proporción áurea

Número, aproximadamente 1.618

Un rectángulo dorado con lado largo a + b y lado corto a se puede dividir en dos partes: un rectángulo dorado similar (sombreado en rojo, derecha) con lado largo a y lado corto b y un cuadrado (sombreado en azul, izquierda) con lados de longitud a . Esto ilustra la relacióna + b/a=a/b= φ .

En matemáticas , dos cantidades están en la proporción áurea si su proporción es la misma que la proporción de su suma con la mayor de las dos cantidades. Expresado algebraicamente, para cantidades y con , está en proporción áurea a si ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a>b>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

donde la letra griega phi ( o ) denota la proporción áurea. ^[a] La constante satisface la ecuación cuadrática y es un número irracional con un valor de ^[1] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=}$1.618 033 988 749 ....

La proporción áurea fue llamada proporción extrema y media por Euclides , ^[2] y proporción divina por Luca Pacioli , ^[3] y también recibe varios otros nombres. ^[b]

Los matemáticos han estudiado las propiedades de la proporción áurea desde la antigüedad. Es la relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado y, por tanto, aparece en la construcción del dodecaedro y el icosaedro . ^[7] Un rectángulo dorado , es decir, un rectángulo con una relación de aspecto de , se puede cortar en un cuadrado y en un rectángulo más pequeño con la misma relación de aspecto . La proporción áurea se ha utilizado para analizar las proporciones de objetos naturales y sistemas artificiales como los mercados financieros , en algunos casos basándose en ajustes dudosos a los datos. ^[8] La proporción áurea aparece en algunos patrones en la naturaleza , incluida la disposición en espiral de las hojas y otras partes de la vegetación. ${\displaystyle \varphi }$

Algunos artistas y arquitectos del siglo XX , incluidos Le Corbusier y Salvador Dalí , han proporcionado sus obras para aproximarse a la proporción áurea, creyendo que es estéticamente agradable. Estos usos suelen aparecer en forma de rectángulo dorado.

Cálculo

Dos cantidades y están en la proporción áurea si ^[9] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$

Un método para encontrar una forma cerrada comienza con la fracción izquierda. Simplificando la fracción y sustituyendo el recíproco , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle b/a=1/\varphi }$

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{a}}+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .}$

Multiplicar por da ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

que se puede reorganizar para

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

La fórmula cuadrática produce dos soluciones:

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033\dots }$y ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$

Como es una razón entre cantidades positivas, necesariamente es la raíz positiva. ^[10] La raíz negativa es de hecho la inversa negativa , que comparte muchas propiedades con la proporción áurea. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}}$

Historia

Según Mario Livio ,

Algunas de las mentes matemáticas más importantes de todas las épocas, desde Pitágoras y Euclides en la antigua Grecia , pasando por el matemático medieval italiano Leonardo de Pisa y el astrónomo renacentista Johannes Kepler , hasta figuras científicas actuales como el físico de Oxford Roger Penrose , han pasado interminables horas sobre esta simple relación y sus propiedades. ... Biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos e incluso místicos han reflexionado y debatido sobre las bases de su ubicuidad y atractivo. De hecho, probablemente sea justo decir que la Proporción Áurea ha inspirado a pensadores de todas las disciplinas como ningún otro número en la historia de las matemáticas. ^[11]

—  La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo

Los matemáticos griegos antiguos estudiaron por primera vez la proporción áurea debido a su frecuente aparición en geometría ; ^[12] la división de una línea en "proporción extrema y media" (la sección áurea) es importante en la geometría de los pentagramas y pentágonos regulares . ^[13] Según una historia, Hippaso, matemático del siglo V a. C. , descubrió que la proporción áurea no era ni un número entero ni una fracción (es irracional ), lo que sorprendió a los pitagóricos . ^[14] Los Elementos de Euclides ( c. 300 a. C. ) proporcionan varias proposiciones y sus pruebas empleando la proporción áurea, ^{[15] [c]} y contiene su primera definición conocida que procede de la siguiente manera: ^[16]

Se dice que una línea recta ha sido cortada en extrema y media proporción cuando, como toda la línea está al segmento mayor, así lo es el mayor al menor. ^{[17] [d]}

Michael Maestlin , el primero en escribir una aproximación decimal de la razón

La proporción áurea se estudió periféricamente durante el siguiente milenio. Abu Kamil (c. 850-930) lo empleó en sus cálculos geométricos de pentágonos y decágonos; sus escritos influyeron en los de Fibonacci (Leonardo de Pisa) (c. 1170-1250), quien utilizó la proporción en problemas de geometría relacionados pero no observó que estuviera relacionada con los números de Fibonacci . ^[19]

Luca Pacioli nombró su libro Divina proporcionale ( 1509 ) en honor a la ratio; El libro, en gran parte plagiado de Piero della Francesca , exploraba sus propiedades, incluida su aparición en algunos de los sólidos platónicos . ^{[20] [21]} Leonardo da Vinci , que ilustró el libro de Pacioli, llamó a la ratio sectio aurea ('sección áurea'). ^[22] Aunque a menudo se dice que Pacioli defendió la aplicación de la proporción áurea para producir proporciones agradables y armoniosas, Livio señala que la interpretación se remonta a un error en 1799, y que Pacioli en realidad defendió el sistema vitruviano de proporciones racionales. ^[23] Pacioli también vio el significado religioso católico en la relación, lo que llevó al título de su obra. Matemáticos del siglo XVI como Rafael Bombelli resolvieron problemas geométricos utilizando la proporción. ^[24]

El matemático alemán Simon Jacob (muerto en 1564) señaló que los números consecutivos de Fibonacci convergen en la proporción áurea; ^[25] esto fue redescubierto por Johannes Kepler en 1608. ^[26] La primera aproximación decimal conocida de la proporción áurea (inversa) fue declarada como "aproximadamente " en 1597 por Michael Maestlin de la Universidad de Tubinga en una carta a Kepler, su ex alumno. ^[27] El mismo año, Kepler escribió a Maestlin sobre el triángulo de Kepler , que combina la proporción áurea con el teorema de Pitágoras . Kepler dijo de estos: ${\displaystyle 0.6180340}$

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, el otro la división de una línea en razón extrema y media. El primero lo podemos comparar con una masa de oro, el segundo lo podemos llamar una joya preciosa. ^[28]

Los matemáticos del siglo XVIII Abraham de Moivre , Nicolaus I Bernoulli y Leonhard Euler utilizaron una fórmula basada en la proporción áurea que encuentra el valor de un número de Fibonacci en función de su ubicación en la secuencia; En 1843, fue redescubierta por Jacques Philippe Marie Binet , por quien recibió el nombre de "fórmula de Binet". ^[29] Martin Ohm utilizó por primera vez el término alemán goldener Schnitt ('sección áurea') para describir la proporción en 1835. ^[30] James Sully utilizó el término inglés equivalente en 1875. ^[31]

En 1910, el inventor Mark Barr comenzó a utilizar la letra griega phi ( ) ${\displaystyle \varphi }$ como símbolo de la proporción áurea. ^{[32] [e]} También ha sido representado por tau ( ), ${\displaystyle \tau }$ la primera letra del griego antiguo τομή ('corte' o 'sección'). ^[35]

Dan Shechtman demuestra cuasicristales en el NIST en 1985 utilizando un modelo Zometoy .

El sistema de construcción zome , desarrollado por Steve Baer a finales de la década de 1960, se basa en el sistema de simetría del icosaedro / dodecaedro , y utiliza la proporción áurea de forma ubicua. Entre 1973 y 1974, Roger Penrose desarrolló el mosaico Penrose , un patrón relacionado con la proporción áurea tanto en la proporción de áreas de sus dos mosaicos rómbicos como en su frecuencia relativa dentro del patrón. ^[36] Esto ganó interés después del descubrimiento de Dan Shechtman , ganador del Nobel en 1982, de cuasicristales con simetría icosaédrica, que poco después fueron explicados a través de analogías con el mosaico de Penrose. ^[37]

Matemáticas

Irracionalidad

La proporción áurea es un número irracional . A continuación se presentan dos breves pruebas de irracionalidad:

Contradicción de una expresión en términos mínimos.

Si φ fuera racional , entonces sería la razón de los lados de un rectángulo con lados enteros (el rectángulo que comprende todo el diagrama). Pero también sería una proporción de lados enteros del rectángulo más pequeño (la parte más a la derecha del diagrama) obtenida al eliminar un cuadrado. La secuencia de longitudes de lados de números enteros decrecientes formada al eliminar cuadrados no puede continuar indefinidamente porque los números enteros positivos tienen un límite inferior, por lo que φ no puede ser racional.

Esta es una prueba por descenso infinito . Recordar que:

el todo es la parte más larga más la parte más corta;
el todo es a la parte más larga como la parte más larga a la más corta.

Si llamamos al todo y a la parte más larga , entonces la segunda afirmación anterior se convierte en ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m,}$

${\displaystyle n}$es como es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n-m.}$

Decir que la proporción áurea es racional significa que es una fracción donde y son números enteros. Podemos considerar que estamos en términos más bajos y que somos positivos. Pero si está en términos más bajos, entonces lo igualmente valorado está en términos aún más bajos. Ésa es una contradicción que se deriva del supuesto de que es racional. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n/m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n/m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n/m}$ ${\displaystyle m/(n-m)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Por irracionalidad de √ 5

Otra breve prueba (quizás más conocida) de la irracionalidad de la proporción áurea hace uso de la clausura de números racionales mediante suma y multiplicación. Si es racional, entonces también es racional, lo cual es una contradicción si ya se sabe que la raíz cuadrada de todos los números naturales no cuadrados son irracionales. ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle 2\varphi -1={\sqrt {5}}}$

Polinomio mínimo

La proporción áurea φ y su recíproco negativo − φ ⁻¹ son las dos raíces del polinomio cuadrático x ² − x − 1 . El negativo − φ y el recíproco φ ⁻¹ de la proporción áurea son las dos raíces del polinomio cuadrático x ² + x − 1 .

La proporción áurea es también un número algebraico e incluso un número entero algebraico . Tiene un polinomio mínimo.

${\displaystyle x^{2}-x-1.}$

Este polinomio cuadrático tiene dos raíces y ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle -\varphi ^{-1}.}$

La proporción áurea también está estrechamente relacionada con el polinomio.

${\displaystyle x^{2}+x-1,}$

que tiene raíces y Como raíz de un polinomio cuadrático, la proporción áurea es un número construible . ^[38] ${\displaystyle -\varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}.}$

Proporción áurea conjugada y potencias

La raíz conjugada del polinomio mínimo es ${\displaystyle x^{2}-x-1}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$

El valor absoluto de esta cantidad ( ) ${\displaystyle 0.618\ldots }$ corresponde a la relación de longitud tomada en orden inverso (longitud del segmento más corto sobre longitud del segmento más largo, ). ${\displaystyle b/a}$

Esto ilustra la propiedad única de la proporción áurea entre los números positivos, que

${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}$

o su inversa:

${\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}$

El conjugado y la relación polinómica cuadrática definitoria conducen a valores decimales que tienen su parte fraccionaria en común con : ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033\dots .\end{aligned}}}$

La secuencia de potencias de contiene estos valores de manera más general, cualquier potencia de es igual a la suma de las dos potencias inmediatamente anteriores: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 0.618033\ldots ,}$ ${\displaystyle 1.0,}$ ${\displaystyle 1.618033\ldots ,}$ ${\displaystyle 2.618033\ldots ;}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}$

Como resultado, se puede descomponer fácilmente cualquier potencia de en un múltiplo de y una constante. El múltiplo y la constante son siempre números de Fibonacci adyacentes. Esto lleva a otra propiedad de los poderes positivos de : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Si entonces: ${\displaystyle \lfloor n/2-1\rfloor =m,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}$

Fracción continua y raíz cuadrada

Aproximaciones a la proporción áurea recíproca mediante fracciones continuas finitas, o proporciones de números de Fibonacci

La fórmula se puede ampliar recursivamente para obtener una fracción continua para la proporción áurea: ^[39] ${\displaystyle \varphi =1+1/\varphi }$

${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$

De hecho, es la forma más simple de fracción continua, junto con su forma recíproca:

${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$

Los convergentes de estas fracciones continuas ( ${\displaystyle 1/1,}$ ... o ...) son razones de números de Fibonacci sucesivos . Los términos consistentemente pequeños en su fracción continua explican por qué las aproximantes convergen tan lentamente. Esto hace que la proporción áurea sea un caso extremo de la desigualdad de Hurwitz para aproximaciones diofánticas , que establece que para cada irracional , hay infinitas fracciones distintas tales que, ${\displaystyle 2/1,}$ ${\displaystyle 2/1,}$ ${\displaystyle 3/2,}$ ${\displaystyle 5/3,}$ ${\displaystyle 8/5,}$ ${\displaystyle 13/8,}$ ${\displaystyle 1/1,}$ ${\displaystyle 1/2,}$ ${\displaystyle 2/3,}$ ${\displaystyle 3/5,}$ ${\displaystyle 5/8,}$ ${\displaystyle 8/13,}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle p/q}$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$

Esto significa que la constante no se puede mejorar sin excluir la proporción áurea. De hecho, es el número más pequeño que debe excluirse para generar aproximaciones más cercanas a dichos números de Lagrange . ^[40] ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

Se puede obtener una forma continua de raíz cuadrada de , dando como resultado: ^[41] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}$

Relación con los números de Fibonacci y Lucas

Una espiral de Fibonacci (arriba) que se aproxima a la espiral dorada , utilizando cuadrados de secuencia de Fibonacci de tamaños hasta 21 . Una aproximación diferente a la espiral dorada se genera (abajo) apilando cuadrados cuyas longitudes de lados son números que pertenecen a la secuencia de números de Lucas , aquí hasta 76 .

Los números de Fibonacci y los números de Lucas tienen una relación intrincada con la proporción áurea. En la secuencia de Fibonacci, cada número es igual a la suma de los dos anteriores, comenzando con la secuencia de bases : ${\displaystyle 0,1}$

${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle 5,}$ ${\displaystyle 8,}$ ${\displaystyle 13,}$ ${\displaystyle 21,}$ ${\displaystyle 34,}$ ${\displaystyle 55,}$ ${\displaystyle 89,}$ ${\displaystyle \ldots }$( OEIS : A000045 ).

La secuencia de números de Lucas (que no debe confundirse con las secuencias generalizadas de Lucas , de las cuales esta forma parte) es como la secuencia de Fibonacci, en la que cada término es la suma de los dos anteriores, sin embargo, comienza con : ${\displaystyle 2,1}$

${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle 4,}$ ${\displaystyle 7,}$ ${\displaystyle 11,}$ ${\displaystyle 18,}$ ${\displaystyle 29,}$ ${\displaystyle 47,}$ ${\displaystyle 76,}$ ${\displaystyle 123,}$ ${\displaystyle 199,}$ ${\displaystyle \ldots }$( OEIS : A000032 ).

Excepcionalmente, la proporción áurea es igual al límite de las proporciones de términos sucesivos en la secuencia de Fibonacci y la secuencia de números de Lucas: ^[42]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}$

En otras palabras, si un número de Fibonacci y Lucas se divide por su predecesor inmediato en la secuencia, el cociente se aproxima . ${\displaystyle \varphi }$

Por ejemplo, y ${\displaystyle {\frac {F_{16}}{F_{15}}}={\frac {987}{610}}=1.6180327\ldots ,}$ ${\displaystyle {\frac {L_{16}}{L_{15}}}={\frac {2207}{1364}}=1.6180351\ldots .}$

Estas aproximaciones son alternativamente inferiores y superiores y convergen a medida que aumentan los números de Fibonacci y Lucas. ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle \varphi }$

Las expresiones en forma cerrada para las secuencias de Fibonacci y Lucas que involucran la proporción áurea son:

${\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}},}$

${\displaystyle L\left(n\right)=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,.}$

Combinando ambas fórmulas anteriores, se obtiene una fórmula que involucra números de Fibonacci y Lucas: ${\displaystyle \varphi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$

Entre los números de Fibonacci y los de Lucas se puede deducir que se simplifica expresar el límite del cociente de los números de Lucas por los números de Fibonacci como igual a la raíz cuadrada de cinco : ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n},}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$

De hecho, afirmaciones mucho más contundentes son ciertas:

${\displaystyle \vert L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}\vert ={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,}$

${\displaystyle (L_{3n}/2)^{2}=5(F_{3n}/2)^{2}+(-1)^{n}.}$

Estos valores se describen como una unidad fundamental del campo numérico algebraico . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$

Las potencias sucesivas de la proporción áurea obedecen a la recurrencia de Fibonacci , es decir ${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$

La reducción a una expresión lineal se puede lograr en un solo paso usando:

${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$

Esta identidad permite reducir cualquier polinomio a una expresión lineal, como en: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3[(\varphi +1)+\varphi ]-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$

Los números consecutivos de Fibonacci también se pueden utilizar para obtener una fórmula similar para la proporción áurea, aquí por suma infinita :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|F_{n}\varphi -F_{n+1}|=\varphi .}$

En particular, las potencias de sí mismas se redondean a números de Lucas (en orden, excepto las dos primeras potencias, y están en orden inverso): ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{0}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}$

Etcétera. ^[43] Los números de Lucas también generan directamente poderes de la proporción áurea; para : ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$

Enraizada en su relación de interconexión con la proporción áurea está la noción de que la suma del tercer número consecutivo de Fibonacci es igual a un número de Lucas, es decir ; y, lo más importante, eso . ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}$ ${\displaystyle L_{n}={\frac {F_{2n}}{F_{n}}}}$

Tanto la secuencia de Fibonacci como la secuencia de números de Lucas se pueden utilizar para generar formas aproximadas de la espiral áurea (que es una forma especial de espiral logarítmica ) utilizando cuartos de círculo con radios de estas secuencias, que difieren sólo ligeramente de la verdadera logarítmica áurea. espiral. Espiral de Fibonacci es generalmente el término utilizado para las espirales que se aproximan a las espirales doradas utilizando cuadrados y cuartos de círculo con secuencia numérica de Fibonacci.

Geometría

La proporción áurea ocupa un lugar destacado en la geometría. Por ejemplo, está intrínsecamente implicado en la simetría interna del pentágono , y se extiende hasta formar parte de las coordenadas de los vértices de un dodecaedro regular , así como de las de un 5 celdas . También aparece en el triángulo de Kepler y en los mosaicos de Penrose , así como en varios otros politopos .

Construcción

Dividir un segmento de línea por división interior (arriba) y división exterior (abajo) según la proporción áurea.

Dividiendo por división interior

1. Con un segmento de línea, construya una perpendicular en un punto con la mitad de la longitud de Dibuje la hipotenusa. ${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle AB.}$ ${\displaystyle AC.}$
2. Dibuja un arco con centro y radio. Este arco corta a la hipotenusa en el punto ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle BC.}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle D.}$
3. Dibuje un arco con centro y radio. Este arco intersecta el segmento de línea original en el punto. El punto divide el segmento de línea original en segmentos de línea y con longitudes en la proporción áurea. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AD.}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle SB}$

Dividiendo por división exterior

1. Dibuja un segmento de recta y construye a partir del punto un segmento perpendicular y con la misma longitud que ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle SC}$ ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle AS.}$
2. Biseca el segmento de recta con ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle M.}$
3. Un arco circular con radio intersecta en un punto la línea recta que pasa por los puntos y (también conocida como extensión de ). La proporción entre el segmento construido y el segmento construido es la proporción áurea. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle MC}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle SB}$

Puede ver ejemplos de aplicación en los artículos Pentágono con una longitud de lado determinada , Decágono con una circunferencia circunstante determinada y Decágono con una longitud de lado determinada .

Los dos algoritmos diferentes mostrados anteriormente producen construcciones geométricas que determinan dos segmentos de línea alineados donde la proporción entre el más largo y el más corto es la proporción áurea.

ángulo dorado

gramo ≈ 137,508°

Cuando dos ángulos que forman un círculo completo tienen medidas en la proporción áurea, el menor se llama ángulo áureo , con medida ${\textstyle g\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ },\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\approx 137.5^{\circ }.\end{aligned}}}$

Este ángulo ocurre en los patrones de crecimiento de las plantas como el espaciamiento óptimo de los brotes de las hojas alrededor de los tallos de las plantas para que las hojas sucesivas no bloqueen la luz solar de las hojas debajo de ellas. ^[44]

Sistema de simetría pentagonal

Pentágono y pentagrama

Un pentagrama coloreado para distinguir sus segmentos de línea de diferentes longitudes. Las cuatro longitudes están en proporción áurea entre sí.

En un pentágono regular, la proporción entre una diagonal y un lado es la proporción áurea, mientras que las diagonales que se cruzan se seccionan entre sí en la proporción áurea. Las propiedades de la proporción áurea de un pentágono regular se pueden confirmar aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero formado al eliminar uno de sus vértices. Si el borde largo y las diagonales del cuadrilátero son y los bordes cortos son, entonces el teorema de Ptolomeo da: Dividir ambos lados por produce (ver § Cálculo arriba), ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+ab.}$ ${\displaystyle ab}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$

Los segmentos diagonales de un pentágono forman un pentagrama , o polígono en estrella de cinco puntas , cuya geometría se describe por excelencia en . Principalmente, cada intersección de bordes divide otros bordes en la proporción áurea. La relación entre la longitud del segmento más corto y el segmento delimitado por los dos bordes que se cruzan (es decir, un lado del pentágono invertido en el centro del pentagrama) es como muestra la ilustración de cuatro colores. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ,}$

La geometría pentagonal y pentagramática nos permite calcular los siguientes valores para : ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ },\\[5mu]\varphi &={\tfrac {1}{2}}\csc(\pi /10)={\tfrac {1}{2}}\csc 18^{\circ },\\[5mu]\varphi &=2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ },\\[5mu]\varphi &=2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.\end{aligned}}}$

Triángulo dorado y gnomon dorado.

Un triángulo áureo ABC se puede subdividir por una bisectriz de un ángulo en un triángulo áureo más pequeño CXB y un gnomon dorado XAC .

Al triángulo formado por dos diagonales y un lado de un pentágono regular se le llama triángulo áureo o triángulo sublime . Es un triángulo isósceles agudo con un ángulo en el vértice de 36° y un ángulo en la base de 72°. ^[45] Sus dos lados iguales están en la proporción áurea con respecto a su base. ^[46] El triángulo formado por dos lados y una diagonal de un pentágono regular se llama gnomon dorado . Es un triángulo isósceles obtuso con un ángulo en el vértice de 108° y un ángulo en la base de 36°. Su base está en la proporción áurea con sus dos lados iguales. ^[46] El pentágono se puede subdividir así en dos gnomons dorados y un triángulo dorado central. Los cinco puntos de un pentagrama regular son triángulos áureos, ^[46] al igual que los diez triángulos formados conectando los vértices de un decágono regular con su punto central. ^[47]

Dividir uno de los ángulos de la base del triángulo dorado lo subdivide en un triángulo dorado más pequeño y un gnomon dorado. De manera análoga, cualquier triángulo isósceles agudo se puede subdividir en un triángulo semejante y un triángulo isósceles obtuso, pero el triángulo áureo es el único en el que esta subdivisión se hace por la bisectriz del ángulo, porque es el único triángulo isósceles cuyo ángulo base es el doble. su ángulo de vértice. La bisectriz del ángulo del triángulo áureo subdivide el lado que se encuentra en la proporción áurea, y las áreas de las dos piezas subdivididas también están en la proporción áurea. ^[46]

Si se triseca el ángulo del vértice del gnomon dorado , el trisector nuevamente lo subdivide en un gnomon dorado más pequeño y un triángulo dorado. El trisector subdivide la base en la proporción áurea, y las dos piezas tienen áreas en la proporción áurea. De manera análoga, cualquier triángulo obtuso se puede subdividir en un triángulo semejante y un triángulo isósceles agudo, pero el gnomon áureo es el único en el que se hace esta subdivisión por el ángulo trisector, porque es el único triángulo isósceles cuyo ángulo en el vértice es tres veces su ángulo base. ^[46]

mosaicos de penrose

Los mosaicos de cometas y dardos del mosaico de Penrose. Los arcos de colores dividen cada borde en la proporción áurea; Cuando dos fichas comparten un borde, sus arcos deben coincidir.

La proporción áurea aparece de manera prominente en los mosaicos de Penrose , una familia de mosaicos aperiódicos del plano desarrollados por Roger Penrose , inspirados en la observación de Johannes Kepler de que los pentagramas, decágonos y otras formas podrían llenar los espacios que las formas pentagonales dejan por sí solas cuando se unen en mosaico. ^[48] ​​Se han estudiado varias variaciones de este mosaico, todos cuyos prototipos exhiben la proporción áurea:

• La versión original de Penrose de este mosaico usaba cuatro formas: pentágonos y pentagramas regulares, figuras de "barco" con tres puntas de un pentagrama y rombos en forma de "diamante". ^[49]
• El mosaico de cometa y dardo Penrose utiliza cometas con tres ángulos interiores de 72° y un ángulo interior de 144°, y dardos, cuadriláteros cóncavos con dos ángulos interiores de 36°, uno de 72° y un ángulo no convexo de 216°. . Las reglas especiales de coincidencia restringen cómo se pueden unir las fichas en cualquier borde, lo que da como resultado siete combinaciones de fichas en cualquier vértice. Tanto las cometas como los dardos tienen lados de dos longitudes, en la proporción áurea entre sí. Las áreas de estas dos formas de mosaico también están en la proporción áurea entre sí. ^[48]
• La cometa y el dardo se pueden cortar según sus ejes de simetría en un par de triángulos dorados y gnomons dorados, respectivamente. Con reglas de coincidencia adecuadas, estos triángulos, llamados en este contexto triángulos de Robinson , pueden usarse como prototipos para una forma del mosaico de Penrose. ^{[48] ​​[50]}
• El mosaico rómbico de Penrose contiene dos tipos de rombo, un rombo delgado con ángulos de 36° y 144°, y un rombo grueso con ángulos de 72° y 108°. Todas las longitudes de los lados son iguales, pero la razón entre la longitud de los lados y la diagonal corta en el rombo delgado es igual a , al igual que la razón entre los lados de y la diagonal larga del rombo grueso. Al igual que con el mosaico de cometa y dardo, las áreas de los dos rombos están en la proporción áurea entre sí. Nuevamente, estos rombos se pueden descomponer en pares de triángulos de Robinson. ^[48] ${\displaystyle 1:\varphi }$

En triángulos y cuadriláteros

La construcción de Odom.

Construcción de Odom: AB : BC = AC : AB = φ  : 1

George Odom encontró una construcción para involucrar un triángulo equilátero : si el segmento de línea que une los puntos medios de dos lados se extiende para cruzar el círculo circunstante , entonces los dos puntos medios y el punto de intersección con el círculo están en proporción áurea. ^[51] ${\displaystyle \varphi }$

triángulo de kepler

El triángulo de Kepler , llamado así en honor a Johannes Kepler , es el único triángulo rectángulo con lados en progresión geométrica :

${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi }}\mathbin {:} \varphi }$.

Estas longitudes de los lados son las tres medias pitagóricas de los dos números . Los tres cuadrados de sus lados tienen áreas en la progresión geométrica dorada . ${\displaystyle \varphi \pm 1}$ ${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$

Entre los triángulos isósceles, la relación entre el radio y la longitud de los lados se maximiza para el triángulo formado por dos copias reflejadas del triángulo de Kepler, que comparten el más largo de sus dos catetos. ^[52] El mismo triángulo isósceles maximiza la relación entre el radio de un semicírculo en su base y su perímetro . ^[53]

Para un triángulo de Kepler con longitud de lado más pequeña , el área y los ángulos internos agudos son: ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {s^{2}}{2}}{\sqrt {\varphi }},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ },\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }.\end{aligned}}}$

rectángulo dorado

Para construir un rectángulo áureo con sólo una regla y un compás en cuatro sencillos pasos:

La proporción áurea proporciona las longitudes de los lados adyacentes de un rectángulo áureo en proporción. ^[54] Apilar rectángulos dorados produce rectángulos dorados nuevamente, y eliminar o agregar cuadrados de los rectángulos dorados deja los rectángulos todavía proporcionados en proporción . Pueden generarse mediante espirales doradas , a través de sucesivos cuadrados y cuartos de círculo del tamaño de números de Fibonacci y Lucas. Ocupan un lugar destacado tanto en el icosaedro como en el dodecaedro (consulte la sección siguiente para obtener más detalles). ^[55] ${\displaystyle 1:\varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

rombo dorado

Un rombo dorado es un rombo cuyas diagonales son proporcionales a la proporción áurea, más comúnmente . ^[56] Para un rombo de tales proporciones, su ángulo agudo y sus ángulos obtusos son: ${\displaystyle 1:\varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ },\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }.\end{aligned}}}$

Las longitudes de sus diagonales corta y larga y , en términos de longitud de lado, son: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d&={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$

Su área, en términos de y : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\approx 0.80902d^{2}.\end{aligned}}}$

Su inradio , en términos de lado : ${\displaystyle a}$

${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$

Los rombos dorados forman las caras del triacontaedro rómbico , los dos romboedros dorados , el dodecaedro de Bilinski , ^[57] y el hexecontaedro rómbico . ^[56]

Espiral dorada

La espiral dorada (roja) y su aproximación mediante cuartos de círculo (verde), con superposiciones mostradas en amarillo.

Una espiral logarítmica cuyo radio crece según la proporción áurea cada 108° de giro, rodeando triángulos isósceles dorados anidados. Esta es una espiral diferente de la espiral dorada , que crece según la proporción áurea cada 90° de giro. ^[58]

Las espirales logarítmicas son espirales autosemejantes donde las distancias recorridas por vuelta están en progresión geométrica . Una espiral logarítmica cuyo radio aumenta en un factor de la proporción áurea por cada cuarto de vuelta se llama espiral áurea . Estas espirales pueden aproximarse mediante cuartos de círculo que crecen según la proporción áurea, ^[59] o sus aproximaciones generadas a partir de números de Fibonacci, ^[60] a menudo representadas inscritas dentro de un patrón en espiral de cuadrados que crecen en la misma proporción. La forma espiral logarítmica exacta de la espiral dorada se puede describir mediante la ecuación polar con : ${\displaystyle (r,\theta )}$

${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}$

No todas las espirales logarítmicas están conectadas a la proporción áurea, y no todas las espirales que están conectadas a la proporción áurea tienen la misma forma que la espiral áurea. Por ejemplo, una espiral logarítmica diferente, que encierra una secuencia anidada de triángulos isósceles dorados, crece según la proporción áurea por cada 108° que gira, en lugar del ángulo de giro de 90° de la espiral dorada. ^[58] Otra variación, llamada "mejor espiral dorada", crece según la proporción áurea para cada media vuelta, en lugar de cada cuarto de vuelta. ^[59]

En el dodecaedro y el icosaedro

El dodecaedro regular y su poliedro dual , el icosaedro , son sólidos platónicos cuyas dimensiones están relacionadas con la proporción áurea. Un dodecaedro tiene caras pentagonales regulares, mientras que un icosaedro tiene triángulos equiláteros ; ambos tienen bordes . ^[61] ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 20}$ ${\displaystyle 30}$

Para un dodecaedro de lado , el radio de una esfera circunscrita e inscrita, y el radio medio son ( y respectivamente): ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{u},}$ ${\displaystyle r_{i},}$ ${\displaystyle r_{m},}$

${\displaystyle r_{u}=a\,{\frac {{\sqrt {3}}\varphi }{2}},}$ ${\displaystyle r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}},}$y ${\displaystyle r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}.}$

Mientras que para un icosaedro de lado , el radio de una esfera circunscrita e inscrita, y el radio medio son: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle r_{u}=a{\frac {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}{2}},}$ ${\displaystyle r_{i}=a{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}},}$y ${\displaystyle r_{m}=a{\frac {\varphi }{2}}.}$

El volumen y el área de superficie del dodecaedro se pueden expresar en términos de : ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle A_{d}={\frac {15\varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}}$y . ${\displaystyle V_{d}={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi }}}$

Así como para el icosaedro:

${\displaystyle A_{i}=20{\frac {\varphi ^{2}}{2}}}$y ${\displaystyle V_{i}={\frac {5}{6}}(1+\varphi ).}$

Tres rectángulos dorados tocan los 12 vértices de un icosaedro regular .

Estos valores geométricos se pueden calcular a partir de sus coordenadas cartesianas , que también se pueden dar mediante fórmulas que involucran . Las coordenadas del dodecaedro se muestran en la figura anterior, mientras que las del icosaedro son las permutaciones cíclicas de: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi )}$, , ${\displaystyle (\pm 1,\pm \varphi ,0)}$ ${\displaystyle (\pm \varphi ,0,\pm 1).}$

Conjuntos de tres rectángulos áureos se cruzan perpendicularmente dentro de los dodecaedros e icosaedros, formando anillos borromeos . ^{[62] [55]} En los dodecaedros, los pares de vértices opuestos en rectángulos áureos se encuentran con los centros de las caras pentagonales, y en los icosaedros, se encuentran en sus vértices. En total, los tres rectángulos áureos contienen los vértices del icosaedro o, de manera equivalente, intersecan los centros de las caras del dodecaedro. ^[61] ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 12}$

Un cubo puede inscribirse en un dodecaedro regular, sirviendo algunas de las diagonales de las caras pentagonales del dodecaedro como aristas del cubo; por lo tanto, las longitudes de los bordes están en la proporción áurea. El volumen del cubo es multiplicado por el del dodecaedro. ^[63] De hecho, los rectángulos áureos dentro de un dodecaedro tienen proporciones áureas con respecto a un cubo inscrito, de modo que los bordes de un cubo y los bordes largos de un rectángulo áureo están en proporción. Por otro lado, el octaedro , que es el poliedro dual del cubo, puede inscribir un icosaedro, de modo que los vértices de un icosaedro toquen los bordes de un octaedro en los puntos que dividen sus bordes en proporción áurea. ^[64] ${\displaystyle {\tfrac {2}{2+\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi :\varphi ^{2}}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 12}$

Otros poliedros están relacionados con el dodecaedro y el icosaedro o sus simetrías y, por tanto, tienen relaciones correspondientes con la proporción áurea. Estos incluyen el compuesto de cinco cubos , el compuesto de cinco octaedros , el compuesto de cinco tetraedros , el compuesto de diez tetraedros , el triacontaedro rómbico , el icosidodecaedro , el icosaedro truncado , el dodecaedro truncado y el rombicosidodecaedro , el eneacontaedro rómbico , los poliedros de Kepler-Poinsot y el hexecontaedro rómbico. ron . En cuatro dimensiones, el dodecaedro y el icosaedro aparecen como caras de las de 120 y 600 celdas , que nuevamente tienen dimensiones relacionadas con la proporción áurea.

Otras propiedades

La expansión decimal de la proporción áurea se puede calcular mediante métodos de búsqueda de raíces, como el método de Newton o el método de Halley , en la ecuación o en (para calcular primero). El tiempo necesario para calcular los dígitos de la proporción áurea utilizando el método de Newton es esencialmente , donde es la complejidad temporal de multiplicar números de dos dígitos. ^[65] Esto es considerablemente más rápido que los algoritmos conocidos para y . Una alternativa fácil de programar que utiliza únicamente aritmética de enteros es calcular dos números de Fibonacci consecutivos grandes y dividirlos. La proporción de los números de Fibonacci y cada uno de los dígitos produce más de dígitos significativos de la proporción áurea. La expansión decimal de la proporción áurea ^[1] se ha calculado con una precisión de diez billones ( ) de dígitos. ^[66] ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$ ${\displaystyle x^{2}-5=0}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O(M(n))}$ ${\displaystyle M(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle F_{25001}}$ ${\displaystyle F_{25000},}$ ${\displaystyle 5000}$ ${\displaystyle 10{,}000}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 1\times 10^{13}=10{,}000{,}000{,}000{,}000}$

En el plano complejo , las raíces quintas de la unidad (para un número entero ) que satisfacen son los vértices de un pentágono. No forman un anillo de números enteros cuadráticos , sin embargo la suma de cualquier raíz quinta de la unidad y su conjugado complejo , es un número entero cuadrático, un elemento de Específicamente, ${\displaystyle z=e^{2\pi ki/5}}$ ${\textstyle k}$ ${\displaystyle z^{5}=1}$ ${\displaystyle z+{\bar {z}},}$ ${\textstyle \mathbb {Z} [\varphi ].}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{aligned}}}$

Esto también es válido para las décimas raíces restantes de la unidad que satisfacen ${\displaystyle z^{10}=1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{aligned}}}$

Para la función gamma , las únicas soluciones de la ecuación son y . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)}$ ${\displaystyle z=\varphi }$ ${\displaystyle z=-\varphi ^{-1}}$

Cuando la proporción áurea se utiliza como base de un sistema numérico (ver base de la proporción áurea , a veces denominada phinary o -nary ), los enteros cuadráticos en el anillo , es decir, los números de la forma for , tienen representaciones terminales , pero las fracciones racionales tienen representaciones inextinguibles. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$ ${\displaystyle a+b\varphi }$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$

La proporción áurea también aparece en geometría hiperbólica , como la distancia máxima desde un punto de un lado de un triángulo ideal al más cercano de los otros dos lados: esta distancia, la longitud del lado del triángulo equilátero formado por los puntos de tangencia de un círculo inscrito dentro del triángulo ideal, es ^[67] ${\displaystyle 4\log(\varphi ).}$

La proporción áurea también aparece en la teoría de funciones modulares . para , deja ${\displaystyle \left|q\right|<1}$

${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}.}$

Entonces

${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(-e^{-\pi })=\varphi ^{-1}-{\sqrt {2-\varphi ^{-1}}}}$

y

${\displaystyle R(e^{-2\pi i/\tau })={\frac {1-\varphi R(e^{2\pi i\tau })}{\varphi +R(e^{2\pi i\tau })}}}$

donde y en la fracción continua se debe evaluar como . La función es invariante bajo un subgrupo de congruencia del grupo modular . También para números reales positivos y luego ^[68] ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$ ${\displaystyle (e^{z})^{1/5}}$ ${\displaystyle e^{z/5}}$ ${\displaystyle \tau \mapsto R(e^{2\pi i\tau })}$ ${\displaystyle \Gamma (5)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle ab=\pi ^{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \varphi }$es un número de Pisot-Vijayaraghavan . ^[69]

Aplicaciones y observaciones

Ritmos aparentes a la vista: rectángulos en proporciones de aspecto φ (izquierda, centro) y φ ² (lado derecho) forman un mosaico en el cuadrado.

Arquitectura

El arquitecto suizo Le Corbusier , famoso por sus contribuciones al estilo moderno internacional , centró su filosofía de diseño en sistemas de armonía y proporción. La fe de Le Corbusier en el orden matemático del universo estaba estrechamente ligada a la proporción áurea y a la serie de Fibonacci, que describió como "ritmos aparentes a la vista y claros en sus relaciones entre sí. Y estos ritmos están en la raíz misma de actividades humanas. Resuenan en el hombre por una inevitabilidad orgánica, la misma sutil inevitabilidad que provoca que los niños, los ancianos, los salvajes y los eruditos tracen la Sección Áurea. ^{[70] [71]}

Le Corbusier utilizó explícitamente la proporción áurea en su sistema Modulor para la escala de proporción arquitectónica . Vio este sistema como una continuación de la larga tradición de Vitruvio , el " Hombre de Vitruvio " de Leonardo da Vinci , la obra de Leon Battista Alberti y otros que utilizaron las proporciones del cuerpo humano para mejorar la apariencia y función de la arquitectura .

Además de la proporción áurea, Le Corbusier basó el sistema en medidas humanas , los números de Fibonacci y la unidad doble. Llevó la sugerencia de la proporción áurea en proporciones humanas al extremo: seccionó la altura de su cuerpo humano modelo en el ombligo con las dos secciones en proporción áurea, luego subdividió esas secciones en proporción áurea en las rodillas y la garganta; Usó estas proporciones de proporción áurea en el sistema Modulor . La Villa Stein de Le Corbusier de 1927 en Garches ejemplificó la aplicación del sistema Modulor. La planta rectangular, el alzado y la estructura interior de la villa se aproximan mucho a los rectángulos dorados. ^[72]

Otro arquitecto suizo, Mario Botta , basa muchos de sus diseños en figuras geométricas. Varias casas particulares que diseñó en Suiza se componen de cuadrados y círculos, cubos y cilindros. En una casa que diseñó en Origlio , la proporción áurea es la proporción entre la sección central y las secciones laterales de la casa. ^[73]

Arte

Ilustración de Da Vinci de un dodecaedro de la Divina proporcionale de Pacioli (1509)

Las ilustraciones de poliedros de Leonardo da Vinci en Divina proporcionale de Pacioli han llevado a algunos a especular que incorporó la proporción áurea en sus pinturas. Pero la sugerencia de que su Mona Lisa , por ejemplo, emplea proporciones áureas, no está respaldada por los propios escritos de Leonardo. ^{[74] De manera similar, aunque} el Hombre de Vitruvio de Leonardo a menudo se muestra en relación con la proporción áurea, las proporciones de la figura en realidad no coinciden, y el texto solo menciona proporciones de números enteros. ^{[75] [76]}

Salvador Dalí , influenciado por las obras de Matila Ghyka , ^[77] utilizó explícitamente la proporción áurea en su obra maestra, El Sacramento de la Última Cena . Las dimensiones del lienzo son un rectángulo dorado. Un enorme dodecaedro, en perspectiva de modo que los bordes aparecen en proporción áurea entre sí, está suspendido encima y detrás de Jesús y domina la composición. ^{[74] [78]}

Un estudio estadístico sobre 565 obras de arte de diferentes grandes pintores, realizado en 1999, encontró que estos artistas no habían utilizado la proporción áurea en el tamaño de sus lienzos. El estudio concluyó que la proporción promedio de las dos caras de las pinturas estudiadas es con promedios para artistas individuales que van desde (Goya) hasta (Bellini). ^[79] Por otro lado, Pablo Tosto enumeró más de 350 obras de artistas reconocidos, incluidas más de 100 que tienen lienzos con rectángulo áureo y proporciones, y otros con proporciones como y ^[80] ${\displaystyle 1.34,}$ ${\displaystyle 1.04}$ ${\displaystyle 1.46}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle 4,}$ ${\displaystyle 6.}$

Representación de las proporciones en un manuscrito medieval. Según Jan Tschichold : "Proporción de página 2:3. Proporción de margen 1:1:2:3. Área de texto proporcionada en la sección áurea". ^[81]

Libros y diseño.

Según Jan Tschichold ,

Hubo un tiempo en que las desviaciones de las proporciones de las páginas verdaderamente hermosas y de la Sección Áurea eran raras. Muchos libros publicados entre 1550 y 1770 muestran estas proporciones exactamente, con una precisión de medio milímetro. ^[82] ${\displaystyle 2\mathbin {:} 3,}$ ${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {3}},}$

Según algunas fuentes, la proporción áurea se utiliza en el diseño cotidiano, por ejemplo en las proporciones de naipes, postales, carteles, placas de interruptores de luz y televisores de pantalla ancha. ^[83]

Banderas

La bandera de Togo , cuya relación de aspecto utiliza la proporción áurea.

La proporción de aspecto (relación ancho-alto) de la bandera de Togo estaba destinada a ser la proporción áurea, según su diseñador. ^[84]

Música

Ernő Lendvai analiza las obras de Béla Bartók como basadas en dos sistemas opuestos, el de la proporción áurea y la escala acústica , ^[85] aunque otros estudiosos de la música rechazan ese análisis. ^[86] El compositor francés Erik Satie utilizó la proporción áurea en varias de sus piezas, incluidas Sonneries de la Rose+Croix . La proporción áurea también es evidente en la organización de las secciones de la música de Reflets dans l'eau (Reflejos en el agua) de Debussy , de Images (primera serie, 1905), en la que "la secuencia de claves está marcada por los intervalos 34, 21, 13 y 8, y el clímax principal se sitúa en la posición phi". ^[87]

El musicólogo Roy Howat ha observado que los límites formales de La Mer de Debussy corresponden exactamente a la sección áurea. ^[88] Trezise considera que la evidencia intrínseca es "notable", pero advierte que ninguna evidencia escrita o reportada sugiere que Debussy buscara conscientemente tales proporciones. ^[89]

Teóricos de la música como Hans Zender y Heinz Bohlen han experimentado con la escala de 833 centavos , una escala musical basada en el uso de la proporción áurea como intervalo musical fundamental . Cuando se mide en centavos , una escala logarítmica para intervalos musicales, la proporción áurea es de aproximadamente 833,09 centavos. ^[90]

Naturaleza

Detalle de la planta platillo, Aeonium tabuliforme , que muestra la disposición en espiral múltiple ( parastichy )

Johannes Kepler escribió que "la imagen del hombre y de la mujer surge de la proporción divina. En mi opinión, la propagación de las plantas y los actos progenitores de los animales están en la misma proporción". ^[91]

El psicólogo Adolf Zeising señaló que la proporción áurea apareció en la filotaxis y argumentó a partir de estos patrones en la naturaleza que la proporción áurea era una ley universal. ^[92] Zeising escribió en 1854 sobre una ley ortogenética universal de "luchar por la belleza y la plenitud tanto en el ámbito de la naturaleza como en el del arte". ^[93]

Sin embargo, algunos han argumentado que muchas manifestaciones aparentes de la proporción áurea en la naturaleza, especialmente en lo que respecta a las dimensiones animales, son ficticias. ^[94]

Física

El ferroimán de Ising casi unidimensional (niobato de cobalto) tiene 8 estados de excitación predichos (con simetría E 8 ), que cuando se probaron con dispersión de neutrones, mostraron que sus dos más bajos estaban en proporción áurea. Específicamente, estas transiciones de fase cuántica durante la excitación del espín, que ocurren a una temperatura cercana al cero absoluto, mostraron pares de torceduras en su fase ordenada para cambios de espín en su fase paramagnética ; revelando, justo debajo de su campo crítico , una dinámica de espín con modos agudos a bajas energías acercándose a la media dorada. ^[95] ${\textstyle {\ce {CoNb2O6}}}$

Mejoramiento

No existe ningún algoritmo general conocido para organizar un número determinado de nodos de manera uniforme en una esfera, para cualquiera de las varias definiciones de distribución uniforme (ver, por ejemplo, el problema de Thomson o el problema de Tammes ). Sin embargo, una aproximación útil resulta de dividir la esfera en bandas paralelas de igual área de superficie y colocar un nodo en cada banda en longitudes espaciadas por una sección áurea del círculo, es decir, este método se utilizó para organizar los 1500 espejos del estudio participativo estudiantil. satélite Starshine-3 . ^[96] ${\displaystyle 360^{\circ }/\varphi \approx 222.5^{\circ }.}$

La proporción áurea también es un elemento crítico para la búsqueda de la sección áurea .

Observaciones controvertidas

Ejemplos de observaciones controvertidas de la proporción áurea incluyen los siguientes:

A menudo se afirma erróneamente que las conchas de Nautilus tienen proporciones áureas.

• A menudo se afirma que proporciones específicas en los cuerpos de los vertebrados (incluidos los humanos) están en la proporción áurea; por ejemplo , se ha dicho que la proporción de los sucesivos huesos falángicos y metacarpianos (huesos de los dedos) se aproxima a la proporción áurea. Sin embargo, existe una gran variación en las medidas reales de estos elementos en individuos específicos, y la proporción en cuestión suele ser significativamente diferente de la proporción áurea. ^{[97] [98]}
• A menudo se afirma que las conchas de moluscos como el nautilo están en la proporción áurea. ^[99] El crecimiento de las conchas de los nautilos sigue una espiral logarítmica , y a veces se afirma erróneamente que cualquier espiral logarítmica está relacionada con la proporción áurea, ^[100] o, a veces, se afirma que cada nueva cámara tiene proporciones áureas en relación con la anterior. ^[101] Sin embargo, las mediciones de las conchas de nautilos no respaldan esta afirmación. ^[102]
• El historiador John Man afirma que tanto las páginas como el área de texto de la Biblia de Gutenberg estaban "basados ​​en la forma de la sección áurea". Sin embargo, según sus propias medidas, la relación entre el alto y el ancho de las páginas es ^[103] ${\displaystyle 1.45.}$
• Estudios de psicólogos, empezando por Gustav Fechner c.  1876 , ^[104] han sido ideados para probar la idea de que la proporción áurea desempeña un papel en la percepción humana de la belleza . Si bien Fechner encontró una preferencia por proporciones rectangulares centradas en la proporción áurea, los intentos posteriores de probar cuidadosamente tal hipótesis han sido, en el mejor de los casos, no concluyentes. ^{[105] [74]}
• Al invertir, algunos profesionales del análisis técnico utilizan la proporción áurea para indicar el soporte de un nivel de precios, o la resistencia a los aumentos de precios, de una acción o materia prima; Después de cambios significativos de precios hacia arriba o hacia abajo, supuestamente se encuentran nuevos niveles de soporte y resistencia en o cerca de precios relacionados con el precio inicial a través de la proporción áurea. ^[106] El uso de la proporción áurea en la inversión también está relacionado con patrones más complicados descritos por los números de Fibonacci (por ejemplo, el principio de onda de Elliott y el retroceso de Fibonacci ). Sin embargo, otros analistas de mercado han publicado análisis que sugieren que estos porcentajes y patrones no están respaldados por los datos. ^[107]

Pirámides egipcias

La gran pirámide de giza

Los piramidólogos han analizado que la Gran Pirámide de Giza (también conocida como Pirámide de Keops o Keops) tiene un triángulo de Kepler duplicado como sección transversal. Si esta teoría fuera cierta, la proporción áurea describiría la relación de distancias desde el punto medio de uno de los lados de la pirámide hasta su vértice, y desde el mismo punto medio hasta el centro de la base de la pirámide. Sin embargo, la imprecisión en la medición causada en parte por la eliminación de la superficie exterior de la pirámide hace imposible distinguir esta teoría de otras teorías numéricas de las proporciones de la pirámide, basadas en pi o en proporciones de números enteros. El consenso de los eruditos modernos es que las proporciones de esta pirámide no se basan en la proporción áurea, porque tal base sería inconsistente tanto con lo que se sabe sobre las matemáticas egipcias desde el momento de la construcción de la pirámide como con las teorías egipcias de arquitectura y proporción. utilizado en sus otras obras. ^[108]

El Partenón

Se supone que muchas de las proporciones del Partenón exhiben la proporción áurea, pero esto ha sido desacreditado en gran medida. ^[109]

Algunos dicen que la fachada del Partenón (c. 432 a. C.), así como elementos de su fachada y otros lugares, están circunscritos por rectángulos áureos. ^[110] Otros eruditos niegan que los griegos tuvieran alguna asociación estética con la proporción áurea. Por ejemplo, Keith Devlin dice: "Ciertamente, la afirmación tan repetida de que el Partenón de Atenas se basa en la proporción áurea no está respaldada por mediciones reales. De hecho, toda la historia sobre los griegos y la proporción áurea parece carecer de fundamento. " ^[111] Midhat J. Gazalé afirma que "No fue hasta Euclides... que se estudiaron las propiedades matemáticas de la proporción áurea". ^[112]

A partir de mediciones de 15 templos, 18 tumbas monumentales, 8 sarcófagos y 58 estelas funerarias desde el siglo V a.C. hasta el siglo II d.C., un investigador concluyó que la proporción áurea estaba totalmente ausente en la arquitectura griega del siglo V a.C. clásico, y casi ausente durante los siguientes seis siglos. ^[113] Fuentes posteriores como Vitruvio (siglo I a. C.) analizan exclusivamente proporciones que pueden expresarse en números enteros, es decir, proporcionales en contraposición a proporciones irracionales.

Arte Moderno

Albert Gleizes , Las baigneuses (1912)

La Sección de Oro ('Sección Dorada') fue un colectivo de pintores , escultores, poetas y críticos asociados al cubismo y al orfismo . ^[114] Activos desde 1911 hasta alrededor de 1914, adoptaron el nombre tanto para resaltar que el cubismo representaba la continuación de una gran tradición, en lugar de ser un movimiento aislado, como en homenaje a la armonía matemática asociada con Georges Seurat . ^[115] (Varios autores han afirmado que Seurat empleó la proporción áurea en sus pinturas, pero los escritos y pinturas de Seurat sugieren que empleó proporciones de números enteros simples y cualquier aproximación de la proporción áurea fue una coincidencia). [ ^116] Los cubistas observaron en sus armonías, la estructuración geométrica del movimiento y la forma, "la primacía de la idea sobre la naturaleza", "una absoluta claridad científica de concepción". ^[117] Sin embargo, a pesar de este interés general en la armonía matemática, es más difícil determinar si las pinturas presentadas en la célebre exposición del Salón de la Sección de Oro de 1912 utilizaron la proporción áurea en alguna composición. Livio, por ejemplo, afirma que no, ^[118] y Marcel Duchamp lo dijo en una entrevista. ^[119] Por otro lado, un análisis sugiere que Juan Gris hizo uso de la proporción áurea en la composición de obras que probablemente, pero no definitivamente, se mostraron en la exposición. ^{[119] [120]} El historiador de arte Daniel Robbins ha argumentado que además de hacer referencia al término matemático, el nombre de la exposición también se refiere al grupo anterior Bandeaux d'Or , con el que Albert Gleizes y otros ex miembros de la Abbaye de Créteil habían estado involucrado. ^[121]

Se dice que Piet Mondrian utilizó ampliamente la sección áurea en sus pinturas geométricas, ^[122] aunque otros expertos (incluido el crítico Yve-Alain Bois ) han desacreditado estas afirmaciones. ^{[74] [123]}

Ver también

• Lista de obras diseñadas con la proporción áurea
• media metálica
• Relación plástica
• Geometría sagrada
• Proporción súper áurea
• proporción de plata

Referencias

Notas explicativas

1. Si se elimina la restricción de que cada uno sea mayor que cero, entonces en realidad hay dos soluciones, una positiva y otra negativa, para esta ecuación. se define como la solución positiva. La solución negativa es La suma de las dos soluciones es y el producto de las dos soluciones es . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle -\varphi ^{-1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}{\bigr )}.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$
2. Otros nombres incluyen media áurea , sección áurea , ^[4] talla áurea , ^[5] proporción áurea , número áureo , ^[6] sección medial y sección divina .
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     Rossi, Corinna (2004). Arquitectura y Matemáticas en el Antiguo Egipto. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 67–68. no hay evidencia directa en ninguna fuente matemática escrita del antiguo Egipto de ningún cálculo aritmético o construcción geométrica que pueda clasificarse como la Sección Áurea... la convergencia con , y él mismo como un número, no encajan con las fuentes matemáticas existentes del Reino Medio. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$; véase también una discusión extensa sobre múltiples teorías alternativas sobre la forma de la pirámide y otra arquitectura egipcia, págs. 7–56.

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Trabajos citados

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• Livio, Mario (2002). La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . Nueva York: Libros de Broadway. ISBN 9780767908153.
• Posamentier, Alfred S .; Lehmann, Ingmar (2011). La gloriosa proporción áurea. Libros de Prometeo . ISBN 9-781-61614-424-1.

Otras lecturas

• Doczi, György (1981). El poder de los límites: armonías proporcionales en la naturaleza, el arte y la arquitectura . Boston: Shambhala.
• Hargittai, István, ed. (1992). Quíntuple Simetría . Científico mundial. ISBN 9789810206000.
• Huntley, HE (1970). La divina proporción: un estudio sobre la belleza matemática . Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-22254-7.
• Schaaf, William L., ed. (1967). La medida de oro (PDF) . Serie de reimpresiones del grupo de estudio de matemáticas escolares de California. Universidad Stanford. Archivado (PDF) desde el original el 25 de abril de 2015.
• Scimone, Aldo (1997). La Sección Áurea. Historia cultural de un leitmotiv della Matematica . Palermo: Sigma Edizioni. ISBN 978-88-7231-025-0.
• Walser, Hans (2001) [ Der Goldene Schnitt 1993]. La Sección Dorada . Peter Hilton trad. Washington, DC: Asociación Matemática de América. ISBN 978-0-88385-534-8.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Proporción áurea". MundoMatemático .
• Bogomolny, Alejandro (2018). "Proporción áurea en geometría". Cortar el nudo .
• Nudo, Ron. "La proporción de la sección áurea: Phi".Información y actividades a cargo de un profesor de matemáticas.
• El mito que no desaparecerá, de Keith Devlin , que aborda múltiples acusaciones sobre el uso de la proporción áurea en la cultura.
• Espirales doradas espurias recopiladas por Randall Munroe
• Conferencia de YouTube sobre el problema de los ratones de Zenón y las espirales logarítmicas