo B y b es un elemento de B , entonces A [ b ] denota el subanillo de B generado por A y b . Este subanillo consta de todos los elementos que se pueden obtener, comenzando por los elementos de A y b , mediante sumas y multiplicaciones repetidas; de manera equivalente, es el subanillo más pequeño de B que contiene A y b . Por ejemplo, ¿el subanillo más pequeño de C contiene todos los números enteros y ; consta de todos los números de la forma , donde myn son números enteros arbitrarios. Otro ejemplo: es el subanillo de Q formado por todos los números racionales cuyo denominador es una potencia de 2 . ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-2}}]}$ ${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$ ${\displaystyle m+n{\sqrt {-2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [1/2]}$

De manera más general, si A es un subanillo de un anillo B , y , entonces denota el subanillo de B generado por A y . Aún más generalmente, si S es un subconjunto de B , entonces A [ S ] es el subanillo de B generado por A y S. ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$ ${\displaystyle A[b_{1},\ldots ,b_{n}]}$ ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$

Soporte de mentira y conmutador.

En teoría de grupos y teoría de anillos , los corchetes se utilizan para indicar el conmutador . En teoría de grupos, el conmutador [ g , h ] se define comúnmente como g ⁻¹ h ⁻¹ gh . En teoría de anillos, el conmutador [ a , b ] se define como ab − ba . Además, se pueden utilizar llaves para indicar el anticonmutador : { a , b } se define como ab + ba .

El corchete de Lie de un álgebra de Lie es una operación binaria denotada por . Al utilizar el conmutador como corchete de Lie, cada álgebra asociativa se puede convertir en un álgebra de Lie. Hay muchas formas diferentes de grupo de Lie , en particular la derivada de Lie y el grupo de Jacobi-Lie . ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Funciones suelo/techo y parte fraccionaria

Las funciones de piso y techo generalmente se componen con corchetes izquierdo y derecho donde solo se muestran las barras horizontales inferior (para la función de piso) o superior (para la función de techo), como en ⌊π⌋ = 3 o ⌈π⌉ = 4 . Sin embargo, los corchetes, como en [ π ] = 3 , a veces se utilizan para indicar la función suelo , que redondea un número real al siguiente entero. Respectivamente, algunos autores utilizan corchetes que apuntan hacia afuera para indicar la función techo, como en ]π[ = 4 .

Las llaves, como en {π} < 1/7 ^, _pueden indicar la parte fraccionaria de un número real.

Ver también

• Coeficiente binomial
• Polinomio de soporte
• Notación de freno
• Delimitador
• idioma Dyck
• Soporte Frölicher-Nijenhuis
• soporte iverson
• Corchete de Nijenhuis-Richardson , también conocido como corchete algebraico .
• Símbolo del martillo poch
• soporte de veneno
• Soporte Schouten-Nijenhuis

Notas

1. Russell, Deb. "Cuándo y dónde utilizar paréntesis, llaves y corchetes en matemáticas". PensamientoCo . Archivado desde el original el 8 de julio de 2017 . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
2. Cajori , Florian 1980. Una historia de las matemáticas . Nueva York: Chelsea Publishing, pág. 158
3. Raymond, Eric S. (1996), El diccionario del nuevo hacker, MIT Press, pág. 41, ISBN 9780262680929.
4. "Varios técnicos" (PDF) . unicode.org.
5. "Dingbats". unicode.org . 2020-04-25 . Consultado el 25 de abril de 2020 .
6. "Notación de intervalos | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
7. Stewart, Ian (1995). Conceptos de Matemática Moderna. Publicaciones de Dover. pag. 90.ISBN​ 9780486284248.