Felix Hausdorff ( / ˈh aʊ s d ɔːr f / HOWS -dorf , / ˈh aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ; [1] 8 de noviembre de 1868 - 26 de enero de 1942 [ 2 ] ) fue un matemático alemán , seudónimo Paul Mongré ( à mon gré (Fr.) = "según mi gusto"), [3] que es considerado uno de los fundadores de la topología moderna y que contribuyó significativamente a la teoría de conjuntos , la teoría descriptiva de conjuntos , la teoría de la medida y el análisis funcional .
La vida se volvió difícil para Hausdorff y su familia después de la Noche de los Cristales Rotos de 1938. Al año siguiente inició gestiones para emigrar a los Estados Unidos, pero no pudo conseguir una beca de investigación. El 26 de enero de 1942, Felix Hausdorff, junto con su esposa y su cuñada, se suicidó tomando una sobredosis de veronal , en lugar de cumplir con las órdenes alemanas de trasladarse al campo de Endenich, y sufrir allí las probables consecuencias, sobre las que no se hacía ilusiones.
El padre de Hausdorff, el comerciante judío Louis Hausdorff (1843-1896), se trasladó con su joven familia a Leipzig en el otoño de 1870 y trabajó durante un tiempo en diversas empresas, entre ellas una fábrica de artículos de lino y algodón. Era un hombre culto y se había convertido en morenu a la edad de 14 años. Escribió varios tratados, entre ellos una extensa obra sobre las traducciones arameas de la Biblia desde la perspectiva de la ley talmúdica .
La madre de Hausdorff, Hedwig (1848-1902), a la que también se hace referencia en varios documentos como Johanna, provenía de la familia judía Tietz. De otra rama de esta familia provenía Hermann Tietz , fundador de los primeros grandes almacenes y, más tarde, copropietario de la cadena de grandes almacenes llamada "Hermann Tietz". Durante el período de la dictadura nazi, el nombre fue "arianizado" a Hertie .
Entre 1878 y 1887, Felix Hausdorff asistió a la Escuela Nicolai de Leipzig, un centro que tenía fama de ser un semillero de educación humanística. Fue un alumno excelente, durante muchos años fue el líder de la clase y solía recitar poemas escritos por él mismo en latín o en alemán en las celebraciones escolares.
En los últimos años de la escuela secundaria, la elección de una materia de estudio principal no fue fácil para Hausdorff. Magda Dierkesmann, que solía ser invitada en la casa de Hausdorff entre los años 1926 y 1932, contó en 1967 que:
Su versátil talento musical era tan grande que sólo la insistencia de su padre le hizo desistir de su plan de estudiar música y convertirse en compositor.
Decidió estudiar ciencias naturales y en su promoción de 1887 fue el único que obtuvo la nota más alta posible.
Entre 1887 y 1891, Hausdorff estudió matemáticas y astronomía , principalmente en su ciudad natal, Leipzig, interrumpido por un semestre en Friburgo (verano de 1888) y Berlín (invierno de 1888/1889). Los testimonios supervivientes de otros estudiantes lo describen como un joven extremadamente polifacético e interesado, que, además de las clases de matemáticas y astronomía, asistía a clases de física , química y geografía , y también a clases de filosofía e historia de la filosofía , así como a cuestiones de lengua , literatura y ciencias sociales . En Leipzig asistió a clases sobre historia de la música del musicólogo Oscar Paul . Su temprana afición por la música duró toda la vida; en casa de Hausdorff celebraba impresionantes veladas musicales con el propietario al piano, según las declaraciones de testigos realizadas por varios participantes. Ya siendo estudiante en Leipzig, era un admirador y conocedor de la música de Richard Wagner .
En los últimos semestres de sus estudios, Hausdorff mantuvo una estrecha relación con Heinrich Bruns (1848-1919), profesor de astronomía y director del observatorio de la Universidad de Leipzig. Bajo su supervisión, Hausdorff se graduó en 1891 con un trabajo sobre la teoría de la refracción astronómica de la luz en la atmósfera. A continuación, publicó dos publicaciones sobre el mismo tema y, en 1895, también publicó su Habilitation con una tesis sobre la absorción de la luz en la atmósfera. Estos primeros trabajos astronómicos de Hausdorff, a pesar de su excelente formulación matemática, acabaron teniendo poca importancia para la comunidad científica. Por un lado, más tarde se demostró que la idea subyacente de Bruns no era viable (se necesitaban observaciones de refracción cerca del horizonte astronómico y, como demostraría Julius Bauschinger, no se podían obtener con la precisión requerida). Además, el progreso en la medición directa de datos atmosféricos (a partir de ascensos en globos meteorológicos ) ha hecho innecesaria la minuciosa precisión de estos datos a partir de observaciones de refracción. Durante el tiempo transcurrido entre la defensa de su doctorado y su habilitación, Hausdorff completó su requisito militar de un año y trabajó durante dos años como computadora humana en el observatorio de Leipzig.
Tras su habilitación, Hausdorff se convirtió en profesor de la Universidad de Leipzig, donde comenzó a impartir docencia en una amplia variedad de áreas matemáticas. Además de la docencia y la investigación en matemáticas, también persiguió sus inclinaciones literarias y filosóficas. Hombre de intereses variados, a menudo se asoció con numerosos escritores, artistas y editores famosos, como Hermann Conradi, Richard Dehmel , Otto Erich Hartleben , Gustav Kirstein , Max Klinger , Max Reger y Frank Wedekind . Los años de 1897 a 1904 marcan el punto culminante de su creatividad literaria y filosófica, durante los cuales se publicaron 18 de sus 22 obras seudónimas, entre ellas un libro de poesía, una obra de teatro, un libro epistemológico y un volumen de aforismos .
En 1899, Hausdorff se casó con Charlotte Goldschmidt, hija del médico judío Siegismund Goldschmidt. Su madrastra fue la famosa sufragista y maestra de preescolar Henriette Goldschmidt . La única hija de Hausdorff, Lenore (Nora), nació en 1900; sobrevivió a la era del nacionalsocialismo y disfrutó de una larga vida, muriendo en Bonn en 1991.
En diciembre de 1901, Hausdorff fue nombrado profesor adjunto en la Universidad de Leipzig. Un dato que se repite a menudo , según el cual Hausdorff recibió una llamada de Gotinga y la rechazó, no se puede verificar y es muy probable que sea erróneo. Después de examinar la solicitud de Hausdorff para Leipzig, el decano Kirchner se sintió obligado a hacer la siguiente adición al voto muy positivo de sus colegas, escrito por Heinrich Bruns:
La facultad, sin embargo, se considera obligada a informar al Ministerio Real que la solicitud antes mencionada, considerada el 2 de noviembre de este año cuando se había celebrado una reunión de la facultad, no fue aceptada por todos, sino por 22 votos contra 7. La minoría se opuso, porque el Dr. Hausdorff es de la fe mosaica. [4]
Esta cita pone de relieve el antisemitismo manifiesto que existía, que se acentuó en todo el Reich alemán especialmente después del desplome de la bolsa en 1873. Leipzig era un foco de sentimiento antisemita, especialmente entre el alumnado, lo que bien podría ser la razón por la que Hausdorff no se sentía a gusto en Leipzig. Otro factor que contribuyó a ello pudo haber sido el estrés debido a la postura jerárquica de los profesores de Leipzig.
Después de su habilitación, Hausdorff escribió otros trabajos sobre óptica , geometría no euclidiana y sistemas numéricos hipercomplejos , así como dos artículos sobre teoría de la probabilidad . Sin embargo, su principal área de trabajo pronto se convirtió en la teoría de conjuntos, especialmente la teoría de conjuntos ordenados . Inicialmente, fue solo por interés filosófico que Hausdorff comenzó a estudiar el trabajo de Georg Cantor , comenzando alrededor de 1897, pero ya en 1901 Hausdorff comenzó a dar conferencias sobre teoría de conjuntos. La suya fue una de las primeras conferencias sobre teoría de conjuntos; solo las conferencias de Ernst Zermelo en el Göttingen College durante el invierno de 1900/1901 fueron anteriores. Ese mismo año, publicó su primer artículo sobre tipos de orden en el que examinó una generalización de los buenos ordenamientos llamados tipos de orden graduado, donde un orden lineal se gradúa si no hay dos de sus segmentos que compartan el mismo tipo de orden . Generalizó el teorema de Cantor-Bernstein , que decía que la colección de tipos de orden contables tiene la cardinalidad del continuo y demostró que la colección de todos los tipos graduados de una cardinalidad idempotente m tiene una cardinalidad de 2 m . [5]
Para el semestre de verano de 1910, Hausdorff fue nombrado profesor de la Universidad de Bonn . Allí comenzó una serie de conferencias sobre la teoría de conjuntos, que revisó y amplió sustancialmente para el semestre de verano de 1912.
En el verano de 1912 comenzó a trabajar en su obra maestra, el libro Fundamentos de la teoría de conjuntos , que terminó en Greifswald , donde Hausdorff había sido nombrado profesor titular para el semestre de verano de 1913, y se publicó en abril de 1914.
La Universidad de Greifswald era la más pequeña de las universidades prusianas. El instituto matemático también era pequeño; durante el verano de 1916 y el invierno de 1916/17, Hausdorff era el único matemático en Greifswald. Esto significaba que estaba casi completamente ocupado en la enseñanza de cursos básicos. Por lo tanto, su carrera académica mejoró sustancialmente cuando Hausdorff fue designado en 1921 en Bonn. Allí tuvo libertad para enseñar sobre una gama más amplia de temas y a menudo dio conferencias sobre sus últimas investigaciones. En el semestre de verano de 1923 dio una conferencia particularmente notable sobre teoría de la probabilidad (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64), en la que basó la teoría de la probabilidad en la teoría axiomática de la teoría de la medida, diez años antes de los "Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad" de A. N. Kolmogorov (reimpreso íntegramente en las obras reunidas, volumen V). En Bonn, Hausdorff fue amigo y colega de Eduard Study y, más tarde, de Otto Toeplitz , ambos matemáticos destacados.
Tras la toma del poder por el Partido Nacionalsocialista , el antisemitismo se convirtió en doctrina de Estado. En un principio, Hausdorff no se vio afectado por la " Ley de Restauración del Servicio Civil Profesional ", aprobada en 1933, ya que había sido funcionario público alemán desde antes de 1914. Sin embargo, no se libró del todo, ya que una de sus clases fue interrumpida por funcionarios estudiantiles nacionalsocialistas. En el semestre de invierno de 1934/1935, se celebró una sesión de trabajo de la Unión de Estudiantes Nacionalsocialistas Alemanes (NSDStB) en la Universidad de Bonn, que eligió "Raza y etnicidad" como tema del semestre. Hausdorff canceló su curso de Cálculo III del semestre de invierno de 1934/1935 el 20 de noviembre y se supone que la elección del tema estuvo relacionada con la cancelación de la clase de Hausdorff, ya que en su larga carrera como profesor universitario siempre había impartido sus clases hasta el final.
El 31 de marzo de 1935, tras varias idas y venidas, Hausdorff recibió finalmente el estatus de emérito. No hubo palabras de agradecimiento por sus 40 años de exitosa labor en el sistema de educación superior alemán.
Su legado académico muestra que Hausdorff seguía trabajando matemáticamente durante estos tiempos cada vez más difíciles y seguía de cerca los desarrollos de interés actuales. Escribió, además de la edición ampliada de su trabajo sobre teoría de conjuntos, siete obras sobre topología y teoría descriptiva de conjuntos. Estas fueron publicadas en revistas polacas: una en Studia Mathematica , las otras en Fundamenta Mathematicae . En esta época recibió el apoyo de Erich Bessel-Hagen , un amigo leal de la familia Hausdorff que obtenía libros y revistas de la biblioteca académica, a la que Hausdorff ya no podía entrar.
Se sabe mucho sobre las humillaciones a las que se vieron expuestos Hausdorff y su familia en particular después de la Noche de los Cristales Rotos en 1938. Hay muchas fuentes, incluidas las cartas de Bessel-Hagen. [6]
En 1939, Hausdorff solicitó en vano al matemático Richard Courant una beca de investigación para poder emigrar a los Estados Unidos. A mediados de 1941, los judíos de Bonn comenzaron a ser deportados al «Monasterio de la Adoración Eterna» en Endenich , Bonn , del que habían sido expulsadas las monjas. Los transportes a los campos de exterminio en el este se produjeron más tarde. Después de que Hausdorff, su esposa y la hermana de su esposa, Edith Pappenheim (que vivía con ellos), recibieran la orden en enero de 1942 de trasladarse al campo de Endenich, los tres se suicidaron el 26 de enero de 1942 tras tomar una sobredosis de veronal . [7] Su lugar de descanso final se encuentra en el cementerio Poppelsdorf en Bonn. En el tiempo que transcurrió entre su internamiento en campos temporales y su suicidio, entregó su Nachlass escrito a mano al egiptólogo y presbítero Hans Bonnet, quien salvó a tantos de ellos como pudo, incluso a pesar de que una bomba destruyó su casa.
Algunos de sus compañeros judíos tal vez se hacían ilusiones sobre el campo de concentración de Endenich, pero Hausdorff no. En la finca de Bessel-Hagen, E. Neuenschwander descubrió la carta de despedida que Hausdorff escribió a su abogado Hans Wollstein, que también era judío. [8] [9] He aquí el principio y el final de la carta:
¡Querido amigo Wollstein!
Si recibes estas líneas, nosotros (los tres) hemos resuelto el problema de una manera diferente, de la que tú has intentado constantemente disuadirnos. La sensación de seguridad que has predicho para nosotros una vez que superemos las dificultades de la mudanza, todavía se nos escapa; por el contrario, ¡Endenich puede que ni siquiera sea el final!
Lo que ha ocurrido en los últimos meses contra los judíos evoca un temor justificado de que no nos dejarán vivir para ver una situación más llevadera.
Después de agradecer a sus amigos y expresar con gran serenidad sus últimos deseos respecto a su funeral y su testamento, Hausdorff escribe:
Lamento que te causemos aún más esfuerzo más allá de la muerte, y estoy convencido de que estás haciendo lo que puedes hacer (que quizás no es mucho). ¡Perdónanos nuestra deserción! Deseamos que tú y todos nuestros amigos experimentéis tiempos mejores.
Tu verdaderamente devoto
Félix Hausdorff
Lamentablemente, este deseo no se cumplió: el abogado de Hausdorff, Wollstein, fue asesinado en Auschwitz .
La biblioteca de Hausdorff fue vendida por su yerno y único heredero, Arthur König. Las partes del Nachlass de Hausdorff que Hans Bonnet pudo salvar se encuentran ahora en la Universidad y en la Biblioteca Estatal de Bonn. El Nachlass está catalogado. [10]
El volumen de aforismos de Hausdorff, publicado en 1897, fue su primera obra publicada bajo el seudónimo de Paul Mongré. Se titula Sant' Ilario: Pensamientos desde el paisaje de Zaratustra . El subtítulo juega en primer lugar con el hecho de que Hausdorff había terminado su libro durante una estancia de recuperación en la costa de Liguria, cerca de Génova, y que en esta misma zona, Friedrich Nietzsche escribió las dos primeras partes de Así habló Zaratustra ; también alude a su cercanía espiritual con Nietzsche. En un artículo sobre Sant' Ilario en el semanario Die Zukunft , Hausdorff reconoció in expressis verbis su deuda con Nietzsche.
Hausdorff no intentaba copiar ni superar a Nietzsche. "No hay rastro de la imitación de Nietzsche", dice una reseña contemporánea. Sigue a Nietzsche en un intento de liberar el pensamiento individual, de tomarse la libertad de cuestionar los estándares obsoletos. Hausdorff mantuvo una distancia crítica con respecto a las últimas obras de Nietzsche. En su ensayo sobre el libro La voluntad de poder, compilado a partir de notas dejadas en el Archivo Nietzsche, dice:
En Nietzsche brilla un fanatismo. Su moral de la procreación, erigida sobre nuestros actuales fundamentos biológicos y fisiológicos del conocimiento, podría ser un escándalo histórico mundial en cuyo marco la Inquisición y los procesos de brujería se desvanecen en aberraciones inofensivas.
Su criterio crítico lo tomó del propio Nietzsche,
Del amable, modesto y comprensivo Nietzsche y del espíritu libre del escéptico fresco, libre de dogmas y no sistemático Nietzsche...
En 1898, bajo el seudónimo de Paul Mongré, Hausdorff publicó un experimento epistemológico titulado El caos en la selección cósmica . La crítica de la metafísica que se plantea en este libro tiene su punto de partida en la confrontación de Hausdorff con la idea de Nietzsche del eterno retorno. En definitiva, se trata de destruir cualquier tipo de metafísica. Del mundo mismo, del núcleo trascendente del mundo —como dice Hausdorff— no sabemos nada ni podemos saber nada. Debemos asumir “el mundo mismo” como indeterminado e indeterminable, como mero caos. El mundo de nuestra experiencia, nuestro cosmos, es el resultado de las selecciones que hemos hecho y que siempre haremos instintivamente según nuestra capacidad de comprensión. Visto desde ese caos, todos los demás marcos, otros cosmos, son concebibles. Es decir, desde el mundo de nuestro cosmos no se puede sacar ninguna conclusión sobre el mundo trascendente.
En 1904, en la revista Der Neue Rundschau apareció la obra de teatro de Hausdorff, la obra de un acto El médico en su honor . Se trata de una sátira burda sobre el duelo y sobre los conceptos tradicionales de honor y nobleza del cuerpo de oficiales prusianos, que en la sociedad burguesa en desarrollo eran cada vez más anacrónicos. El médico en su honor fue la obra literaria más popular de Hausdorff. Entre 1914 y 1918 se representaron numerosas veces en más de treinta ciudades. Hausdorff escribió más tarde un epílogo para la obra, pero no se representó en ese momento. Recién en 2006 este epílogo tuvo su estreno en la reunión anual de la Sociedad Matemática Alemana en Bonn.
Además de las obras mencionadas anteriormente, Hausdorff también escribió numerosos ensayos que aparecieron en algunas de las principales revistas literarias de la época. También escribió un libro de poemas, Éxtasis (1900). Algunos de sus poemas fueron musicalizados por el compositor austríaco Joseph Marx .
La entrada de Hausdorff en un estudio exhaustivo de los conjuntos ordenados fue motivada en parte por el problema del continuo de Cantor: ¿dónde debería colocarse el número cardinal en la secuencia ? En una carta a Hilbert del 29 de septiembre de 1904, habla de este problema: "me ha atormentado casi como una monomanía ". [11] Hausdorff vio una nueva estrategia para atacar el problema en el conjunto . Cantor había sospechado , pero sólo había podido demostrar que . Mientras que es el "número" de posibles buenos ordenamientos de un conjunto contable , había surgido ahora como el "número" de todos los posibles órdenes de tal cantidad. Era natural, por tanto, estudiar sistemas que son más específicos que los órdenes, pero más generales que los buenos ordenamientos. Hausdorff hizo exactamente eso en su primer volumen de 1901, con la publicación de estudios teóricos de "conjuntos graduados". Sin embargo, sabemos por los resultados de Kurt Gödel y Paul Cohen que esta estrategia para resolver el problema del continuo es tan ineficaz como la estrategia de Cantor, que apuntaba a generalizar el principio de Cantor-Bendixson desde conjuntos cerrados a conjuntos incontables generales.
En 1904 Hausdorff publicó la recursión que lleva su nombre, que establece que para cada ordinal no límite tenemos
Esta fórmula fue, junto con una noción posterior llamada cofinalidad introducida por Hausdorff, la base para todos los resultados posteriores para la exponenciación de Aleph . El excelente conocimiento de Hausdorff de las fórmulas de recurrencia de este tipo también lo capacitó para descubrir un error en la conferencia de Julius König en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1904 en Heidelberg . Allí König había argumentado que el continuo no puede estar bien ordenado, por lo que su cardinalidad no es un Aleph en absoluto, y por lo tanto causó un gran revuelo. El hecho de que fuera Hausdorff quien aclarara el error tiene un significado especial, ya que una falsa impresión de los eventos en Heidelberg perduró durante más de 50 años. [12]
En los años 1906-1909 Hausdorff realizó su trabajo pionero y fundamental sobre los conjuntos ordenados. De importancia fundamental para toda la teoría es el concepto de cofinalidad , que Hausdorff introdujo. Un ordinal se llama regular si es cofinal con cualquier ordinal menor; de lo contrario, se llama singular. La pregunta de Hausdorff sobre si existen números regulares que indexen un ordinal límite fue el punto de partida para la teoría de los cardinales inaccesibles. Hausdorff ya había notado que tales números, si existen, deben ser de "tamaño exorbitante". [13]
También es de importancia fundamental el siguiente teorema de Hausdorff: para cada conjunto denso ilimitado y ordenado hay dos números iniciales regulares determinados de manera única , de modo que sea cofinal con y coinicial con (donde * denota el orden inverso). Este teorema proporciona, por ejemplo, una técnica para caracterizar elementos y espacios en conjuntos ordenados.
Si es un conjunto predeterminado de caracteres (elementos y espacios en blanco), surge la pregunta de si existen conjuntos ordenados cuyo conjunto de caracteres sea exactamente . Se puede encontrar fácilmente una condición necesaria para , pero Hausdorff también pudo demostrar que esta condición es suficiente. Para ello se necesita un rico reservorio de conjuntos ordenados, que Hausdorff también pudo crear con su teoría de productos y potencias generales. [14] En este reservorio se pueden encontrar estructuras interesantes como los tipos normales de Hausdorff, en relación con los cuales Hausdorff formuló por primera vez la hipótesis generalizada del continuo . Los conjuntos de Hausdorff formaron el punto de partida para el estudio de la importante teoría modelo de la estructura saturada . [15]
Los productos generales y las potencias de cardinalidades de Hausdorff lo llevaron a estudiar el concepto de conjunto parcialmente ordenado. La cuestión de si cualquier subconjunto ordenado de un conjunto parcialmente ordenado está contenido en un subconjunto ordenado máximo fue respondida positivamente por Hausdorff utilizando el teorema de buen orden. Este es el principio maximalista de Hausdorff , que se desprende del teorema de buen orden o del axioma de elección, y como se demostró, también es equivalente al axioma de elección. [16]
En un artículo de 1908, Arthur Moritz Schoenflies escribió en su informe sobre la teoría de conjuntos que la teoría más reciente de conjuntos ordenados (es decir, la que surgió después de las extensiones de Cantor) se debía casi exclusivamente a Hausdorff. [17]
Según las nociones anteriores, la teoría de conjuntos incluía no sólo la teoría general de conjuntos y la teoría de conjuntos de puntos, sino también la teoría de la dimensión y la medida. El libro de texto de Hausdorff fue el primero en presentar toda la teoría de conjuntos en este sentido amplio, de manera sistemática y con pruebas completas. Hausdorff era consciente de la facilidad con la que la mente humana puede equivocarse al mismo tiempo que busca el rigor y la verdad, por lo que en el prefacio de su obra promete:
…ser lo más económicos posible con el privilegio humano del error.
Este libro fue mucho más allá de su magistral descripción de conceptos ya conocidos. También contenía una serie de importantes contribuciones originales del autor.
Los primeros capítulos tratan de los conceptos básicos de la teoría general de conjuntos. En el comienzo, Hausdorff ofrece un álgebra de conjuntos detallada con algunos conceptos nuevos e innovadores (cadena de diferencias, anillos de conjuntos y cuerpos de conjuntos, y sistemas de conjuntos). Los párrafos introductorios sobre los conjuntos y sus conexiones incluyen, por ejemplo, la noción de funciones en la teoría de conjuntos moderna. Los capítulos 3 a 5 tratan la teoría clásica de los números cardinales, los tipos de orden y los ordinales, y en el sexto capítulo "Relaciones entre conjuntos ordenados y bien ordenados" Hausdorff presenta, entre otras cosas, los resultados más importantes de su propia investigación sobre conjuntos ordenados.
En los capítulos dedicados a los "conjuntos puntuales" (capítulos topológicos), Hausdorff desarrolló por primera vez, basándose en los axiomas de vecindad conocidos, una teoría sistemática de los espacios topológicos, a la que añadió además el axioma de separación que más tarde recibió su nombre. Esta teoría surge de una síntesis exhaustiva de los planteamientos anteriores de otros matemáticos y de las propias reflexiones de Hausdorff sobre el problema del espacio. Los conceptos y teoremas de la teoría clásica de conjuntos puntuales se trasladan, en la medida de lo posible, al caso general y, de este modo, pasan a formar parte de la recién creada topología general o de teoría de conjuntos. Pero Hausdorff no sólo realizó este "trabajo de traducción", sino que también desarrolló métodos básicos de construcción de la topología, como la formación del núcleo (núcleo abierto, núcleo autodenso ) y la formación de capas ( clausura ), y analiza la importancia fundamental del concepto de conjunto abierto (que él llama "área") y del concepto de compacidad introducido por Fréchet. También fundó y desarrolló la teoría del conjunto conexo, particularmente a través de la introducción de los términos "componente" y "cuasi-componente".
Con el primer axioma de numerabilidad de Hausdorff, y eventualmente con el segundo, los espacios considerados se fueron especializando gradualmente. Una gran clase de espacios que satisfacen el primer axioma de numerabilidad son los espacios métricos . Fueron introducidos en 1906 por Fréchet bajo el nombre de "clases (E)". El término "espacio métrico" proviene de Hausdorff. En Principles , desarrolló la teoría de los espacios métricos y la enriqueció sistemáticamente mediante una serie de nuevos conceptos: métrica de Hausdorff , completa , acotación total , -conectividad, conjuntos reducibles. El trabajo de Fréchet no es particularmente famoso; solo a través de Principles de Hausdorff los espacios métricos se convirtieron en conocimiento común para los matemáticos.
El capítulo sobre ilustraciones y el capítulo final de Principios sobre la teoría de la medida y la integración se enriquecen con la generalidad del material y la originalidad de la presentación. La mención de Hausdorff de la importancia de la teoría de la medida para la probabilidad tuvo un gran efecto histórico, a pesar de su lacónica brevedad. En este capítulo se encuentra la primera prueba correcta de la ley fuerte de los grandes números de Émile Borel . Finalmente, el apéndice contiene el resultado más espectacular de todo el libro, a saber, el teorema de Hausdorff de que no se puede definir un volumen para todos los subconjuntos acotados de para . La prueba se basa en la descomposición en bolas paradójica de Hausdorff , cuya producción requiere el axioma de elección. [18]
Durante el siglo XX, se convirtió en la norma construir teorías matemáticas sobre la base de la teoría de conjuntos axiomática. La creación de teorías generalizadas fundadas axiomáticamente, como la topología general, sirvió, entre otras cosas, para distinguir el núcleo estructural común para varios casos o regiones específicos y luego establecer una teoría abstracta, que contenía todas estas partes como casos especiales. Esto trajo consigo un gran éxito en forma de simplificación y armonización, y en última instancia trajo consigo una economía de pensamiento. El propio Hausdorff destacó este aspecto en los Principios . En el capítulo topológico, los conceptos básicos son metodológicamente un esfuerzo pionero, y allanaron el camino para el desarrollo de las matemáticas modernas.
Los principios de la teoría de conjuntos aparecieron en abril de 1914, en vísperas de la Primera Guerra Mundial, que afectó dramáticamente la vida científica en Europa. En estas circunstancias, los efectos del libro de Hausdorff sobre el pensamiento matemático no se verían hasta cinco o seis años después de su aparición. Después de la guerra, una nueva generación de jóvenes investigadores se propuso ampliar las abundantes sugerencias que se incluían en esta obra. Sin duda, la topología fue el foco principal de atención. La revista Fundamenta Mathematicae , fundada en Polonia en 1920, jugó un papel especial en la recepción de las ideas de Hausdorff. Fue una de las primeras revistas matemáticas con especial énfasis en la teoría de conjuntos, la topología, la teoría de funciones reales, la teoría de la medida y la integración, el análisis funcional, la lógica y los fundamentos de las matemáticas. En todo este espectro, se puso un enfoque especial en la topología. Los Principios de Hausdorff fueron citados en el primer volumen de Fundamenta Mathematicae y, a través del recuento de citas, su influencia continuó a un ritmo notable. De las 558 obras (sin contar las tres del propio Hausdorff) que aparecieron en los primeros veinte volúmenes de Fundamenta Mathematicae desde 1920 hasta 1933, 88 citan Principios . También hay que tener en cuenta el hecho de que, a medida que las ideas de Hausdorff se hicieron cada vez más comunes, también se utilizaron en una serie de obras que no las citaban explícitamente.
La escuela topológica rusa, fundada por Paul Alexandroff y Paul Urysohn , se basó en gran medida en los Principios de Hausdorff . Esto se demuestra por la correspondencia que sobrevivió en Nachlass de Hausdorff con Urysohn, y especialmente en Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes de Alexandroff y Urysohn , [19] una obra del tamaño de un libro, en la que Urysohn desarrolló la teoría de la dimensión y los Principios se citan no menos de 60 veces.
Después de la Segunda Guerra Mundial hubo una fuerte demanda del libro de Hausdorff y hubo tres reimpresiones en Chelsea: en 1949, 1965 y 1978.
En 1916, Alexandroff y Hausdorff resolvieron de forma independiente [20] el problema del continuo para los conjuntos de Borel: todo conjunto de Borel en un espacio métrico separable completo es contable o tiene la cardinalidad del continuo. Este resultado generaliza el teorema de Cantor-Bendixson de que tal afirmación es válida para los conjuntos cerrados de . Para los conjuntos lineales, William Henry Young había demostrado el resultado en 1903, [21] para los conjuntos, Hausdorff obtuvo un resultado correspondiente en 1914 en Principles . El teorema de Alexandroff y Hausdorff fue un fuerte impulso para un mayor desarrollo de la teoría descriptiva de conjuntos. [22]
Entre las publicaciones de Hausdorff en su época en Greifswald destaca la obra Dimensión y medida exterior de 1919, en la que se introdujeron los conceptos que hoy se conocen como medida de Hausdorff y dimensión de Hausdorff . Ha mantenido una gran actualidad y en los años posteriores ha sido una de las obras matemáticas más citadas de la década de 1910 a 1920.
El concepto de dimensión de Hausdorff es útil para la caracterización y comparación de "cantidades altamente robustas". Los conceptos de dimensión y medida externa han experimentado aplicaciones y desarrollos posteriores en muchas áreas, como en la teoría de sistemas dinámicos, la teoría de la medida geométrica, la teoría de conjuntos autosimilares y fractales, la teoría de procesos estocásticos, el análisis armónico, la teoría del potencial y la teoría de números. [23]
En su segunda estancia en Bonn, Hausdorff realizó un trabajo analítico significativo. En Métodos de suma y sucesiones de momentos I, de 1921, desarrolló toda una clase de métodos de suma para series divergentes, que hoy se denominan métodos de Hausdorff. En el clásico de Hardy , Series divergentes , se dedica un capítulo entero al método de Hausdorff. Los métodos clásicos de Hölder y Cesàro demostraron ser casos especiales del método de Hausdorff. Todo método de Hausdorff está dado por una sucesión de momentos; en este contexto, Hausdorff dio una solución elegante del problema del momento para un intervalo finito, pasando por alto la teoría de fracciones continuas. En su artículo Problemas de momentos para un intervalo finito de 1923, trató problemas de momentos más especiales, como aquellos con ciertas restricciones para generar densidad , por ejemplo . Los criterios de resolubilidad y decidibilidad de los problemas de momentos ocuparon a Hausdorff durante muchos años, como atestiguan cientos de páginas de notas escritas a mano en su Nachlass . [24]
Una contribución significativa al campo emergente del análisis funcional en la década de 1920 fue la extensión que Hausdorff hizo del teorema de Riesz-Fischer a los espacios en su obra de 1923 Una extensión del teorema de Parseval en las series de Fourier . Demostró las desigualdades que ahora llevan su nombre y el de WH Young. Las desigualdades de Hausdorff-Young se convirtieron en el punto de partida de importantes nuevos desarrollos. [25]
El libro de Hausdorff Teoría de conjuntos apareció en 1927. Se declaró que era una segunda edición de Principios , pero en realidad era un libro completamente nuevo. Dado que la escala se redujo significativamente debido a su aparición en la biblioteca de enseñanza de Goschen, se eliminaron grandes partes de la teoría de conjuntos ordenados y medidas y la teoría de la integración. En su prefacio, Hausdorff escribe: "Quizás incluso más que estas eliminaciones, el lector lamentará que, para ahorrar más espacio en la teoría de conjuntos puntuales, haya abandonado el punto de vista topológico a través del cual la primera edición aparentemente ha ganado muchos amigos, y me haya centrado en la teoría más simple de los espacios métricos".
De hecho, esto fue un arrepentimiento explícito de algunos críticos de la obra. Como una especie de compensación, Hausdorff mostró por primera vez el estado actual de la teoría de conjuntos descriptiva. Este hecho aseguró que el libro tuviera una recepción casi tan intensa como Principles , especialmente en Fundamenta Mathematicae. Como libro de texto fue muy popular. En 1935 se publicó una edición ampliada, que fue reimpresa por Dover en 1944. Una traducción al inglés apareció en 1957 con reimpresiones en 1962 y 1967.
También hubo una edición rusa (1937), aunque sólo era parcialmente una traducción fiel y en parte una reelaboración de Alexandroff y Kolmogorov . En esta traducción, el punto de vista topológico volvió a cobrar protagonismo. En 1928, Hans Hahn escribió una reseña de la teoría de conjuntos , que tal vez tenía en mente el peligro del antisemitismo alemán, ya que cerró su discusión con la siguiente frase:
Una descripción ejemplar en todos los aspectos de un área difícil y espinosa, una obra a la altura de aquellas que han llevado la fama de la ciencia alemana por todo el mundo, y tal que todos los matemáticos alemanes pueden estar orgullosos de ella. [26]
En 1938, el último trabajo de Hausdorff, Extensión de una función continua, mostró que una función continua de un subconjunto cerrado de un espacio métrico puede extenderse a todo (aunque puede ser necesario extender la imagen). Como caso especial, cada homeomorfismo de puede extenderse a un homeomorfismo de . Este trabajo continuó la investigación de años anteriores. En 1919, en Acerca de las funciones semicontinuas y su generalización , Hausdorff había dado, entre otras cosas, otra prueba del teorema de extensión de Tietze . En 1930, en Extensión de un homeomorfismo , mostró lo siguiente: Sea un espacio métrico, un subconjunto cerrado. Si se da una nueva métrica sin cambiar la topología, esta métrica puede extenderse a todo el espacio sin cambiar la topología. La obra Graded spaces apareció en 1935, donde Hausdorff discutió los espacios que cumplían los axiomas de clausura de Kuratowski hasta el axioma de idempotencia. Estos espacios a menudo también se denominan espacios de cierre, y Hausdorff los utilizó para estudiar las relaciones entre los espacios límite de Fréchet y los espacios topológicos .
El nombre de Hausdorff se encuentra en todas partes en matemáticas. Entre otros, estos conceptos recibieron su nombre:
En las universidades de Bonn y Greifswald se bautizaron en su honor estas cosas:
Además de estas, en Bonn se encuentra la calle Hausdorff, donde vivió por primera vez (Haus-Nr. 61). En Greifswald hay una calle Felix-Hausdorff, donde se encuentran, entre otros, los institutos de bioquímica y física. Desde 2011 existe una "Hausdorffweg" (calle Hausdorff) en medio del Leipziger Ortsteil Gohlis. [27]
El asteroide 24947 Hausdorff recibió su nombre.
Aquí sólo se muestra una selección de los ensayos que aparecieron en texto.
Hausdorff sobre conjuntos ordenados . Trad. y edición: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.
La "Hausdorff-Edition", editada por E. Brieskorn (†), F. Hirzebruch (†), W. Purkert (todos de Bonn), R. Remmert (†) (Münster) y E. Scholz (Wuppertal) con la colaboración de más de veinte matemáticos, historiadores, filósofos y académicos, es un proyecto en curso de la Academia de Ciencias, Humanidades y Artes de Renania del Norte-Westfalia para presentar las obras de Hausdorff, con comentarios y mucho material adicional. Los volúmenes han sido publicados por Springer-Verlag , Heidelberg. Se han publicado nueve volúmenes, y el volumen I se divide en volumen IA y volumen IB. Consulte el sitio web del Proyecto Hausdorff de la Hausdorff Edition (alemán) para obtener más información. Los volúmenes son:
El texto completo de Abschiedsbrief Felix Hausdorffs en Wikisource
![{\displaystyle \varphi(x)\en L^{p}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fcbe40081da0691fa1121ce0009593bb15ac9d)
