Lema de Teichmüller-Tukey

En matemáticas, el lema de Teichmüller-Tukey (a veces llamado simplemente lema de Tukey ), llamado así en honor a John Tukey y Oswald Teichmüller , es un lema que establece que toda colección no vacía de caracteres finitos tiene un elemento máximo con respecto a la inclusión . Sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el lema de Teichmüller-Tukey es equivalente al axioma de elección y, por tanto, al teorema del bien ordenamiento , al lema de Zorn y al principio del máximo de Hausdorff . ^[1]

Definiciones

Una familia de conjuntos es de carácter finito siempre que tenga las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. Para cada uno , cada subconjunto finito de pertenece a . ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
2. Si todo subconjunto finito de un conjunto dado pertenece a , entonces pertenece a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Declaración del lema

Sea un conjunto y sea . Si es de carácter finito y , entonces existe un máximo (según la relación de inclusión) tal que . ^[2] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$

Aplicaciones

En álgebra lineal , el lema puede usarse para mostrar la existencia de una base . Sea V un espacio vectorial . Considere la colección de conjuntos de vectores linealmente independientes . Esta es una colección de carácter finito . Por tanto, existe un conjunto máximo, que luego debe abarcar V y ser una base para V. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Notas

1. Jech, Thomas J. (2008) [1973]. El axioma de elección . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-46624-8.
2. Kunen, Kenneth (2009). Los fundamentos de las matemáticas . Publicaciones universitarias . ISBN 978-1-904987-14-7.

Referencias

• Brillinger, David R. "John Wilder Tukey" [1]