Conjeturas de Mersenne

Debido al tamaño de estos números, Mersenne no pudo probarlos todos, ni tampoco otros matemáticos del siglo XVII.1989) establece que para cualquier número natural impar p, si se cumplen dos de las siguientes condiciones , entonces también lo hace el tercero: Si p es un número compuesto impar, entonces 2p − 1 y (2p + 1)/3 son ambos compuestos.Por lo tanto, solo es necesario probar números primos para verificar la verdad de la conjetura.Actualmente, los números conocidos para los que se cumplen las tres condiciones son: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (sucesión A107360 en OEIS).89 y 107, que Mersenne pasó por alto, satisfacen la segunda condición pero no las otras dos.Sin embargo, según Robert D. Silverman,[3]​ John Selfridge estuvo de acuerdo en que la nueva conjetura de Mersenne es "obviamente cierta", ya que fue elegida para ajustarse a los datos conocidos, y contraejemplos más allá de esos casos son extremadamente improbables.Renaud Lifchitz ha demostrado que la nueva conjetura de Mersenne es cierta para todos los números enteros menores o iguales a 32582656[4]​ al probar sistemáticamente todos los números primos para los que ya se sabe que se cumple una de las condiciones.La página web Prime Numbers[5]​ documenta la verificación de resultados hasta este número.Otra página de estado actualmente más actualizada es The New Mersenne Prime conjecture.Más generalmente, el número de primos p ≤ y tales que