Producto vectorial
En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional.
El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.
Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.
Como el producto punto, depende del métrico del espacio euclídeo, pero a diferencia del producto punto, también depende de una elección de orientación (o "mano") del espacio (por eso se necesita un espacio orientado).
En relación con el producto cruzado, el producto exterior de vectores puede utilizarse en dimensiones arbitrarias (con un resultado bivector o forma diferencial) y es independiente de la orientación del espacio.
El producto se puede generalizar de varias maneras, utilizando la orientación y la estructura métrica al igual que para el producto cruzado tradicional de 3 dimensiones, uno puede, en n dimensiones, tomar el producto de n - 1 vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos.
Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, sólo existe en tres y siete dimensiones.
[1] Sin embargo, el «producto cruzado en siete dimensiones» tiene propiedades indeseables; por ejemplo, no satisface la identidad de Jacobi, por lo que no se utiliza en física matemática para representar cantidades como el espacio-tiempo multidimensional.
, por ello se lo llama también producto cruz.
En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:[3]
A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.
y definido por las tres exigencias siguientes: Sean los vectores concurrentes de
, el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto: Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así: donde la última fórmula se interpreta como: esto es: Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares): Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de
es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
se calcula del siguiente modo: Expandiendo el determinante: Dando como resultado:
efectuando el producto escalar y verificando que este es nulo (condición de perpendicularidad de vectores) Cualesquiera que sean los vectores
es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes condiciones: Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra magnitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia.
Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.
denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores, y
tres vectores, que no se encuentran en el mismo plano y que forman tres lados de un paralelepípedo.
Como anteriormente vimos en este artículo, el área de un paralelogramo (la base del paralelepípedo) se define por el producto vectorial de dos vectores
es un vector perpendicular a este, por lo tanto, es necesario obtener la proyección de
podemos decir que la altura está dada por:
El volumen de un paralelepípedo está definido como un triple producto escalar.
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, este puede generalizarse a n dimensiones, con n ≠ 0, 1, y solo tendrá sentido si se usan n-1 vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté.
Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado solo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.
Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto entre ellos: El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y directa.
El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado producto mixto de tres vectores.
, el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo espacio vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un vector perpendicular a dicho plano.
