Conjetura de Cramér

En teoría de números, la conjetura de Cramér, formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936,[1]​ dice que donde pn denota el n-ésimo número primo y "log" denota el logaritmo natural.

Esta conjetura aún no ha sido demostrada ni refutada, y es improbable que lo sea en un futuro cercano.

Se fundamenta en un modelo probabilístico (en esencia, una heurística) de los números primos, en el cual se presupone que la probabilidad de que un número natural sea primo es

De ahí, se puede demostrar que la conjetura es cierta con probabilidad uno.

[2]​ Shanks conjeturó la igualdad asintótica de diferencias maximales entre primos consecutivos, un enunciado más fuerte.

[3]​ También Cramér formuló otra conjetura sobre diferencias entre primos consecutivos: que demostró presuponiendo la (aún por demostrar) hipótesis de Riemann.

Andrew Granville conjeturó en 1995[5]​ que existe una cota

Nicely[6]​ ha calculado muchas diferencias grandes entre primos consecutivos.

«Para las mayores diferencias maximales que se conocen», dice, «R se ha mantenido cerca de 1,13», lo que muestra que, al menos entre los números que ha observado, el refinamiento de Granville de la conjetura de Cramér parece ajustarse bien a los datos.

Cramér dio un prueba condicional de una declaración mucho más débil, que implica que en el supuesto de que se cumpliera la hipótesis de Riemann.

[1]​ El postulado incondicional más conocido es el que indica que debido a Baker, Harman y Pintz.

Es decir,[8]​ Su resultado fue mejorado por Robert Alexander Rankin,[9]​ que demostró que Paul Erdős conjeturó que el lado izquierdo de la fórmula anterior es infinito, y esto fue probado en 2014 por Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin y Terence Tao.

[1]​ Sin embargo, como señaló Andrew Granville,[12]​ el teorema de Maier demuestra que el modelo aleatorio de Cramér no describe adecuadamente la distribución de primos en intervalos cortos.

Por ello, un refinamiento del modelo de Cramér teniendo en cuenta la divisibilidad por pequeños primos sugiere que

János Pintz ha sugerido que el límite superior puede ser infinito,[13]​ y de manera similar Leonard Adleman y Kevin McCurley escribieron que: Daniel Shanks conjeturó la siguiente igualdad asintótica, más fuerte que la conjetura de Cramér,[15]​ para la separación entre primos: J.H.

Cadwell[16]​ propuso la siguiente fórmula para las separaciones máximas: que es formalmente idéntica a la conjetura de Shanks, pero que sugiere un término de orden inferior.

Marek Wolf[17]​ propuso la siguiente fórmula para las separaciones máximas expresadas en términos de la función contador de números primos

grande también es asintóticamente equivalente a las conjeturas de Cramér y Shanks:

Thomas Nicely ha localizado numerosos saltos entre primos consecutivos de gran longitud.