En matemáticas , un álgebra booleana completa es un álgebra booleana en la que cada subconjunto tiene un supremo ( límite superior mínimo ). Las álgebras booleanas completas se utilizan para construir modelos de teoría de conjuntos con valores booleanos en la teoría del forzamiento . Cada álgebra booleana A tiene una terminación esencialmente única, que es un álgebra booleana completa que contiene A tal que cada elemento es el supremo de algún subconjunto de A. Como conjunto parcialmente ordenado , esta compleción de A es la compleción de Dedekind-MacNeille .
De manera más general, si κ es cardinal , entonces un álgebra de Boole se llama κ-completa si cada subconjunto de cardinalidad menor que κ tiene un supremo.
Ejemplos
Álgebras booleanas completas
- Todo álgebra booleana finita está completa.
- El álgebra de subconjuntos de un conjunto dado es un álgebra booleana completa.
- Los conjuntos abiertos regulares de cualquier espacio topológico forman un álgebra booleana completa. Este ejemplo es de particular importancia porque cada poset forzado puede considerarse como un espacio topológico (una base para la topología que consta de conjuntos que son el conjunto de todos los elementos menores o iguales a un elemento dado). El álgebra abierta regular correspondiente se puede utilizar para formar modelos con valores booleanos que luego son equivalentes a extensiones genéricas por el poset forzado dado.
- El álgebra de todos los subconjuntos medibles de un espacio de medidas σ-finitas , conjuntos módulo nulo , es un álgebra booleana completa. Cuando el espacio de medida es el intervalo unitario con el σ-álgebra de conjuntos mensurables de Lebesgue, el álgebra de Boole se llama álgebra aleatoria .
- El álgebra booleana de todos los conjuntos de Baire conjuntos módulo escasos en un espacio topológico con una base contable está completa; cuando el espacio topológico son los números reales, el álgebra a veces se llama álgebra de Cantor .
Álgebras booleanas no completas
- El álgebra de todos los subconjuntos de un conjunto infinito que son finitos o tienen complemento finito es un álgebra booleana pero no es completa.
- El álgebra de todos los subconjuntos medibles de un espacio de medidas es un álgebra booleana completa ℵ 1 , pero generalmente no es completa.
- Otro ejemplo de álgebra booleana que no es completa es el álgebra booleana P(ω) de todos los conjuntos de números naturales , cociente por el fin ideal de subconjuntos finitos. El objeto resultante, denotado P(ω)/Fin, consta de todas las clases de equivalencia de conjuntos de naturales, donde la relación de equivalencia relevante es que dos conjuntos de naturales son equivalentes si su diferencia simétrica es finita. Las operaciones booleanas se definen de manera análoga, por ejemplo, si A y B son dos clases de equivalencia en P(ω)/Fin, definimos como la clase de equivalencia de , donde a y b son algunos (cualesquiera) elementos de A y B respectivamente. .
- Ahora sean a 0 , a 1 , … conjuntos infinitos separados por pares de naturales, y sean A 0 , A 1 , … sus correspondientes clases de equivalencia en P(ω)/Fin. Entonces, dado cualquier límite superior X de A 0 , A 1 , … en P(ω)/Fin, podemos encontrar un límite superior menor , eliminando de un representante de X un elemento de cada a n . Luego los An no tienen supremo.
Propiedades de las álgebras booleanas completas
- Cada subconjunto de un álgebra booleana completa tiene un supremo, por definición; de ello se deduce que cada subconjunto también tiene un mínimo (máximo límite inferior).
- Para un álgebra booleana completa, ambas leyes distributivas infinitas se cumplen si y sólo si es isomorfa al conjunto de potencias de algún conjunto. [ cita necesaria ]
- Para un álgebra booleana completa se cumplen infinitas leyes de De Morgan.
- Un álgebra booleana es completa si y sólo si su espacio Stone de ideales primos está extremadamente desconectado .
- El teorema de extensión de Sikorski establece que si A es una subálgebra de un álgebra de Boole B , entonces cualquier homomorfismo de A a un álgebra de Boole completa C puede extenderse a un morfismo de B a C.
La realización de un álgebra booleana.
La finalización de un álgebra de Boole se puede definir de varias formas equivalentes:
- La finalización de A es (hasta el isomorfismo) la única álgebra booleana completa B que contiene A tal que A es densa en B ; esto significa que por cada elemento distinto de cero de B hay un elemento más pequeño distinto de cero de A .
- La finalización de A es (hasta el isomorfismo) el único álgebra booleana completa B que contiene A tal que cada elemento de B es el supremo de algún subconjunto de A.
La finalización de un álgebra booleana A se puede construir de varias maneras:
- La finalización es el álgebra booleana de conjuntos abiertos regulares en el espacio de Stone de ideales primos de A. Cada elemento x de A corresponde al conjunto abierto de ideales primos que no contienen x (que es abierto y cerrado y, por tanto, regular).
- La terminación es el álgebra booleana de cortes regulares de A. Aquí un corte es un subconjunto U de A + (los elementos distintos de cero de A ) tal que si q está en U y p ≤ q entonces p está en U , y se llama regular si siempre que p no está en U hay algún r ≤ p tal que U no tiene elementos ≤ r . Cada elemento p de A corresponde al corte de elementos ≤ p .
Si A es un espacio métrico y B es su compleción, entonces cualquier isometría de A a un espacio métrico completo C puede extenderse a una isometría única de B a C. La afirmación análoga para álgebras booleanas completas no es cierta: un homomorfismo de un álgebra booleana A a un álgebra booleana completa C no necesariamente puede extenderse a un homomorfismo (preservante supremo) de álgebras booleanas completas desde la terminación B de A a C. (Según el teorema de extensión de Sikorski, se puede extender a un homomorfismo de álgebras booleanas de B a C , pero en general no será un homomorfismo de álgebras booleanas completas; en otras palabras, no es necesario que preserve la supremacía).
Álgebras booleanas κ-completas libres
A menos que se relaje el axioma de elección , [1] las álgebras booleanas completas y libres generadas por un conjunto no existen (a menos que el conjunto sea finito). Más precisamente, para cualquier cardinal κ, existe un álgebra booleana completa de cardinalidad 2 κ mayor que κ que se genera como un álgebra booleana completa mediante un subconjunto contable; por ejemplo, el álgebra booleana de conjuntos abiertos regulares en el espacio producto κ ω , donde κ tiene la topología discreta. Un conjunto generador contable consta de todos los conjuntos a m , n para m , n enteros, que constan de los elementos x ∊ κ ω tales que x ( m ) < x ( n ). (Esta álgebra booleana se llama álgebra de colapso , porque al forzarla se colapsa el cardinal κ sobre ω.)
En particular, el funtor olvidadizo de álgebras booleanas completas a conjuntos no tiene adjunto izquierdo , aunque es continuo y la categoría de álgebras booleanas es pequeña-completa. Esto muestra que la "condición del conjunto de soluciones" del teorema del funtor adjunto de Freyd es necesaria.
Dado un conjunto X , se puede formar el álgebra booleana libre A generada por este conjunto y luego completarlo B. Sin embargo, B no es un álgebra booleana completa "libre" generada por X (a menos que X sea finito o se omita AC), porque una función de X a un álgebra booleana libre C no puede, en general, extenderse a un morfismo (que preserva el supremo) de Álgebras booleanas de B a C.
Por otro lado, para cualquier cardinal fijo κ, existe un álgebra booleana κ-completa libre (o universal) generada por cualquier conjunto dado.
Ver también
Referencias
- ^ Stavi, Jonathan (1974), "Un modelo de ZF con un álgebra booleana completa, libre e infinita", Israel Journal of Mathematics , 20 (2): 149–163, doi :10.1007/BF02757883, S2CID 119543439.
- Johnstone, Peter T. (1982), Espacios de piedra , Cambridge University Press, ISBN 0-521-33779-8
- Koppelberg, Sabine (1989), Monk, J. Donald; Bonnet, Robert (eds.), Manual de álgebras de Boole , vol. 1, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., págs. xx+312, ISBN 0-444-70261-X, SEÑOR 0991565
- Monje, J. Donald; Bonnet, Robert, eds. (1989), Manual de álgebras de Boole , vol. 2, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87152-7, SEÑOR 0991595
- Monje, J. Donald; Bonnet, Robert, eds. (1989), Manual de álgebras de Boole , vol. 3, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87153-5, señor 0991607
- Vladimirov, DA (2001) [1994], "Álgebra booleana", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
