Tiene muchas aplicaciones en teoría de cribas.
Lleva el nombre de Peter D. T. A. Elliott y Heini Halberstam, quienes formularon la conjetura en 1968.
[1] Enunciar la conjetura requiere algo de notación.
, la función contador de números primos, que consiste en el número de primos menores o iguales que
son números coprimos, entonces se establece que
denota el número de primos menores o iguales a
que son iguales a
El Teorema de Dirichlet afirma que donde
es la función φ de Euler.
Si luego se define la función de error donde el máximo se toma sobre todo coprimo desde
por Enrico Bombieri[2] y Askold Vinográdov[3] (según el teorema de Bombieri-Vinográdov, a veces conocido simplemente como "teorema de Bombieri"); este resultado ya es bastante útil, siendo una forma promediada de la hipótesis generalizada de Riemann.
Se sabe que la conjetura falla en el punto final
[4] La conjetura de Elliott-Halberstam tiene varias consecuencias.
Una de ellas, bastante sorprendente, es el resultado anunciado por Dan Goldston, János Pintz y Cem Yıldırım,[5][6] que muestra (asumiendo esta conjetura) que hay infinitos pares de números primos que difieren como máximo en 16.