El axioma de elección contable o axioma de elección numerable , denotado AC ω , es un axioma de la teoría de conjuntos que establece que toda colección contable de conjuntos no vacíos debe tener una función de elección . Es decir, dada una función A con dominio N (donde N denota el conjunto de los números naturales ) tal que A ( n ) es un conjunto no vacío para cada n ∈ N , existe una función f con dominio N tal que f ( n ) ∈ A ( n ) para cada n ∈ N .
El axioma de elección contable (AC ω ) es estrictamente más débil que el axioma de elección dependiente (DC), (Jech 1973), que a su vez es más débil que el axioma de elección (AC). Paul Cohen demostró que AC ω no es demostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin el axioma de elección (Potter 2004). AC ω se cumple en el modelo de Solovay .
ZF+AC ω es suficiente para demostrar que la unión de muchos conjuntos contables es contable. La afirmación inversa "asumiendo ZF, 'toda unión contable de conjuntos contables es contable' implica AC ω " no se cumple, como lo atestigua el Primer Modelo de Cohen . [1] ZF+AC ω también es suficiente para demostrar que todo conjunto infinito es infinito de Dedekind (de manera equivalente: tiene un subconjunto infinito contable).
AC ω es particularmente útil para el desarrollo de análisis , donde muchos resultados dependen de tener una función de elección para una colección contable de conjuntos de números reales . Por ejemplo, para demostrar que cada punto de acumulación x de un conjunto S ⊆ R es el límite de alguna secuencia de elementos de S \ { x }, se necesita (una forma débil de) el axioma de elección contable. Cuando se formula para puntos de acumulación de espacios métricos arbitrarios , la declaración se vuelve equivalente a AC ω . Para otras afirmaciones equivalentes a AC ω , consulte Herrlich (1997) y Howard & Rubin (1998).
Un error común es que la elección contable tiene una naturaleza inductiva y, por lo tanto, es demostrable como un teorema (en ZF, o sistemas similares, o incluso más débiles) por inducción. Sin embargo, éste no es el caso; este error es el resultado de confundir la elección contable con la elección finita para un conjunto finito de tamaño n (para n arbitrario ), y es este último resultado (que es un teorema elemental en combinatoria) el que se puede demostrar por inducción. Sin embargo, se puede demostrar que algunos conjuntos infinitamente numerables de conjuntos no vacíos tienen una función de elección en ZF sin ninguna forma de axioma de elección. Por ejemplo, V ω − {Ø } tiene una función de elección, donde V ω es el conjunto de conjuntos hereditariamente finitos , es decir, el primer conjunto en el universo de Von Neumann de rango no finito. La función de elección es (trivialmente) el elemento menor en el buen ordenamiento. Otro ejemplo es el conjunto de intervalos abiertos propios y acotados de números reales con puntos finales racionales.
Como ejemplo de una aplicación de AC ω , aquí hay una prueba (de ZF + AC ω ) de que todo conjunto infinito es infinito de Dedekind:
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