Número primo gemelo
A partir de 2007, dos proyectos de computación distribuida, Twin Prime Search y PrimeGrid, han producido varios números primos gemelos récord.
A agosto de 2022, el par primo gemelo más grande conocido es 2996863034895 · 21290000 ± 1,[1] con 388.342 dígitos decimales.
En otras palabras, p no es parte de un par primo gemelo.
Por ejemplo, 23 es un número primo aislado, ya que 21 y 25 son ambos compuestos.
Los primeros primos aislados son Del teorema de Brun se deduce que casi todos los primos están aislados en el sentido de que la relación entre el número de primos aislados menores que un umbral dado n y el número de todos los primos menores que n tiende a 1 cuando n tiende a infinito.
Calculando los primos gemelos hasta 1014 (y al mismo tiempo descubriendo el error de división del Intel Pentium), Thomas Nicely estimó la constante de Brun en 1,902160578.
La versión revisada del argumento de Brun se puede usar para demostrar que el número de primos gemelos menores que N no excede para alguna constante absoluta C > 0.
, donde C2 es la constante prima gemela, dada en la primera conjetura de Hardy-Littlewood.
Este resultado fue mejorando sucesivamente, y en 1986 Helmut Maier demostró que existe una constante c < 0.25.
En 2004 Daniel Goldston y Cem Yıldırım demostraron que la constante podría mejorarse aún más a c = 0.085786… En 2005, Goldston, János Pintz y Yıldırım establecieron que c se puede elegir para que sea arbitrariamente pequeño,[13][14], es decir, Por otro lado, este resultado no descarta que no haya infinitos intervalos que contengan dos números primos si solo se permite que los intervalos crezcan en tamaño como, por ejemplo, c ln ln p. Al asumir la conjetura de Elliott–Halberstam o una versión un poco más débil, pudieron demostrar que hay infinitos n tales que al menos dos de n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18, o n + 20 son primos.
En 1849, de Polignac hizo la conjetura más general de que para cada número natural k, hay infinitos números primos p tales que p + 2k también es primo.
[19] Terence Tao posteriormente propuso un esfuerzo colaborativo en el Polymath Project para optimizar el límite de Zhang.
Además (consúltese también la siguiente sección), asumiendo la conjetura de Elliott–Halberstam y su forma generalizada, el wiki del proyecto Polymath establece que el límite es 12 y 6, respectivamente.
La primera conjetura completamente general de Hardy-Littlewood sobre K-tuplas primas (que no se proporciona aquí) implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood es falsa.
La conjetura de Polignac de 1849 establece que por cada entero par positivo k, hay infinitos pares primos consecutivos p y p′ tales que p′ − p = k (es decir, hay infinitas diferencias entre primos consecutivos de tamaño k).
La conjetura aún no se ha probado ni refutado para ningún valor específico de k, pero el resultado de Zhang prueba que es cierta para al menos un valor (actualmente desconocido) de k. De hecho, si tal k no existiera, entonces para cualquier número natural par positivo N hay como máximo un número finito de n tales que pn+1 − pn = m para todo m < N y así para n suficientemente grande se tiene que pn+1 − pn > N, lo que contradiría el resultado de Zhang.
