Como consecuencia del teorema de Tíjonov, este producto, y por tanto la bola unidad en su interior, es compacto.
La mayor parte de resultados del análisis funcional también se basa en ZFC.
La bola unidad cerrada de X* es compacta con respecto a la topología débil*.
Esto es una motivación para tener diferentes topologías en un mismo espacio dado que en contraste la bola unidad en la topología de norma es compacta si y solo si el espacio es finito-dimensional, debido al lema de Riesz.
De hecho, la topología débil* sobre la bola unidad cerrada del dual de un espacio separable es metrizable, y por tanto compacidad y compacidad sucesional son equivalentes.
Específicamente, sea X un espacio normado separable y B la bola unidad cerrada en X∗.
Dado que X es separable, sea {xn} un subconjunto denso numerable.
en el dual de un espacio vectorial normado separable X, una estrategia habitual es construir primero una sucesión minimizadora
El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización desarrollada por Bourbaki a topologías duales en espacios localmente convexos.
Para todo x en X, sea y Dado que cada Dx es un subconjunto compacto del plano complejo, D es también compacto en la topología producto por el teorema de Tíjonov.
Como consecuencia, B(H) tiene la propiedad de Heine-Borel, si tiene el operador débil o la topología ultradébil.