En el campo matemático de la teoría de categorías , la categoría de conjuntos , denotada como Conjunto , es la categoría cuyos objetos son conjuntos . Las flechas o morfismos entre los conjuntos A y B son las funciones totales de A a B , y la composición de morfismos es la composición de funciones .
Muchas otras categorías (como la categoría de grupos , con homomorfismos de grupos como flechas) añaden estructura a los objetos de la categoría de conjuntos y/o restringen las flechas a funciones de un tipo particular.
Los axiomas de una categoría son satisfechos por Conjunto porque la composición de funciones es asociativa , y porque cada conjunto X tiene una función identidad id X : X → X que sirve como elemento identidad para la composición de funciones.
Los epimorfismos en Set son los mapas sobreyectivos , los monomorfismos son los mapas inyectivos y los isomorfismos son los mapas biyectivos .
El conjunto vacío sirve como objeto inicial en Set con funciones vacías como morfismos. Cada singleton es un objeto terminal , con funciones que asignan todos los elementos de los conjuntos de origen al único elemento de destino como morfismos. Por lo tanto, no hay objetos cero en Set .
La categoría Conjunto es completa y co-completa . El producto en esta categoría está dado por el producto cartesiano de conjuntos. El coproducto está dado por la unión disjunta : dados los conjuntos A i donde i varía sobre un conjunto índice I , construimos el coproducto como la unión de A i ×{ i } (el producto cartesiano con i sirve para asegurar que todos los componentes permanezcan disjuntos).
Un conjunto es el prototipo de una categoría concreta ; las demás categorías son concretas si están "construidas sobre" un conjunto de alguna manera bien definida.
Cada conjunto de dos elementos sirve como clasificador de subobjetos en Set . El objeto potencia de un conjunto A está dado por su conjunto potencia , y el objeto exponencial de los conjuntos A y B está dado por el conjunto de todas las funciones de A a B . Set es, por tanto, un topos (y en particular cartesiano cerrado y exacto en el sentido de Barr ).
El conjunto no es abeliano , ni aditivo ni preaditivo .
Todo conjunto no vacío es un objeto inyectivo en el conjunto . Todo conjunto es un objeto proyectivo en el conjunto (suponiendo el axioma de elección ).
Los objetos finitamente presentables de Set son los conjuntos finitos. Puesto que cada conjunto es un límite directo de sus subconjuntos finitos, la categoría Set es una categoría localmente finitamente presentable .
Si C es una categoría arbitraria, los funtores contravariantes de C a Set son a menudo un objeto de estudio importante. Si A es un objeto de C , entonces el funtor de C a Set que envía X a Hom C ( X , A ) (el conjunto de morfismos en C de X a A ) es un ejemplo de tal funtor. Si C es una categoría pequeña (es decir, la colección de sus objetos forma un conjunto), entonces los funtores contravariantes de C a Set , junto con las transformaciones naturales como morfismos, forman una nueva categoría, una categoría de funtor conocida como la categoría de prehaces en C .
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la colección de todos los conjuntos no es un conjunto; esto se desprende del axioma de fundamento . Uno se refiere a las colecciones que no son conjuntos como clases propias . No se pueden tratar las clases propias como se tratan los conjuntos; en particular, no se puede escribir que esas clases propias pertenecen a una colección (ya sea un conjunto o una clase propia). Esto es un problema porque significa que la categoría de conjuntos no se puede formalizar directamente en este contexto. Las categorías como Conjunto cuya colección de objetos forma una clase propia se conocen como categorías grandes , para distinguirlas de las categorías pequeñas cuyos objetos forman un conjunto.
Una forma de resolver el problema es trabajar en un sistema que otorgue estatus formal a las clases propias, como la teoría de conjuntos NBG . En este contexto, se dice que las categorías formadas a partir de conjuntos son pequeñas y las que se forman a partir de clases propias (como Set ) son grandes .
Otra solución es suponer la existencia de universos de Grothendieck . En términos generales, un universo de Grothendieck es un conjunto que es en sí mismo un modelo de ZF(C) (por ejemplo, si un conjunto pertenece a un universo, sus elementos y su conjunto potencia pertenecerán al universo). La existencia de universos de Grothendieck (distintos del conjunto vacío y el conjunto de todos los conjuntos finitos hereditarios ) no está implícita en los axiomas habituales de ZF; es un axioma adicional e independiente, aproximadamente equivalente a la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles . Suponiendo este axioma adicional, se pueden limitar los objetos de Set a los elementos de un universo particular. (No hay un "conjunto de todos los conjuntos" dentro del modelo, pero aún se puede razonar sobre la clase U de todos los conjuntos internos, es decir, elementos de U ).
En una variación de este esquema, la clase de conjuntos es la unión de toda la torre de universos de Grothendieck. (Esta es necesariamente una clase propia , pero cada universo de Grothendieck es un conjunto porque es un elemento de algún universo de Grothendieck más grande). Sin embargo, no se trabaja directamente con la "categoría de todos los conjuntos". En cambio, los teoremas se expresan en términos de la categoría Conjunto U cuyos objetos son los elementos de un universo de Grothendieck suficientemente grande U , y luego se muestra que no dependen de la elección particular de U. Como base para la teoría de categorías , este enfoque se adapta bien a un sistema como la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck en la que no se puede razonar directamente sobre clases propias; su principal desventaja es que un teorema puede ser verdadero para todos los conjuntos U pero no para los conjuntos .
Se han propuesto otras soluciones y variaciones de las anteriores. [1] [2] [3]
Los mismos problemas surgen con otras categorías concretas, como la categoría de grupos o la categoría de espacios topológicos .
