En matemáticas , el axioma de elección , abreviado AC o AoC , es un axioma de la teoría de conjuntos equivalente a la afirmación de que un producto cartesiano de una colección de conjuntos no vacíos no está vacío . Dicho de manera informal, el axioma de elección dice que dada cualquier colección de conjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos un elemento, es posible construir un nuevo conjunto eligiendo un elemento de cada conjunto, incluso si la colección es infinita . Formalmente, establece que para cada familia indexada de conjuntos no vacíos , existe un conjunto indexado tal que para cada . El axioma de elección fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo con el fin de formalizar su demostración del teorema del bien ordenamiento . [1]
En muchos casos, un conjunto creado eligiendo elementos se puede crear sin invocar el axioma de elección; esto ocurre, en particular, si el número de conjuntos entre los cuales elegir los elementos es finito, o si se dispone de una regla canónica sobre cómo elegir los elementos (alguna propiedad distintiva que se cumple exactamente para un elemento de cada conjunto). Un ejemplo ilustrativo son los conjuntos elegidos a partir de números naturales. De dichos conjuntos, siempre se puede seleccionar el número más pequeño, por ejemplo, dados los conjuntos {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}}, el conjunto que contiene cada elemento más pequeño es { 4, 10, 1}. En este caso, "seleccionar el número más pequeño" es una función de elección . Incluso si se reunieran infinitos conjuntos a partir de números naturales, siempre será posible elegir el elemento más pequeño de cada conjunto para producir un conjunto. Es decir, la función de elección proporciona el conjunto de elementos elegidos. Sin embargo, no se conoce ninguna función de elección definida para la colección de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales. En ese caso, debe invocarse el axioma de elección.
Bertrand Russell acuñó una analogía: para cualquier colección (incluso infinita) de pares de zapatos, se puede seleccionar el zapato izquierdo de cada par para obtener una colección (es decir, un juego) de zapatos adecuada; esto hace posible definir una función de elección directamente. Para una colección infinita de pares de calcetines (que se supone que no tienen características distintivas), no existe una forma obvia de crear una función que forme un conjunto seleccionando un calcetín de cada par, sin invocar el axioma de elección. [2]
Aunque originalmente fue controvertido, el axioma de elección ahora lo utilizan sin reservas la mayoría de los matemáticos [3] y está incluido en la forma estándar de la teoría de conjuntos axiomática , la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC). Una motivación para este uso es que varios resultados matemáticos generalmente aceptados, como el teorema de Tychonoff , requieren el axioma de elección para sus demostraciones. Los teóricos de conjuntos contemporáneos también estudian axiomas que no son compatibles con el axioma de elección, como el axioma de determinabilidad . El axioma de elección se evita en algunas variedades de matemáticas constructivas , aunque hay variedades de matemáticas constructivas en las que se adopta el axioma de elección.
Una función de elección (también llamada selector o selección) es una función f , definida en una colección X de conjuntos no vacíos, de modo que para cada conjunto A en X , f ( A ) es un elemento de A. Con este concepto se puede enunciar el axioma:
Axioma : para cualquier conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección f que se define en X y asigna cada conjunto de X a un elemento de ese conjunto.
Formalmente, esto se puede expresar de la siguiente manera:
Por tanto, la negación del axioma puede expresarse como la existencia de una colección de conjuntos no vacíos que no tiene función de elección. Formalmente, esto se puede derivar haciendo uso de la equivalencia lógica de to .
Cada función de elección en una colección X de conjuntos no vacíos es un elemento del producto cartesiano de los conjuntos en X. Ésta no es la situación más general de un producto cartesiano de una familia de conjuntos, donde un conjunto dado puede aparecer más de una vez como factor; sin embargo, uno puede centrarse en elementos de dicho producto que seleccionan el mismo elemento cada vez que un conjunto dado aparece como factor, y dichos elementos corresponden a un elemento del producto cartesiano de todos los conjuntos distintos de la familia. El axioma de elección afirma la existencia de tales elementos; por lo tanto es equivalente a:
En este artículo y otras discusiones sobre el axioma de elección son comunes las siguientes abreviaturas:
Hay muchos otros enunciados equivalentes del axioma de elección. Estos son equivalentes en el sentido de que, en presencia de otros axiomas básicos de la teoría de conjuntos, implican el axioma de elección y están implícitos en él.
Una variación evita el uso de funciones de elección reemplazando, de hecho, cada función de elección con su rango:
Esto se puede formalizar en lógica de primer orden como:
Tenga en cuenta que P ∨ Q ∨ R es lógicamente equivalente a (¬P ∧ ¬Q) → R.
En inglés, esta oración de primer orden dice:
Esto garantiza para cualquier partición de un conjunto X la existencia de un subconjunto C de X que contenga exactamente un elemento de cada parte de la partición.
Otro axioma equivalente sólo considera colecciones X que son esencialmente conjuntos potenciadores de otros conjuntos:
Los autores que utilizan esta formulación a menudo hablan de la función de elección en A , pero ésta es una noción ligeramente diferente de función de elección. Su dominio es el conjunto potencia de A (sin el conjunto vacío), por lo que tiene sentido para cualquier conjunto A , mientras que con la definición utilizada en otras partes de este artículo, el dominio de una función de elección en una colección de conjuntos es esa colección, y por eso sólo tiene sentido para conjuntos de conjuntos. Con esta noción alternativa de función de elección, el axioma de elección se puede expresar de forma compacta como
que es equivalente a
Por tanto, la negación del axioma se puede expresar como:
El enunciado habitual del axioma de elección no especifica si la colección de conjuntos no vacíos es finita o infinita y, por tanto, implica que toda colección finita de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, ese caso particular es un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF); se demuestra fácilmente mediante el principio de inducción finita . [7] En el caso aún más simple de una colección de un conjunto, una función de elección simplemente corresponde a un elemento, por lo que este ejemplo del axioma de elección dice que todo conjunto no vacío tiene un elemento; esto es válido de manera trivial. Se puede considerar que el axioma de elección afirma la generalización de esta propiedad, ya evidente para colecciones finitas, a colecciones arbitrarias.
Hasta finales del siglo XIX, el axioma de elección se utilizaba a menudo de forma implícita, aunque todavía no se había declarado formalmente. Por ejemplo, después de haber establecido que el conjunto X contiene sólo conjuntos no vacíos, un matemático podría haber dicho "dejemos que F ( s ) sea uno de los miembros de s para todos los s en X " para definir una función F. En general, es imposible demostrar que F existe sin el axioma de elección, pero esto parece haber pasado desapercibido hasta Zermelo .
La naturaleza de los conjuntos individuales no vacíos de la colección puede hacer posible evitar el axioma de elección incluso para ciertas colecciones infinitas. Por ejemplo, supongamos que cada miembro de la colección X es un subconjunto no vacío de números naturales. Cada uno de estos subconjuntos tiene un elemento más pequeño, por lo que para especificar nuestra función de elección podemos decir simplemente que asigna cada conjunto al elemento más pequeño de ese conjunto. Esto nos da una elección definitiva de un elemento de cada conjunto y hace innecesario agregar el axioma de elección a nuestros axiomas de la teoría de conjuntos.
La dificultad aparece cuando no existe una elección natural de los elementos de cada conjunto. Si no podemos tomar decisiones explícitas, ¿cómo sabemos que nuestra selección forma un conjunto legítimo (como lo definen los otros axiomas ZF de la teoría de conjuntos)? Por ejemplo, supongamos que X es el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales . Primero podríamos intentar proceder como si X fuera finito. Si intentamos elegir un elemento de cada conjunto, entonces, como X es infinito, nuestro procedimiento de elección nunca terminará y, en consecuencia, nunca podremos producir una función de elección para todo X. A continuación, podríamos intentar especificar el menor elemento de cada conjunto. Pero algunos subconjuntos de números reales no tienen elementos mínimos. Por ejemplo, el intervalo abierto (0,1) no tiene un elemento mínimo: si x está en (0,1), entonces también lo está x /2, y x /2 siempre es estrictamente menor que x . Entonces este intento también fracasa.
Además, considere, por ejemplo, el círculo unitario S y la acción sobre S por un grupo G que consta de todas las rotaciones racionales. Es decir, se trata de rotaciones de ángulos que son múltiplos racionales de π . Aquí G es contable mientras que S es incontable. Por tanto, S se divide en innumerables órbitas bajo G. Usando el axioma de elección, podríamos elegir un solo punto de cada órbita, obteniendo un subconjunto incontable X de S con la propiedad de que todas sus traslaciones por G son disjuntas de X. El conjunto de esas traducciones divide el círculo en una colección contable de conjuntos disjuntos, todos los cuales son congruentes por pares. Dado que X no es medible para ninguna medida finita aditiva contablemente invariante de rotación en S , encontrar un algoritmo para formar un conjunto a partir de la selección de un punto en cada órbita requiere que se agregue el axioma de elección a nuestros axiomas de la teoría de conjuntos. Consulte el conjunto no mensurable para obtener más detalles.
En aritmética clásica, los números naturales están bien ordenados : para cada subconjunto no vacío de números naturales, existe un elemento mínimo único según el orden natural. De esta manera, se puede especificar un conjunto de cualquier subconjunto determinado. Se podría decir: "Aunque el orden habitual de los números reales no funciona, es posible encontrar un orden diferente de los números reales que sea un buen orden. Entonces nuestra función de elección puede elegir el menor elemento de cada conjunto". bajo nuestro orden inusual." El problema entonces pasa a ser el de construir un buen ordenamiento, que resulta requerir el axioma de elección para su existencia; todo conjunto puede estar bien ordenado si y sólo si se cumple el axioma de elección.
Una prueba que requiera el axioma de elección puede establecer la existencia de un objeto sin definirlo explícitamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, mientras que el axioma de elección implica que existe un buen ordenamiento de los números reales, existen modelos de teoría de conjuntos con el axioma de elección en los que no es definible ningún buen ordenamiento individual de los reales. De manera similar, aunque se puede demostrar que existe un subconjunto de números reales que no es medible según Lebesgue utilizando el axioma de elección, es consistente que tal conjunto no sea definible. [8]
El axioma de elección prueba la existencia de estos intangibles (objetos que se ha demostrado que existen, pero que no pueden construirse explícitamente), lo que puede entrar en conflicto con algunos principios filosóficos. [9] Debido a que no existe un buen ordenamiento canónico de todos los conjuntos, una construcción que se basa en un buen ordenamiento puede no producir un resultado canónico, incluso si se desea un resultado canónico (como suele ser el caso en la teoría de categorías ). Esto se ha utilizado como argumento en contra del uso del axioma de elección.
Otro argumento contra el axioma de elección es que implica la existencia de objetos que pueden parecer contrarios a la intuición. [10] Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski , que dice que es posible descomponer la bola unitaria sólida tridimensional en un número finito de piezas y, usando solo rotaciones y traslaciones, volver a ensamblar las piezas en dos bolas sólidas, cada una con el mismo volumen. como el original. Las piezas de esta descomposición, construidas utilizando el axioma de elección, son conjuntos no mensurables .
Además, recientemente se han señalado en física las consecuencias paradójicas del axioma de elección para el principio de no señalización. [11]
A pesar de estos resultados aparentemente paradójicos , la mayoría de los matemáticos aceptan el axioma de elección como un principio válido para demostrar nuevos resultados en matemáticas. Sin embargo, el debate es lo suficientemente interesante como para considerarlo digno de mención cuando un teorema en ZFC (ZF más AC) es lógicamente equivalente (con sólo los axiomas de ZF) al axioma de elección, y los matemáticos buscan resultados que requieran el axioma de elección es falsa, aunque este tipo de deducción es menos común que el tipo que requiere que el axioma de elección sea verdadero.
Los teoremas de ZF son válidos en cualquier modelo de esa teoría, independientemente de la verdad o falsedad del axioma de elección en ese modelo en particular. Las implicaciones de la elección a continuación, incluida la versión más débil del propio axioma, se enumeran porque no son teoremas de ZF. La paradoja de Banach-Tarski, por ejemplo, no es demostrable ni refutable únicamente a partir de ZF: es imposible construir la descomposición requerida de la bola unitaria en ZF, pero también es imposible demostrar que no existe tal descomposición. Tales declaraciones pueden reformularse como declaraciones condicionales, por ejemplo, "Si AC se cumple, entonces existe la descomposición en la paradoja de Banach-Tarski". Dichos enunciados condicionales son demostrables en ZF cuando los enunciados originales son demostrables a partir de ZF y el axioma de elección.
Como se discutió anteriormente, en la teoría clásica de ZFC, el axioma de elección permite pruebas no constructivas en las que se prueba la existencia de un tipo de objeto sin que se construya una instancia explícita. De hecho, en la teoría de conjuntos y la teoría del topos , el teorema de Diaconescu muestra que el axioma de elección implica la ley del tercero excluido . Por tanto, el principio no está disponible en la teoría constructiva de conjuntos , donde se emplea la lógica no clásica.
La situación es diferente cuando el principio se formula en la teoría de tipos de Martin-Löf . Allí y en la aritmética de Heyting de orden superior , el enunciado apropiado del axioma de elección se incluye (según el enfoque) como axioma o se puede demostrar como teorema. [12] Una causa de esta diferencia es que el axioma de elección en la teoría de tipos no tiene las propiedades de extensión que tiene el axioma de elección en la teoría de conjuntos constructivos. [13] El contexto teórico tipo se analiza más adelante.
Se han estudiado a fondo diferentes principios de elección en contextos constructivos y el estado de los principios varía entre diferentes escuelas y variedades de matemáticas constructivas. Algunos resultados de la teoría constructiva de conjuntos utilizan el axioma de elección contable o el axioma de elección dependiente , que no implican la ley del tercero excluido. Errett Bishop , quien se destaca por desarrollar un marco para el análisis constructivo, argumentó que un axioma de elección era constructivamente aceptable, diciendo
Una función de elección existe en matemáticas constructivas, porque una elección está implícita en el significado mismo de la existencia. [14]
Aunque el axioma de elección contable en particular se utiliza comúnmente en matemáticas constructivas, su uso también ha sido cuestionado. [15]
En 1938, [16] Kurt Gödel demostró que la negación del axioma de elección no es un teorema de ZF construyendo un modelo interno (el universo construible ) que satisface ZFC y demostrando así que ZFC es consistente si ZF mismo es consistente. En 1963, Paul Cohen empleó la técnica del forzamiento , desarrollada para este propósito, para demostrar que, suponiendo que ZF es consistente, el axioma de elección en sí no es un teorema de ZF. Lo hizo construyendo un modelo mucho más complejo que satisface ZF¬C (ZF con la negación de AC agregada como axioma) y demuestra así que ZF¬C es consistente. [17]
En conjunto, estos resultados establecen que el axioma de elección es lógicamente independiente de ZF. La suposición de que ZF es consistente es inofensiva porque agregar otro axioma a un sistema que ya es inconsistente no puede empeorar la situación. Debido a la independencia, la decisión de utilizar el axioma de elección (o su negación) en una demostración no puede tomarse apelando a otros axiomas de la teoría de conjuntos. La decisión debe tomarse por otros motivos.
Un argumento dado a favor del uso del axioma de elección es que es conveniente usarlo porque permite probar algunas proposiciones simplificadoras que de otro modo no podrían probarse. Muchos teoremas que se pueden demostrar mediante elección tienen un carácter general elegante: las cardinalidades de dos conjuntos cualesquiera son comparables, todo anillo no trivial con unidad tiene un ideal máximo , todo espacio vectorial tiene una base , todo grafo conexo tiene un árbol generador y todo producto de los espacios compactos es compacto, entre muchos otros. Sin el axioma de elección, estos teoremas pueden no ser válidos para objetos matemáticos de gran cardinalidad. [ se necesita aclaración ]
La prueba del resultado de independencia también muestra que una amplia clase de enunciados matemáticos, incluidos todos los enunciados que pueden expresarse en el lenguaje de la aritmética de Peano , son demostrables en ZF si y sólo si son demostrables en ZFC. [18] Las afirmaciones de esta clase incluyen la afirmación de que P = NP , la hipótesis de Riemann y muchos otros problemas matemáticos sin resolver. Cuando se intenta resolver problemas de esta clase, no importa si se emplea ZF o ZFC si la única cuestión es la existencia de una prueba. Sin embargo, es posible que la demostración de un teorema con ZFC sea más corta que con ZF.
El axioma de elección no es el único enunciado significativo independiente de ZF. Por ejemplo, la hipótesis del continuo generalizado (GCH) no sólo es independiente de ZF, sino también de ZFC. Sin embargo, ZF más GCH implica AC, lo que hace que GCH sea una afirmación estrictamente más fuerte que AC, aunque ambos son independientes de ZF.
El axioma de constructibilidad y la hipótesis del continuo generalizado implican cada uno el axioma de elección y, por tanto, son estrictamente más fuertes que él. En teorías de clases como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , existe un axioma llamado axioma de elección global que es más fuerte que el axioma de elección de conjuntos porque también se aplica a las clases adecuadas. El axioma de elección global se deriva del axioma de limitación de tamaño . El axioma de Tarski, que se utiliza en la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck y establece (en lengua vernácula) que todo conjunto pertenece a algún universo de Grothendieck , es más fuerte que el axioma de elección.
Hay enunciados importantes que, asumiendo los axiomas de ZF pero ni AC ni ¬AC, son equivalentes al axioma de elección. [19] Los más importantes entre ellos son el lema de Zorn y el teorema del bien ordenamiento . De hecho, Zermelo introdujo inicialmente el axioma de elección para formalizar su demostración del teorema del bien ordenamiento.
Hay varios resultados en la teoría de categorías que invocan el axioma de elección para su prueba. Estos resultados pueden ser más débiles, equivalentes o más fuertes que el axioma de elección, dependiendo de la solidez de los fundamentos técnicos. Por ejemplo, si uno define categorías en términos de conjuntos, es decir, como conjuntos de objetos y morfismos (generalmente llamados categoría pequeña ), o incluso categorías localmente pequeñas, cuyos objetos homólogos son conjuntos, entonces no existe una categoría de todos los conjuntos. , por lo que es difícil que una formulación teórica de categorías se aplique a todos los conjuntos. Por otro lado, otras descripciones fundamentales de la teoría de categorías son considerablemente más sólidas, y una declaración de elección idéntica en la teoría de categorías puede ser más sólida que la formulación estándar, a la teoría de clases, mencionada anteriormente.
Ejemplos de declaraciones de teoría de categorías que requieren elección incluyen:
Hay varios enunciados más débiles que no son equivalentes al axioma de elección, pero que están estrechamente relacionados. Un ejemplo es el axioma de elección dependiente (DC). Un ejemplo aún más débil es el axioma de elección contable (AC ω o CC), que establece que existe una función de elección para cualquier conjunto contable de conjuntos no vacíos. Estos axiomas son suficientes para muchas pruebas en el análisis matemático elemental y son consistentes con algunos principios, como la mensurabilidad de Lebesgue de todos los conjuntos de reales, que son refutables del axioma completo de elección.
Dado un parámetro ordinal α ≥ ω+2, para cada conjunto S con rango menor que α, S es bien ordenable. Dado un parámetro ordinal α ≥ 1, para cada conjunto S con número de Hartog menor que ω α , S es bien ordenable. A medida que aumenta el parámetro ordinal, estos se aproximan cada vez más al axioma de elección completo.
Otros axiomas de elección más débiles que el axioma de elección incluyen el teorema del ideal primo booleano y el axioma de uniformización . El primero es equivalente en ZF al lema del ultrafiltro de Tarski de 1930 : cada filtro es un subconjunto de algún ultrafiltro .
Uno de los aspectos más interesantes del axioma de elección es el gran número de lugares en matemáticas que aparece. Aquí hay algunas afirmaciones que requieren el axioma de elección en el sentido de que no son demostrables a partir de ZF pero sí a partir de ZFC (ZF más AC). De manera equivalente, estas afirmaciones son verdaderas en todos los modelos de ZFC pero falsas en algunos modelos de ZF.
Hay varios enunciados de teoría de conjuntos históricamente importantes implícitos en AC cuya equivalencia con AC es abierta. El principio de partición, que fue formulado antes que la propia AC, fue citado por Zermelo como justificación para creer en AC. En 1906, Russell declaró que PP era equivalente, pero si el principio de partición implica AC sigue siendo el problema abierto más antiguo en la teoría de conjuntos, [32] y las equivalencias de las otras afirmaciones son igualmente difíciles y viejos problemas abiertos. En todos los modelos conocidos de ZF en los que la elección falla, estas afirmaciones también fallan, pero se desconoce si pueden ser válidas sin elección.
Si abreviamos por BP la afirmación de que todo conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire , entonces BP es más fuerte que ¬AC, que afirma la inexistencia de cualquier función de elección en quizás sólo un único conjunto de conjuntos no vacíos. Las negaciones fortalecidas pueden ser compatibles con formas debilitadas de AC. Por ejemplo, ZF + DC [33] + BP es consistente, si ZF lo es.
También es consistente con ZF + DC que cada conjunto de reales es mensurable según Lebesgue ; sin embargo, este resultado de consistencia, debido a Robert M. Solovay , no se puede probar en el propio ZFC, sino que requiere una suposición cardinal leve y grande (la existencia de un cardinal inaccesible ). El axioma de determinabilidad , o AD, mucho más fuerte, implica que todo conjunto de reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de Baire y tiene la propiedad del conjunto perfecto (los tres resultados son refutados por el propio AC). ZF + DC + AD es consistente siempre que un axioma cardinal suficientemente fuerte sea consistente (la existencia de infinitos cardenales de Woodin ).
El sistema de teoría axiomática de conjuntos de Quine , Nuevos Fundamentos (NF), toma su nombre del título ("Nuevos Fundamentos para la Lógica Matemática") del artículo de 1937 que lo presentó. En el sistema axiomático NF, el axioma de elección puede refutarse. [34]
Existen modelos de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en los que el axioma de elección es falso. Abreviaremos "teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más la negación del axioma de elección" por ZF¬C. Para ciertos modelos de ZF¬C, es posible validar la negación de algunos teoremas estándar de ZFC. Como cualquier modelo de ZF¬C es también un modelo de ZF, se da el caso de que para cada una de las siguientes afirmaciones, existe un modelo de ZF en el que esa afirmación es verdadera
Para pruebas, ver Jech (2008).
Además, al imponer condiciones de definibilidad a los conjuntos (en el sentido de la teoría descriptiva de conjuntos ), a menudo se pueden probar versiones restringidas del axioma de elección a partir de axiomas incompatibles con la elección general. Esto aparece, por ejemplo, en el lema de codificación de Moschovakis .
En teoría de tipos , un tipo diferente de enunciado se conoce como axioma de elección. Esta forma comienza con dos tipos, σ y τ, y una relación R entre objetos de tipo σ y objetos de tipo τ. El axioma de elección establece que si para cada x de tipo σ existe una y de tipo τ tal que R ( x , y ), entonces existe una función f desde objetos de tipo σ hasta objetos de tipo τ tal que R ( x , f ( x )) es válido para todo x de tipo σ:
A diferencia de la teoría de conjuntos, el axioma de elección en la teoría de tipos suele expresarse como un esquema de axioma , en el que R varía en todas las fórmulas o en todas las fórmulas de una forma lógica particular.
El axioma de elección es obviamente verdadero, el principio de buen ordenamiento obviamente falso, y ¿quién puede decir algo sobre el lema de Zorn ?
-Jerry Bona [37]
Esto es una broma: aunque los tres son matemáticamente equivalentes, muchos matemáticos consideran que el axioma de elección es intuitivo, el principio de buen ordenamiento contraintuitivo y el lema de Zorn demasiado complejo para cualquier intuición.
El axioma de elección es necesario para seleccionar un conjunto entre un número infinito de pares de calcetines, pero no entre un número infinito de pares de zapatos.
—Bertrand Russell [38]
La observación aquí es que se puede definir una función para seleccionar entre un número infinito de pares de zapatos, por ejemplo eligiendo el zapato izquierdo de cada par. Sin el axioma de elección, no se puede afirmar que tal función exista para pares de calcetines, porque los calcetines izquierdo y derecho son (presumiblemente) indistinguibles.
Tarski intentó publicar su teorema [la equivalencia entre AC y "todo conjunto infinito A tiene la misma cardinalidad que A × A ", ver arriba] en Comptes Rendus , pero Fréchet y Lebesgue se negaron a presentarlo. Fréchet escribió que una implicación entre dos proposiciones [verdaderas] bien conocidas no es un resultado nuevo, y Lebesgue escribió que una implicación entre dos proposiciones falsas no tiene ningún interés.
El matemático polaco-estadounidense Jan Mycielski relata esta anécdota en un artículo de 2006 en Notices of the AMS. [39]
El axioma recibe su nombre no porque los matemáticos lo prefieran a otros axiomas.
—AK Dewdney
Esta cita proviene del famoso artículo del Día de los Inocentes en la columna de recreaciones por computadora del Scientific American , abril de 1989.
El axioma de elección, aunque se había empleado inconscientemente en muchos argumentos de análisis, se volvió controvertido una vez que se hizo explícito, no sólo por su carácter no constructivo, sino porque implicaba consecuencias tan extremadamente poco intuitivas como las de Banach-Tarski. paradoja..
Entre las botas podemos distinguir derechas e izquierdas, por lo que podemos hacer una selección de una de cada par, es decir, podemos elegir todas las botas derechas o todas las botas izquierdas; pero con los calcetines no se sugiere tal principio de selección, y no podemos estar seguros, a menos que supongamos el axioma multiplicativo, de que exista una clase compuesta por un calcetín de cada par.
Russell generalmente utilizó el término "axioma multiplicativo" para el axioma de elección. Refiriéndose al orden de un conjunto infinito y numerable de pares de objetos, escribió:
No hay ninguna dificultad para hacerlo con las botas. Los pares se dan formando un ℵ 0 y, por lo tanto, como el campo de una progresión. Dentro de cada par, tome primero la bota izquierda y luego la derecha, manteniendo el orden del par sin cambios; de esta forma obtenemos una progresión de todas las botas. Pero con los calcetines tendremos que elegir arbitrariamente, en cada par, cuál poner primero; y un número infinito de elecciones arbitrarias es imposible. A menos que podamos encontrar una regla para seleccionar, es decir, una relación que sea un selector, no sabemos si una selección es siquiera teóricamente posible.
Russell luego sugiere usar la ubicación del centro de masa de cada calcetín como selector.
![{\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\implica \exists f\colon X\rightarrow \bigcup _ {A\in X}A\quad \forall A\in X\,(f(A)\ en A)\derecha]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c13acd29706cb25dfd58f25470c4cc306d4f161)
![{\displaystyle \neg \forall X\left[P(X)\to Q(X)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fb893299c70cfb323dca2b4fe46fd0b131f34d)
![{\displaystyle \existe X\left[P(X)\land \neg Q(X)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d639060d45c73cf54bcbdb5d02c77e8c0b2ebc)
