Retículo (matemáticas)

de elementos tiene un único supremo (o extremo superior) eny un único ínfimo (o extremo inferior) enEn teoría de conjuntos, un retículo es un conjunto parcialmente ordenado en el cual, para cada par de elementos, existen un supremo y un ínfimo, esto es: Un conjunto parcialmente ordenado (L, ≤) se denomina retículo si satisface las siguientes propiedades: El supremo y el ínfimo de a y b se denotan porAmbas operaciones son monótonas con respecto al orden: a1 ≤ a2 y b1 ≤ b2 implica que a1Se sigue por inducción matemática que para todo subconjunto finito no vacío de un retículo existen un supremo y un ínfimo.Nótese que aún en un conjunto parcialmente ordenado (L, ≤) arbitrario, la existencia de algún supremo (o ínfimo) z para un subconjunto finito no vacío S de L implica que este supremo (o ínfimo) z es único, puesto que de existir dos o más cotas superiores (o inferiores) de S que sean incomparables entre sí, el supremo (o ínfimo) por definición no existe.En álgebra, en sentido inverso, un retículo es un conjunto L, provisto de dos operaciones binarias, tales que para cualesquiera a, b, c en L se cumplen Si las dos operaciones satisfacen estas reglas algebraicas, entonces a su vez definen un orden parcial ≤ en L por la regla siguiente: a ≤ b si y solo si aInversamente, si se da un retículo (L, ≤) en términos de la teoría del orden, y escribimos a) satisface todos los axiomas de un retículo definido algebraicamente.Por tanto L es un semirretículo con respecto a cada operación por separado, es decir, un semigrupo conmutativo, con idempotencia de cada uno de sus elementos.N tal que: para todo a y b en L. Si es un homomorfismo biyectivo, entonces su inverso es también un homomorfismo, y se llama un isomorfismo de retículos.Los dos retículos implicados son entonces isomorfos; para todos los propósitos prácticos, son iguales y se diferencian solamente en la notación de sus elementos.Cada homomorfismo es una función monótona entre los dos retículos, pero no cada función monótona da un homomorfismo de retículo: además necesitamos la compatibilidad con supremos e ínfimos finitos.Un retículo L se denomina distributivo, si sus operaciones son doblemente distributivas: Como estos dos juicios son equivalentes entre sí, basta exigir el cumplimiento de una de las dos leyes distributivas.Un retículo L se denomina modular, si se cumple que: Para un retículo L a su vez son equivalentes: Todo retículo distributivo es modular, pero el juicio inverso no se cumple.tenga un elemento neutro 1, a este se lo denomina el 'elemento uno' del retículo.Un retículo se denomina acotado si tiene cota superior e inferior, es decir, si ambas operaciones tienen elemento neutro.Para un elemento dado a de un retículo acotado, al elemento b con la propiedad se lo denomina complemento de a.Para cada subconjunto M basta exigir la existencia del supremo, ya que Un elemento a de un retículo completo L se denomina compacto (según una propiedad similar en topología), si todo subconjunto M de L con contiene un subconjunto finito E tal que Un retículo L se denomina algebraico, si es completo y si todo elemento de L es un supremo de elementos compactos.Todo retículo completo L es acotado, con Todo retículo finito, no vacío L es completo, por lo que también es acotado.Sin embargo, si el retículo no es distributivo, pueden existir diversos complementos; va un ejemplo más adelante.En un retículo distributivo acotado se verifica Si a tiene un complemento ¬a, entonces también ¬a tiene un complemento, que es: Para otras propiedades de los retículos booleanos véase ese artículo.El retículo de los números naturales, ordenados por divisibilidad, es también distributivo.Dos ejemplos fundamentales de retículos no distributivos son el pentágono,que se obtiene de agregarle un elemento mínimo y un máximo a la anticadena de tres elementos.Obviamente si hacemos esto con una anticadena de n elementos, obtendremos el retículoLos anteriores ejemplos son fundamentales en la medida en que cualquier retículo no distributivo está caracterizado por contener como subretículo a una copia deUn elemento x de L se llama supremo-irreducible si y solo si Cuando la primera condición se generaliza a supremos arbitrarios Vai, x se llama totalmente supremo-irreducible.Un elemento x de L se llama supremo-primo si y solo si Una vez más esto se puede generalizar para obtener la noción totalmente supremo-primo y dualizar para ínfimo-primo.