Grupo del cubo de Rubik

que representa la estructura del rompecabezas mecánico llamado cubo de Rubik.es la composición de movimientos del cubo, correspondiente al resultado de realizar un movimiento del cubo tras otro.Para caracterizar el grupo del cubo de Rubik, se etiqueta cada una de las 48 facetas no centrales con los números enteros del 1 al 48.generado por las seis permutaciones correspondientes a los seis movimientos del cubo en el sentido de las agujas del reloj.se refiere a la composición de dos permutaciones.Dentro del cubo, esto se refiere a combinar dos secuencias de movimientos del cubo, una tras otra.El grupo del cubo de Rubik es no abeliano, ya que la composición de los movimientos del cubo no es commutativa: realizar dos secuencias de movimientos del cubo en un orden diferente puede dar como resultado una configuración diferente.Un cubo resuelto tiene todas las facetas de cada cara del mismo color.[3]​ Una faceta central gira alrededor de su eje pero, por lo demás, permanece en la misma posición.A continuación se utiliza la notación descrita en resolver el cubo de Rubik.La orientación de las seis facetas centrales es fija.Más concretamente, es posible etiquetar las facetas no centrales con los números del 1 al 48, y luego identificar las seis rotaciones de caras como elementos del grupo simétrico S48 según cómo cada movimiento permuta las distintas facetas.A pesar de ser tan grande, el algoritmo de Dios para el cubo de Rubik es 20; es decir, cualquier posición se puede resolver en 20 o menos movimientos[3]​ (donde un medio giro se cuenta como un solo movimiento; si un medio giro se cuenta como dos cuartos de giro, entonces el número de Dios es 26[5]​).El orden más grande de un elemento en G es 1260.Por ejemplo, uno de esos elementos de orden 1260 es G es no abeliano (es decir, no todos los movimientos en el cubo conmutan entre sí) ya que, por ejemplo,Este grupo es un subgrupo normal de G. Puede representarse como el cierre normal de algunos movimientos que voltean algunos bordes o giran algunas esquinas.Por ejemplo, es el cierre normal de los dos movimientos siguientes: En segundo lugar, se toma el subgrupoPara este subgrupo hay varias opciones, dependiendo de la forma precisa en que se defina la "orientación".[nota 2]​ Una opción es el siguiente grupo, dado por generadores (el último generador es un ciclo de 3 en los bordes): Dado que Co es un subgrupo normal y la intersección de Co y Cp es la identidad y su producto es el grupo de cubos completo, se deduce que el grupo de cubos G es el producto semidirecto de estos dos grupos, o en notación matemática A continuación se puede echar un vistazo más de cerca a estos dos grupos.), y en cada caso todos menos uno pueden rotarse libremente, pero estas rotaciones determinan la orientación del último.Al notar que hay 8 esquinas y 12 aristas, y que todos los grupos de rotación son abelianos, se obtiene la estructura anterior.Las permutaciones de cubos, Cp, son un poco más complicadas.Tienen los siguientes dos subgrupos normales disjuntos: el grupo de permutaciones pares en las esquinas A8 y el grupo de permutaciones pares en las aristas A12.Resulta que estos generan todas las permutaciones posibles, lo que significa que Juntando todas las piezas resulta que el grupo de cubos es isomorfo a Este grupo también puede describirse como el producto subdirecto en la notación de Griess.El grupo de simetría del cubo de Rubik obtenido al desmontarlo y volver a montarlo es ligeramente mayor: concretamente es el producto directo El primer factor se debe únicamente a las rotaciones de las piezas centrales, el segundo únicamente a las simetrías de las esquinas y el tercero únicamente a las simetrías de los bordes.Los dos últimos factores son ejemplos de grupo simétrico generalizado, que a su vez son ejemplos de producto en corona.No hay ningún factor para la reorganización de las caras centrales, porque en prácticamente todos los modelos del cubo de Rubik, reorganizar estas caras es imposible con un simple desmontaje.Los grupos simples que aparecen como cocientes en la serie de composición del grupo de cubos estándar (es decir, ignorando las rotaciones de la pieza central) son[6]​ La cifra se calculó contando el número de clases de conjugación pares e impares en los grupos de bordes y esquinas por separado y luego multiplicándolos, asegurando que la paridad total sea siempre par.Se debe tener especial cuidado al contar las llamadas clases de conjugación "sensibles a la paridad", cuyos elementos siempre difieren cuando se conjugan con cualquier elemento par frente a cualquier elemento impar.