Grupo de permutaciones
No es necesario que los elementos de M aparezcan en ningún orden especial en la primera fila, por lo que la misma permutación también podría escribirse como Las permutaciones también suelen escribirse en notación cíclica (forma cíclica)[5] de modo que dado el conjunto M = {1, 2, 3, 4}, una permutación g de M con g(1) = 2, g(2) = 4, g(4) = 1 y g(3) = 3 se escribirá como (1 , 2, 4)(3), o más comúnmente, (1, 2, 4), ya que 3 no se modifica; si los objetos se denotan con letras o dígitos, también se pueden prescindir de comas y espacios, y resulta una notación como (124).
es la función que asigna cualquier elemento x del conjunto a
Téngase en cuenta que la permutación situada más a la derecha se aplica primero al argumento, debido a la forma en que se escribe la composición de las funciones.
[8] [9] [10] Sin embargo, esto proporciona una regla "diferente" para multiplicar permutaciones.
Esta convención se usa comúnmente en la literatura sobre grupos de permutaciones, pero este artículo usa la convención donde la permutación más a la derecha se aplica primero.
En consecuencia, el producto se puede escribir como la primera fila de la primera permutación sobre la segunda fila de la segunda permutación modificada.
Por ejemplo, dadas las permutaciones, el producto QP es: La composición de las permutaciones, cuando están escritas en notación cíclica, se obtiene yuxtaponiendo las dos permutaciones (con la segunda escrita a la izquierda) y luego simplificando a una forma de ciclo disjunta si se desea.
Por lo tanto, los productos de dos o más permutaciones generalmente se escriben sin agregar paréntesis para expresar agrupaciones.
También suelen escribirse sin punto u otro signo para indicar la multiplicación (los puntos del ejemplo anterior se agregaron para dar énfasis a su expresión, por lo que simplemente se escribirían como
En la notación de dos líneas, la inversa se puede obtener intercambiando las dos líneas (y ordenando las columnas si se desea que la primera línea esté en un orden determinado).
Considérese el siguiente conjunto G1 de permutaciones del conjunto M = {1, 2, 3, 4}: G1 forma un grupo, ya que aa = bb = e, ba = ab y abab = e.
Considerar que los vértices de un cuadrado estén etiquetados como 1, 2, 3 y 4 (en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del cuadrado comenzando con 1 en la esquina superior izquierda).
Las simetrías están determinadas por las imágenes de los vértices, que a su vez pueden describirse mediante permutaciones.
[12] Sea G un grupo y M un conjunto no vacío.
[12] Cualquier homomorfismo de este tipo se denomina representación (permutación) de G sobre M. Para cualquier grupo de permutación, la acción que aplica (g, x) → g(x) se llama acción natural de G en M. Esta es la acción que se asume, a menos que se indique lo contrario.
Sin embargo, este grupo también induce una acción sobre el conjunto de cuatro triángulos del cuadrado, que son: t1 = 234, t2 = 134, t3 = 124 y t4 = 123.
Un grupo de permutación G que actúa transitivamente sobre un conjunto finito no vacío M es imprimitivo si existe alguna partición no trivial del conjunto M que se conserva mediante la acción de G, donde "no trivial" significa que la partición no es la partición en conjuntos unitarios ni la partición en una sola parte.
Por ejemplo, el grupo de simetrías de un cuadrado no es primitivo en los vértices: si están numerados 1, 2, 3, 4 en orden cíclico, entonces cada elemento del grupo conserva la partición {{1, 3}, {2, 4}} en pares opuestos.
Por otra parte, el grupo simétrico completo en un conjunto M es siempre primitivo.
En particular, existe una acción regular dada por la multiplicación (izquierda) en el grupo.
Denotar los elementos de este grupo por e, a, b y c = ab = ba.
[15] El caso especial en el que G= H y ψ es la identidad da lugar al concepto de acciones equivalentes de un grupo.
[16] En el ejemplo de las simetrías de un cuadrado dado anteriormente, la acción natural sobre el conjunto {1,2,3,4} es equivalente a la acción sobre los triángulos.
El interés en los grupos oligomórficos se basa en parte en su aplicación a la teoría de modelos, como por ejemplo, cuando se consideran automorfismos en las teorías contablemente categóricas.
[20] Las propias permutaciones habían sido estudiados intensamente por Joseph-Louis Lagrange en 1770 en su trabajo sobre las soluciones algebraicas de ecuaciones polinómicas.
El libro de Jordan, a su vez, se basó en los artículos dejados por Évariste Galois en 1832.
