En matemáticas , el principio maximal de Hausdorff es una formulación alternativa y anterior del lema de Zorn demostrada por Felix Hausdorff en 1914 (Moore 1982:168). Afirma que en cualquier conjunto parcialmente ordenado , todo subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado.
El principio máximo de Hausdorff es una de las muchas afirmaciones equivalentes al axioma de elección sobre ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección). El principio también se denomina teorema de maximalidad de Hausdorff o lema de Kuratowski (Kelley 1955:33).
El principio de maximalidad de Hausdorff establece que, en cualquier conjunto parcialmente ordenado , todo subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado (un subconjunto totalmente ordenado que, si se amplía de alguna manera, no permanece totalmente ordenado). En general, puede haber muchos subconjuntos máximos totalmente ordenados que contengan un subconjunto totalmente ordenado dado.
Una forma equivalente del principio maximal de Hausdorff es que en todo conjunto parcialmente ordenado existe un subconjunto máximo totalmente ordenado. Para demostrar que este enunciado se deriva de la forma original, sea A un conjunto parcialmente ordenado. Entonces es un subconjunto totalmente ordenado de A , por lo tanto existe un subconjunto máximo totalmente ordenado que contiene , por lo tanto, en particular A contiene un subconjunto máximo totalmente ordenado. Para la dirección inversa, sea A un conjunto parcialmente ordenado y T un subconjunto totalmente ordenado de A. Entonces
está parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos , por lo tanto contiene un subconjunto máximo totalmente ordenado P. Entonces el conjunto satisface las propiedades deseadas.
La prueba de que el principio maximal de Hausdorff es equivalente al lema de Zorn es muy similar a esta prueba.
Si A es cualquier colección de conjuntos, la relación "es un subconjunto propio de" es un orden parcial estricto en A. Supongamos que A es el conjunto de todas las regiones circulares (interiores de círculos) en el plano. Una subcolección máxima totalmente ordenada de A consta de todas las regiones circulares con centros en el origen. Otra subcolección máxima totalmente ordenada consta de todas las regiones circulares delimitadas por círculos tangentes desde la derecha al eje y en el origen.
Si (x 0 , y 0 ) y (x 1 , y 1 ) son dos puntos del plano ℝ 2 , defina (x 0 , y 0 ) < (x 1 , y 1 ) si y 0 = y 1 y x 0 < x1 . Este es un ordenamiento parcial de ℝ 2 según el cual dos puntos son comparables sólo si se encuentran en la misma línea horizontal. Los conjuntos máximos totalmente ordenados son líneas horizontales en ℝ 2 .
