El teorema central del límite o teorema del límite central indica que, en condiciones muy generales, si«se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss).Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.[1][2] El nombre viene de un documento científico escrito por George Pólya en 1920, titulado Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem[3] [Sobre el «teorema del límite» (Grenzwertsatz) central del cálculo probabilístico y el problema de los momentos], por lo que la denominación más fiel a la original sería teorema central del límite.Las versiones anteriores del teorema se remontan a 1811, pero en su forma general moderna, este resultado fundamental en la teoría de la probabilidad se enunció con precisión en una fecha tan tardía como 1920,[4] sirviendo así de puente entre la teoría de la probabilidad clásica y la moderna.son muestras aleatorias extraídas de una población con media globalPor ejemplo, supongamos que se obtiene una muestra que contiene muchas observaciones, cada observación se genera aleatoriamente de forma que no depende de los valores de las demás observaciones, y que se calcula la media aritmética de los valores observados.Si este procedimiento se realiza muchas veces, el teorema del límite central dice que la distribución de probabilidad de la media se aproximará mucho a una distribución normal.El teorema del límite central tiene diversas variantes.En su forma común, las variables aleatorias deben ser independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.).En sus variantes, la convergencia de la media a la distribución normal también se produce para distribuciones no idénticas o para observaciones no independientes, si cumplen ciertas condiciones.obtenemos es decir, la distribución normal estándar, denotada porvariables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con una mediacomo para que la media de la nueva variable sea igual ay la desviación estándar sea igual aPor la ley de los grandes números, los promedios muestrales convergen casi seguro (y por tanto también convergen en probabilidad) al valor esperadoEl teorema clásico del límite central describe el tamaño y la forma de distribución de las fluctuaciones estocásticas alrededor del número deterministase hace mayor, la distribución de la diferencia entre la media muestral) se aproxima a la distribución normal con media 0 y varianzase aproxima arbitrariamente a la distribución normal con mediaLa utilidad del teorema es que la distribución dese aproxima a infinito, las variables aleatoriasdenota el límite superior mínimo (o supremum) del conjunto.[8] De manera formal y compacta el teorema enuncia[9] Seanconverge hacia la función de distribución normal estándar cuando, es decir puesto que son equivalentes (sólo se divide tanto numerador como denominador entre, excepto la existencia de media y varianza.A continuación se presentan los dos casos por separado.Este caso corresponde trivialmente a una función degenerada tipo delta de Dirac cuya función de distribución viene dada por: En este caso resulta que la variabletrivialmente tiene la misma distribución que cada una de las variables independientes.
Convergencia hacia la distribución normal de una suma de variables aleatorias independientes distribuidas binomialmente.
Cualquiera que sea la forma de la distribución de la población, la distribución muestral tiende a una gaussiana, y su dispersión viene dada por el teorema del límite central.
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