El Lema de Riesz (por Frigyes Riesz ) es un lema del análisis funcional.
Especifica condiciones que garantizan que un subespacio en un espacio vectorial normado sea denso.
El lema también puede denominarse lema de Riesz o desigualdad de Riesz.
Puede verse como un sustituto de la ortogonalidad cuando el espacio normado no es un espacio producto interno .
un subespacio propio cerrado de un espacio normado
cualquier número real que satisface
es un espacio de Banach reflexivo entonces esta conclusión también es cierta cuando
[1] La prueba se puede encontrar en textos de análisis funcional como Kreyszig.
[2] Está disponible una prueba en línea del Prof.
El lema de Riesz garantiza que para cualquier dado
cada espacio normado de dimensión infinita contiene una secuencia
de vectores unitarios (distintos) que satisfacen
y al mismo tiempo todos se encuentran en la esfera unitaria.
Tal secuencia infinita de vectores no se puede encontrar en la esfera unitaria de ningún espacio normado de dimensión finita (considérese, por ejemplo, el círculo unitario en
Esta secuencia se puede construir por inducción para cualquier constante
Comience eligiendo cualquier elemento
y (usando el lema de Riesz) elija
de la esfera unitaria tal que esta secuencia
no contiene una subsecuencia convergente, lo que implica que la bola unitaria cerrada no es compacta.
El lema de Riesz se puede aplicar directamente para demostrar que la bola unitaria de un espacio normado de dimensión infinita
Esto se puede utilizar para caracterizar espacios normados de dimensión finita: si
es de dimensión finita si y sólo si la bola unitaria cerrada en
Las propiedades espectrales de los operadores compactos que actúan sobre un espacio de Banach son similares a las de las matrices.
El lema de Riesz es esencial para establecer este hecho.