Teoría del orden
Una lista de asuntos sobre orden recoge los artículos que existen en relación con esta teoría El orden aparece por todas partes, por lo menos si se trata de matemáticas y áreas relacionadas, tales como la informática.
Este concepto intuitivo es fácilmente extendido a otros conjuntos de números, tal como los enteros y reales.
Un ejemplo simple de una propiedad orden teórica viene del análisis donde encontramos con frecuencia a las funciones monótonas.
Esta sección tiene como objetivo dar una primera guía al reino de los conjuntos ordenados.
Por lo tanto consideremos algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que: Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, o, en breve, poset (del inglés partially ordered set).
Antes de proceder con más ejemplos y definiciones, será provechoso poder exhibir un orden de una manera gráfica conveniente, para proporcionar un "cuadro" que uno pueda tener en mente (o en papel) cuando se intente acceder a conceptos más abstractos.
Para este propósito se han introducidos los, así llamados, diagramas de Hasse.
Los órdenes se dibujan de abajo hacia arriba: si un elemento x es menor que y entonces existe una trayectoria de x hasta y que se dirige hacia arriba.
Aún los conjuntos infinitos pueden a veces ser ilustrados por diagramas similares, usando puntos suspensivos (...) después de dibujar un suborden finito que sea lo suficientemente instructivo.
Sin embargo, frecuentemente se obtiene una intuición relacionada con diagramas de este tipo.
Pueden no existir los elementos "mínimo" o "máximo", como demuestra el ejemplo de los números reales.
Formalmente, un elemento m es minimal si: Intercambiando ≤ con ≥ obtenemos la definición de maximal.
Una vez más, en los posets no siempre hay infinitos elementos maximales - el conjunto de todos los subconjuntos finitos en un conjunto infinito dado, ordenado por inclusión de subconjuntos, proporciona uno, entre muchos, contraejemplo.
Hay también elementos de un poset que son especiales con respecto a cierto subconjunto del orden.
Este concepto desempeña un papel importante en muchos usos de la teoría del orden.
Observe, sin embargo, que todos esos símbolos pueden no tener símbolo de tamaño correspondiente al de la fuente del texto estándar y, por tanto, se prefiere utilizarlos en líneas adicionales.
Esto da el, así llamado, orden dual, inverso u opuesto.
Dada la simetría de todos los conceptos, esta operación preserva los teoremas del orden parcial.
Esto es importante y útil, puesto que uno obtiene dos teoremas al precio de uno.
Más detalle y ejemplos se pueden encontrar en el artículo sobre dualidad en teoría de orden.
Todas estas propiedades, y de hecho muchas más, pueden ser agrupadas bajo la etiqueta función que preserva límite.
Los preórdenes pueden ser convertidos en órdenes identificando todo elemento equivalente con respecto a esta relación.
Centrándose en este aspecto, generalmente referido como completitud de órdenes, se obtiene: Sin embargo, uno puede ir incluso más allá: si todo ínfimo finito no vacío existe, entonces ^ puede ser visto como una operación binaria total en el sentido del álgebra universal.
Ambas estructuras desempeñan un papel en lógica matemática y especialmente las álgebras de Boole tienen importante uso en informática.
Según lo ya mencionado, los métodos y el formalismo del álgebra universal son una herramienta importante para muchas consideraciones orden teóricas.
Además, los operadores de clausura son importantes en el estudio del álgebra universal.
Especialmente, es interesante considerar topologías en un poset (X, ≤) que reobtiene ≤ como su orden de especialización.
Por ejemplo, una función preserva supremos dirigidos si y sólo si es continuo con respecto a la topología de Scott (por este razón esta propiedad orden teórica es también llamada continuidad de Scott).
Más en general, uno puede subsumir supremos e ínfimos bajo la noción abstracta de un límite categórico (o colímite, respectivamente).
Clases de posets con funciones apropiadas según lo discutido arriba forman interesantes categorías.
