Esfera de Bloch
Su nombre alude al físico suizo Felix Bloch.
En este caso, como se mostrará después, la esfera de Bloch ya no es una esfera, pero posee una estructura geométrica conocida como espacio simétrico.
Como consecuencia forman una base del mismo.
Tales estados resultan ser autovectores de la proyección del operador de espín ½ sobre la dirección que determinan los dos puntos.
Dicho operador se expresa empleando las matrices de Pauli, y todo sistema cuántico de dos niveles puede equipararse al caso de espín ½.
, mientras que el punto opuesto (0,0,-1) corresponde al autovector con autovalor negativo.
En la terminología de computación cuántica, empleada al tratar los qubits, ambos estados se designan por
Estos estados en terminología de espín ½ pueden designarse por
Lo dicho para los puntos sobre el eje Z vale para los otros ejes empleando en cada caso la matriz de Pauli correspondiente.
Cualquier punto de la esfera de Bloch es un estado cuántico o qubit que se puede expresar como: -
son números reales tales que
Un qubit se puede representar como una combinación lineal de los estados
pueden ser números complejos, los cuales podemos escribir en forma exponencial:
Entonces hemos caracterizado el qubit en términos de cuatro parámetros reales.
Sin embargo, las únicas cantidades medibles son las probabilidades
, entonces multiplicar este estado por un factor arbirtrario
(una fase global) no tiene consecuencias observables, ya que:
y de forma similar para
Así, que podemos multiplicar libremente nuestro estado por
, reduciendo el número de parámetros a tres.
corresponde a una esfera unitaria en el espacio real
Esto nos sugiere que se puede representar el estado
Estos puntos se escriben en términos de los ángulos
Esta última expresión corresponde a los estados sobre el ecuador de nuestra esfera.
Esto sugiere que en realidad basta
Es decir que todos los estados debajo del ecuador son el negativo de algún estado por encima del ecuador.
Para no repetir los estados sobre la esfera, cambiamos la expresión
De tal manera que todos los puntos sobre la esfera corresponden a algún único estado distinto.
Por ejemplo la puerta lógica cuántica que realiza la transformación de Hadamard, se describe por la matriz
Así puede comprobarse visualmente que la transformación de Hadamard lleva el punto de coordenadas cartesianas (1,0,0) al punto (0,0,1), lo que corresponde a la expresión analítica
