En matemáticas, un operador de clase traza o un operador de traza finita es un operador compacto para el cual la traza está definida (en ese caso la traza es un número finito y no depende de la base elegida).
Parafraseando la definición de la traza para matrices, un operador lineal acotado A definido sobre un espacio de Hilbert separable H se llama de clase traza o de traza finita si para alguna base ortonormal {ek}k de H la suma de términos positivos:
Este valor se denomina traza de A.
Cuando H es de dimensión finita, entonces, cualquier operador definido sobre él es acotado y es de traza finita (resultando en ese caso la traza coincidente con la traza de una matriz que represente al operador en una base dada).
Por extensión, si A es un operador autoadjunto y no negativo, se puede definir la traza de A como el número real extendido dado por la suma, posiblemente divergente:
es un producto escalar sobre la clase traza; la norma asociada se llama norma de Hilbert-Schmidt.
los elementos del espectro de
; la condición de clase traza sobre
garantiza que el producto infinito es igual a un número finito, de hecho:
se enumeran contabilizando multiplicidades algebraicas, entonces el teorema de Lidskii (llamado así por Victor Borisovich Lidskii) afirma que:
Nótese que la serie a la izquierda es absolutamente convergente debido a la desigualdad de Weyl:
En este caso los operadores de clase traza son el análogo no conmutativo de los espacios
De hecho, aplicando el teorema espectral, todo operador normal de clase traza sobre un espacio de Hilbert separable se puede realizar como una sucesión en
De la misma manera: Hasta cierto punto las relaciones entre las diferentes clases de operadores son similares a las relaciones existentes entre sus contrapartes conmutativas.
Téngase en cuenta que todo operador compacto T definido en un espacio de Hilbert puede escribirse como:
para dos bases ortonormales {ui} y {vi}, formalizando lo anterior de manera más precisa: La caracterización anterior permite establecer fácilmente algunos hechos que relacionan esas clases de operadores.
Por ejemplo, se tiene la siguiente cadena de inclusiones (si el espacio de Hilbert es de dimensión infinita son inclusiones propias): {rango finito} ⊂ {clase de traza} ⊂ {tipo Hilbert-Schmidt} ⊂ {compacto}.
Los operadores de clase de traza forman un espacio vectorial normado con la norma:
Los operadores de Hilbert-Schmidt admiten la norma vectorial:
Los operadores acotados admiten también la norma:
Estas tres normas satisfacen la siguiente cadena de desigualdades:
Otro hecho interesante es que los operadores de rango finito constituyen un subconjunto denso tanto en el conjunto de operadores de Hilbert-Schmidt como en el conjunto de los operadores de clase traza (con topología definida por las normas anteriores).
El espacio dual topológico del espacio vectorial de sucesiones de números reales convergentes
es el espacio de sucesiones tales que la serie asociada es absolutamente convergente
El argumento, que esbozamos a continuación es reminiscente del correspondiente argumento de espacios vectoriales de sucesiones.
y se asocia a f con el operador Tf definido por:
donde Sx,y es el operador de rango 1 dado por: Esta identificación funciona porque los operadores de rango finito forman un conjunto denso en
En el caso de que Tf sea un operador positivo, se tiene para cualquier base ortonormal ui, one has
donde I es el operador identidad: Aunque esto implica que Tf es de clase de traza.
Además puede probarse mediante un argumento basado en operadores de rango finito que