La conjetura de Buniakovski[1] da un criterio para que un polinomio
de una variable con coeficientes enteros pudiera generar infinitos valores primos incluidos en la secuencia
Las siguientes tres condiciones son necesarias para que
tenga la propiedad de generar números primos buscada: La conjetura de Buniakovski es que estas condiciones son suficientes:[2] si
es primo para infinitos números enteros positivos
es primo para al menos un entero positivo
Esto se puede ver considerando la secuencia de polinomios
Se necesita la primera condición porque si el coeficiente principal es negativo, entonces
tengan máximo común divisor 1, es obviamente necesaria, pero es algo sutil y se comprende mejor con un contraejemplo.
, que tiene un coeficiente principal positivo y es irreducible, y los coeficientes son coprimos entre sí; sin embargo,
, por lo que es primo solo un número finito de veces (es decir, cuando
En la práctica, la forma más sencilla de verificar la tercera condición es encontrar un par de números enteros positivos
Usando esta fórmula del máximo común divisor, se puede probar que
Un ejemplo de la conjetura de Buniakovski es el polinomio f(x)=x2+1, para el cual se enumeran a continuación algunos valores primos.
A pesar de la extensa evidencia numérica, no se sabe que esta secuencia se extienda indefinidamente.
satisfacen las tres condiciones de la conjetura de Buniakovski, por lo que para todo k, debe haber infinitos números naturales n tales que
Se puede demostrar [cita requerida] que si para todo k, existe un entero n>1 con
primo, entonces para todo k, hay infinitos números naturales n con
La siguiente secuencia da el número natural más pequeño n> 1 tal que
Este caso de la conjetura de Buniakovski es ampliamente aceptado, pero nuevamente no se sabe si la secuencia se extiende indefinidamente.
Por lo general, hay un número entero 2≤n≤φ(k) tal que
es primo (téngase en cuenta que el grado de
son enteros coprimos, existen infinitos números primos
La tercera condición en la conjetura de Buniakovski para un polinomio lineal
No se ha probado un solo caso de la conjetura de Buniakovski para un grado mayor que 1, aunque la evidencia numérica en grados más altos es consistente con la conjetura.
Dados k≥1 polinomios con grados positivos y coeficientes enteros, cada uno satisfaciendo las tres condiciones, supóngase que para cualquier primo p existe un n tal que ninguno de los valores de los k polinomios en n son divisibles por p. Dados estos supuestos, se conjetura que hay infinitos números enteros positivos n tales que todos los valores de estos k polinomios en x=n son primos.
Debe tenerse en cuenta que los polinomios {x, x+ 2, x+ 4} no satisfacen el supuesto, ya que uno de sus valores debe ser divisible por 3 para cualquier número entero x=n.
Tampoco {x, x2+ 2}, ya que uno de los valores debe ser divisible por 3 para cualquier x=n.
Por otro lado, {x2+1, 3x-1, x2+x+41} satisfacen el supuesto, y la conjetura implica que los polinomios tienen valores primos simultáneos para infinitos números enteros positivos x=n.
A excepción del Teorema de Dirichlet, no se ha probado ningún caso de la conjetura, incluidos los casos anteriores.