Versor cuaterniónico
La rotación tridimensional correspondiente tiene un ángulo de 2a alrededor del eje
, y el vector unitario resultante se denomina versor recto.
La norma de un versor siempre es igual a uno; por lo tanto, ocupan la 3-esfera unitaria en
De particular importancia son los versores rectos, que tienen ángulo π/2.
Los generadores i, j, y k son ejemplos de versores rectos, al igual que sus inversos aditivos.
Para cualquier plano fijo Π, el cociente de dos vectores unitarios que yacen en Π depende únicamente del ángulo (dirigido) entre ellos, el mismo a que en la representación de vector unitario–ángulo explicada arriba.
Por eso puede resultar natural entender los versores correspondientes como arcos dirigidos que conectan pares de vectores unitarios y yacen sobre un círculo máximo formado por la intersección de Π con la esfera unitaria, donde el plano Π pasa por el origen.
[1] Tal arco, aunque yace en el espacio tridimensional, no representa el trayecto de un punto rotando como se describe con el producto sandwichado con el versor.
Es una rotación alrededor del vector correspondiente r, que es perpendicular a Π.
Por lo tanto, siempre se puede mover el punto B y el vector correspondiente a uno de estos puntos de manera que el inicio del segundo arco sea el mismo que el final del primer arco.
, y el automorfismo interno, por conmutatividad, se reduce a la identidad en ese plano.
forman un subgrupo isomorfo al grupo del círculo.
Dados dos versores fijos u y v, la aplicación
Una línea elíptica a través del versor u es
es un subgrupo de un parámetro que es isomorfo al grupo del círculo.
tienen norma uno, por lo que están en G. Junto con Q8, estos cuaterniones de Hurwitz unitarios forman un grupo G2 de orden 24 llamado grupo binario tetraédrico.
Otro subgrupo está formado por 120 icosianos, que se multiplican de acuerdo con el grupo binario icosaédrico.
Fue en el álgebra de tesarines, descubierta por James Cockle en 1848, donde aparecieron por primera vez los versores hiperbólicos.
Este versor fue usado por Homersham Cox (1882/1883) en relación con la multiplicación de cuaterniones.
[11] Macfarlane percibió el poder de los versores hiperbólicos al operar en el plano de números complejos partidos, y en 1891 introdujo los cuaterniones hiperbólicos para extender el concepto al espacio 4-dimensional.
lleva la línea real a un grupo de versores hiperbólicos u ordinarios.
En el caso ordinario, cuando r y −r son antípodas en una esfera, los grupos de un parámetro tienen los mismos puntos, pero están dirigidos en sentidos opuestos.
En física, este aspecto de la simetría rotacional se denomina doblete.
[13] Sophus Lie tenía menos de un año cuando Hamilton describió por primera vez los cuaterniones, pero el nombre de Lie se ha asociado con todos los grupos generados por exponentiación.
El conjunto de versores con su multiplicación ha sido denotado como Sl(1,q) por (Gilmore, 1974).
La palabra deriva del latín versari = "girar" con el sufijo -or que forma un sustantivo a partir del verbo (es decir, versor = "el que gira").
El término "versor" se generaliza en la álgebra geométrica para indicar un elemento
del álgebra que puede expresarse como el producto de vectores invertibles,
en álgebra geométrica puede usarse para representar el resultado de
Una rotación puede considerarse el resultado de dos reflexiones, por lo que un versor cuaterniónico
