Para un conjunto de m polinomios irreducibles distintos ƒ1, ..., ƒm con coeficientes enteros, una condición necesaria obvia para que los polinomios generen simultáneamente valores primos infinitamente a menudo es que satisfagan la condición de Bunyakovsky, de que no existe un número primo p que divida su producto f(n) por todo entero positivo n. Porque, si hubiera tal primo p, que tuviera todos los valores de los polinomios simultáneamente primos para un n dado implicaría que al menos uno de ellos debe ser igual a p, lo que solo debe ocurrir para un número finito de valores de n, o habría un polinomio con un número infinito de raíces, mientras que la conjetura implica dar condiciones para que los valores sean simultáneamente primos para un número infinito de n. Un entero n genera primos para el sistema dado de polinomios si cada polinomio ƒi(n) produce un número primo cuando se le da n como argumento.
para todos los primos p, por lo que cada factor en el producto infinito C es positivo.
Como se indicó anteriormente, la conjetura no es cierta: el polinomio único ƒ1(x) = −x produce solo números negativos cuando se le da un argumento positivo, por lo que la fracción de números primos entre sus valores es siempre cero.
Hay dos formas igualmente válidas de refinar la conjetura para evitar esta dificultad: Es razonable permitir que los números negativos cuenten como primos como un paso hacia la formulación de conjeturas más generales que se aplican a otros sistemas de números distintos de los enteros, pero al mismo tiempo es fácil simplemente rechazar estos polinomios si es necesario para centrarse en el caso en el que los coeficientes principales son positivos.
Si el sistema de polinomios consta del polinomio único ƒ1(x) = x, entonces los valores n para los que ƒ1 (n) es primo son ellos mismos los números primos, y la conjetura se convierte en una reformulación del teorema de los números primos.