Sus métodos proporcionaron una perspectiva completamente nueva y sus resultados se encuentran entre los más importantes de las matemáticas.Al principio, Dirichlet acudió a la escuela pública, más tarde, a la escuela privada con el fin de convertirse en mercader, profesión que aborrecía, y puesto que antes de los 12 años ya mostraba un gran interés por las matemáticas, pidió permiso a sus padres para continuar con su formación académica.Estos accedieron enviándolo en 1817 al Gymnasium en Bonn, bajo la supervisión de Peter Joseph Elvenich.Le interesaban particularmente, los grandes acontecimientos históricos, como la Revolución Francesa, y los asuntos públicos, sobre los cuales opinaba cuando menos, desde un punto de vista liberal, que probablemente le fuera inculcado por sus progenitores.Después de un año, Dirichlet dejó el instituto con tan sólo un certificado dado que sus carencias al hablar Latín fluido no le permitían obtener el Abitur.Por el contrario, las condiciones en Francia eran infinitamente mejores dado que eminencias científicas como Laplace, Legendre, Fourier, Poisson y Cauchy se encontraban activos en París.Gracias a esta tarea, Dirichlet por fin podía prescindir del respaldo financiero de sus progenitores.Esta elección lo obligó a mantenerse de forma paralela como profesor en la escuela militar y en la universidad.Durante esos años, Dirichlet conoció a Jacobi y se convirtieron en amigos cercanos, ayudándose mutuamente en numerables ocasiones.Fueron estudiantes suyos Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker y Rudolf Lipschitz.La fórmula, que Jacobi calificó como un resultado "que tocaba lo máximo de la perspicacia humana", abrió el camino a resultados similares relativos a cuerpos numéricos más generales.Publicó importantes contribuciones al último teorema de Fermat, para el que demostró los casos n = 5 y n = 14, y a la ley de reciprocidad bicuadrática.Más tarde Riemann denominó a este planteamiento el principio de Dirichlet, aunque sabía que también había sido utilizado por Gauss y por Lord Kelvin.[8] Dirichlet también dio conferencias sobre teoría de la probabilidad y mínimos cuadrados, introduciendo algunos métodos y resultados originales, en particular para teoremas del límite y una mejora del método de Laplace de aproximación relacionada con el teorema del límite central.
Dirichlet encontró y demostró las condiciones de convergencia para la descomposición de series de Fourier. En la imagen: las cuatro primeras aproximaciones de la serie de Fourier para una
onda cuadrada
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