Cuadrilátero

Polígono de cuatro lados y cuatro esquinas.

En geometría un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados , que tiene cuatro aristas (lados) y cuatro esquinas (vértices). La palabra se deriva de las palabras latinas quadri , una variante de cuatro, y latus , que significa "lado". También se le llama tetrágono , derivado del griego "tetra" que significa "cuatro" y "gon" que significa "esquina" o "ángulo", en analogía con otros polígonos (por ejemplo, pentágono ). Dado que "gon" significa "ángulo", de manera análoga se le llama cuadrilátero o 4 ángulos. Un cuadrilátero con vértices , y a veces se denota como . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \square ABCD}$

Los cuadriláteros son simples (no se cruzan entre sí) o complejos (se cruzan entre sí o se cruzan). Los cuadriláteros simples son convexos o cóncavos .

Los ángulos interiores de un cuadrilátero ABCD simple (y plano ) suman 360 grados de arco , es decir ^[1]

${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.}$

Este es un caso especial de la fórmula de suma de ángulos interiores de n -gón: S = ( n − 2) × 180°. ^[2]

Todos los cuadriláteros que no se cruzan automáticamente forman mosaicos en el plano , mediante rotación repetida alrededor de los puntos medios de sus bordes. ^[3]

Cuadriláteros simples

Cualquier cuadrilátero que no se interseca a sí mismo es un cuadrilátero simple.

cuadrilátero convexo

Diagrama de Euler de algunos tipos de cuadriláteros simples. (Reino Unido) indica inglés británico y (EE. UU.) indica inglés americano.

Cuadriláteros convexos por simetría, representados con un diagrama de Hasse .

En un cuadrilátero convexo todos los ángulos interiores miden menos de 180° y las dos diagonales se encuentran dentro del cuadrilátero.

• Cuadrilátero irregular ( inglés británico ) o trapecio ( inglés norteamericano ): ningún lado es paralelo. (En inglés británico, esto alguna vez se llamó trapezoide . Para obtener más información, consulte Trapezoid § Trapezium vs Trapezoid ).
• Trapecio (Reino Unido) o trapezoide (EE.UU.): al menos un par de lados opuestos son paralelos . Los trapecios (Reino Unido) y los trapecios (EE. UU.) incluyen paralelogramos.
• Trapecio isósceles (Reino Unido) o trapecio isósceles (EE. UU.): un par de lados opuestos son paralelos y los ángulos de la base tienen la misma medida. Las definiciones alternativas son un cuadrilátero con un eje de simetría que biseca un par de lados opuestos, o un trapezoide con diagonales de igual longitud.
• Paralelogramo : cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Las condiciones equivalentes son que los lados opuestos tengan la misma longitud; que los ángulos opuestos son iguales; o que las diagonales se bisequen entre sí. Los paralelogramos incluyen rombos (incluidos los rectángulos llamados cuadrados) y romboides (incluidos los rectángulos llamados oblongos). En otras palabras, los paralelogramos incluyen todos los rombos y todos los romboides y, por tanto, también incluyen todos los rectángulos.
• Rombo , rombo: ^[1] los cuatro lados tienen la misma longitud (equiláteros). Una condición equivalente es que las diagonales se bisequen perpendicularmente. Informalmente: "un cuadrado empujado" (pero incluyendo estrictamente un cuadrado también).
• Romboide : un paralelogramo en el que los lados adyacentes tienen longitudes desiguales y algunos ángulos son oblicuos (equivalente a no tener ángulos rectos). Informalmente: "un oblongo empujado". No todas las referencias coinciden; algunos definen un romboide como un paralelogramo que no es un rombo. ^[4]
• Rectángulo : los cuatro ángulos son rectos (equiángulos). Una condición equivalente es que las diagonales se bisequen entre sí y tengan la misma longitud. Los rectángulos incluyen cuadrados y oblongos. Informalmente: "una caja u oblongo" (incluido un cuadrado).
• Cuadrado (cuadrilátero regular): los cuatro lados tienen la misma longitud (equilátero) y los cuatro ángulos son ángulos rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos sean paralelos (un cuadrado es un paralelogramo) y que las diagonales se bisequen perpendicularmente y tengan la misma longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y sólo si es a la vez un rombo y un rectángulo (es decir, cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
• Oblongo: más largo que ancho o más ancho que largo (es decir, un rectángulo que no es un cuadrado). ^[5]
• Cometa : dos pares de lados adyacentes tienen la misma longitud. Esto implica que una diagonal divide la cometa en triángulos congruentes , por lo que los ángulos entre los dos pares de lados iguales tienen la misma medida. También implica que las diagonales son perpendiculares. Las cometas incluyen rombos.

• Cuadrilátero tangencial : los cuatro lados son tangentes a un círculo inscrito. Un cuadrilátero convexo es tangencial si y sólo si los lados opuestos tienen sumas iguales.
• Trapecio tangencial : trapezoide cuyos cuatro lados son tangentes a un círculo inscrito .
• Cuadrilátero cíclico : los cuatro vértices se encuentran en un círculo circunscrito . Un cuadrilátero convexo es cíclico si y sólo si los ángulos opuestos suman 180°.
• Cometa derecha : cometa con dos ángulos rectos opuestos. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
• Cuadrilátero armónico : cuadrilátero cíclico tal que los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales.
• Cuadrilátero bicéntrico : es a la vez tangencial y cíclico.
• Cuadrilátero ortodiagonal : las diagonales se cruzan formando ángulos rectos .
• Cuadrilátero equidiagonal : las diagonales tienen la misma longitud.
• Cuadrilátero extangencial : las cuatro extensiones de los lados son tangentes a una excircunferencia .
• Un cuadrilátero equilátero tiene dos lados iguales opuestos que cuando se extienden se encuentran a 60°.
• Un cuadrilátero de Watt es un cuadrilátero con un par de lados opuestos de igual longitud. ^[6]
• Un cuadrilátero cuádrico es un cuadrilátero convexo cuyos cuatro vértices se encuentran todos en el perímetro de un cuadrado. ^[7]
• Un cuadrilátero diametral es un cuadrilátero cíclico que tiene uno de sus lados como diámetro del círculo circunstante. ^[8]
• Un cuadrilátero de Hjelmslev es un cuadrilátero con dos ángulos rectos en vértices opuestos. ^[9]

cuadriláteros cóncavos

En un cuadrilátero cóncavo, un ángulo interior mide más de 180° y una de las dos diagonales está fuera del cuadrilátero.

• Un dardo (o punta de flecha) es un cuadrilátero cóncavo con simetría bilateral como una cometa, pero donde un ángulo interior es reflejo. Ver cometa .

Cuadriláteros complejos

Un antiparalelogramo

Un cuadrilátero que se interseca a sí mismo se denomina de diversas formas cuadrilátero cruzado , cuadrilátero cruzado , cuadrilátero de mariposa o cuadrilátero de pajarita . En un cuadrilátero cruzado, los cuatro ángulos "interiores" a cada lado del cruce (dos agudos y dos reflejos , todos a la izquierda o todos a la derecha como se traza la figura) suman 720°. ^[10]

• Trapecio cruzado (EE.UU.) o trapecio (Commonwealth): ^[11] un cuadrilátero cruzado en el que un par de lados no adyacentes son paralelos (como un trapezoide ).
• Antiparalelogramo : cuadrilátero cruzado en el que cada par de lados no adyacentes tienen longitudes iguales (como un paralelogramo ).
• Rectángulo cruzado : un antiparalelogramo cuyos lados son dos lados opuestos y las dos diagonales de un rectángulo , por lo que tiene un par de lados opuestos paralelos.
• Cuadrado cruzado : un caso especial de rectángulo cruzado donde dos de los lados se cruzan en ángulos rectos.

Segmentos de línea especiales

Las dos diagonales de un cuadrilátero convexo son los segmentos de recta que conectan vértices opuestos.

Las dos bimedianas de un cuadrilátero convexo son los segmentos de recta que conectan los puntos medios de lados opuestos. ^[12] Se cruzan en el "centroide del vértice" del cuadrilátero (ver § Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo a continuación).

Las cuatro maltitudes de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado, pasando por el punto medio del lado opuesto. ^[13]

Área de un cuadrilátero convexo

Existen varias fórmulas generales para el área K de un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD y d = DA .

Fórmulas trigonométricas

El área se puede expresar en términos trigonométricos como ^[14]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,}$

donde las longitudes de las diagonales son p y q y el ángulo entre ellas es θ . ^[15] En el caso de un cuadrilátero ortodiagonal (por ejemplo, rombo, cuadrado y cometa), esta fórmula se reduce a que θ es 90° . ${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$

El área también se puede expresar en términos de bimedianas como ^[16]

${\displaystyle K=mn\sin \varphi ,}$

donde las longitudes de las bimedianas son myn y el ángulo entre ellas es φ .

La fórmula de Bretschneider ^{[17] [14]} expresa el área en términos de los lados y dos ángulos opuestos:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{aligned}}}$

donde los lados en secuencia son a , b , c , d , donde s es el semiperímetro y A y C son dos (de hecho, dos cualesquiera) ángulos opuestos. Esto se reduce a la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, cuando A + C = 180° .

Otra fórmula de área en términos de lados y ángulos, con el ángulo C entre los lados b y c , y A entre los lados a y d , es

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.}$

En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

En un paralelogramo, donde ambos pares de lados y ángulos opuestos son iguales, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

Alternativamente, podemos escribir el área en términos de los lados y el ángulo de intersección θ de las diagonales, siempre que θ no sea 90° : ^[18]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Otra fórmula de área que incluye los lados a , b , c , d es ^[16]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales y φ es el ángulo entre las bimedianas.

La última fórmula del área trigonométrica que incluye los lados a , b , c , d y el ángulo α (entre a y b ) es: ^[19]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},}$

que también se puede usar para el área de un cuadrilátero cóncavo (que tiene la parte cóncava opuesta al ángulo α ), simplemente cambiando el primer signo + por - .

Fórmulas no trigonométricas

Las siguientes dos fórmulas expresan el área en términos de los lados a , b , cyd , el semiperímetro s y las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$ ^[20]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$ ^[21]

El primero se reduce a la fórmula de Brahmagupta en el caso del cuadrilátero cíclico, ya que pq = ac + bd .

El área también se puede expresar en términos de las bimedianas m , n y las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$ ^[22]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$ ^{[23] : Thm. 7}

De hecho, tres de los cuatro valores m , n , p y q son suficientes para determinar el área, ya que en cualquier cuadrilátero los cuatro valores están relacionados por ^{[24] : p. 126} Las expresiones correspondientes son: ^[25] ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

si se dan las longitudes de dos bimedianas y una diagonal, y ^[25]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

si se dan las longitudes de dos diagonales y una bimediana.

Fórmulas vectoriales

El área de un cuadrilátero ABCD se puede calcular mediante vectores . Sean los vectores AC y BD las diagonales de A a C y de B a D. Entonces el área del cuadrilátero es

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}$

que es la mitad de la magnitud del producto cruzado de los vectores AC y BD . En el espacio euclidiano bidimensional, expresando el vector AC como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ( x ₁ , y ₁ ) y BD como ( x ₂ , y ₂ ) , esto se puede reescribir como:

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

Diagonales

Propiedades de las diagonales en cuadriláteros

En la siguiente tabla se indica si las diagonales de algunos de los cuadriláteros más básicos se bisecan entre sí, si sus diagonales son perpendiculares y si sus diagonales tienen la misma longitud. ^[26] La lista se aplica a los casos más generales y excluye subconjuntos nombrados.

• Nota 1: Los trapecios y trapecios isósceles más generales no tienen diagonales perpendiculares, pero hay un número infinito de trapecios y trapecios isósceles (no similares) que sí tienen diagonales perpendiculares y no tienen ningún otro cuadrilátero con nombre.
• Nota 2: En una cometa, una diagonal divide a la otra. La cometa más general tiene diagonales desiguales, pero hay un número infinito de cometas (no similares) en las que las diagonales tienen la misma longitud (y las cometas no son ningún otro cuadrilátero con nombre).

Longitudes de las diagonales.

Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero convexo ABCD se pueden calcular usando la ley de los cosenos en cada triángulo formado por una diagonal y dos lados del cuadrilátero. De este modo

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

Otras fórmulas más simétricas para las longitudes de las diagonales son ^[27]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Generalizaciones de la ley del paralelogramo y el teorema de Ptolomeo.

En cualquier cuadrilátero convexo ABCD , la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento de recta que conecta los puntos medios de las diagonales. De este modo

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales. ^{[24] : p.126} Esto a veces se conoce como teorema del cuadrilátero de Euler y es una generalización de la ley del paralelogramo .

El matemático alemán Carl Anton Bretschneider derivó en 1842 la siguiente generalización del teorema de Ptolomeo , respecto al producto de las diagonales en un cuadrilátero convexo ^[28]

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Esta relación puede considerarse como una ley de cosenos para un cuadrilátero. En un cuadrilátero cíclico , donde A + C = 180°, se reduce a pq = ac + bd . Dado que cos ( A + C ) ≥ −1, también da una prueba de la desigualdad de Ptolomeo.

Otras relaciones métricas

Si X e Y son los pies de las normales desde B y D a la diagonal AC = p en un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , entonces ^{[29] : p. 14}

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

En un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , y donde las diagonales se cortan en E ,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

donde e = AE , f = BE , g = CE y h = DE . ^[30]

La forma y el tamaño de un cuadrilátero convexo están completamente determinados por las longitudes de sus lados en secuencia y de una diagonal entre dos vértices específicos. Las dos diagonales p, q y las cuatro longitudes de los lados a, b, c, d de un cuadrilátero están relacionadas ^[14] por el determinante de Cayley-Menger , de la siguiente manera:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

Bisectrices de ángulo

Las bisectrices de ángulos internos de un cuadrilátero convexo forman un cuadrilátero cíclico ^{[24] : p.127} (es decir, los cuatro puntos de intersección de bisectrices de ángulos adyacentes son concíclicos ) o son concurrentes . En este último caso el cuadrilátero es un cuadrilátero tangencial .

En el cuadrilátero ABCD , si las bisectrices de A y C se cortan en la diagonal BD , entonces las bisectrices de B y D se cortan en la diagonal AC . ^[31]

bimedianas

El paralelogramo de Varignon EFGH

Las bimedianas de un cuadrilátero son los segmentos de recta que conectan los puntos medios de los lados opuestos. La intersección de las bimedianas es el centroide de los vértices del cuadrilátero. ^[14]

Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero (convexo, cóncavo o cruzado) son los vértices de un paralelogramo llamado paralelogramo de Varignon . Tiene las siguientes propiedades:

• Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal del cuadrilátero original.
• Un lado del paralelogramo de Varignon mide la mitad de la diagonal del cuadrilátero original al que es paralelo.
• El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto es cierto en los cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados, siempre que el área de este último se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos que lo componen. ^[32]
• El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
• Las diagonales del paralelogramo de Varignon son las bimedianas del cuadrilátero original.

Las dos bimedianas de un cuadrilátero y el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de ese cuadrilátero son concurrentes y todos están bisecados por su punto de intersección. ^{[24] : p.125}

En un cuadrilátero convexo de lados a , b , c y d , la longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los lados a y c es

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

donde p y q son la longitud de las diagonales. ^[33] La longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los lados b y d es

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

Por lo tanto ^{[24] : p.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Esto también es un corolario de la ley del paralelogramo aplicada en el paralelogramo de Varignon.

Las longitudes de las bimedianas también se pueden expresar en términos de dos lados opuestos y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se utiliza el teorema del cuadrilátero de Euler en las fórmulas anteriores. De donde ^[23]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

y

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Tenga en cuenta que los dos lados opuestos en estas fórmulas no son los dos que conecta la bimediana.

En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente conexión dual entre las bimedianas y las diagonales: ^[29]

• Las dos bimedianas tienen igual longitud si y sólo si las dos diagonales son perpendiculares .
• Las dos bimedianas son perpendiculares si y sólo si las dos diagonales tienen la misma longitud.

Identidades trigonométricas

Los cuatro ángulos de un cuadrilátero simple ABCD satisfacen las siguientes identidades: ^[34]

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+C)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+D)}$

y

${\displaystyle {\frac {\tan A\,\tan {B}-\tan C\,\tan D}{\tan A\,\tan C-\tan B\,\tan D}}={\frac {\tan(A+C)}{\tan(A+B)}}.}$

Además, ^[35]

${\displaystyle {\frac {\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}$

En las dos últimas fórmulas, no se permite que ningún ángulo sea recto , ya que tan 90° no está definido.

Sean , , , los lados de un cuadrilátero convexo, es el semiperímetro, y y son ángulos opuestos, entonces ^[36] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle ad\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}A+bc\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}C=(s-a)(s-d)}$

y

${\displaystyle bc\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}C+ad\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}A=(s-b)(s-c)}$.

Podemos utilizar estas identidades para derivar la fórmula de Bretschneider .

Desigualdades

Área

Si un cuadrilátero convexo tiene los lados consecutivos a , b , c , d y las diagonales p , q , entonces su área K satisface ^[37]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$con igualdad sólo para un rectángulo .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$con igualdad sólo para un cuadrado .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$con igualdad sólo si las diagonales son perpendiculares e iguales.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$con igualdad sólo para un rectángulo. ^[dieciséis]

De la fórmula de Bretschneider se deduce directamente que el área de un cuadrilátero satisface

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

con igualdad si y sólo si el cuadrilátero es cíclico o degenerado de modo que un lado es igual a la suma de los otros tres (se ha colapsado en un segmento de recta , por lo que el área es cero).

El área de cualquier cuadrilátero también satisface la desigualdad ^[38]

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Denotando el perímetro como L , tenemos ^{[38] : p.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

con igualdad sólo en el caso de un cuadrado.

El área de un cuadrilátero convexo también satisface

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

para longitudes diagonales p y q , con igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD de área K y diagonales AC = p , BD = q . Entonces ^[39]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)}$con igualdad sólo para un cuadrado.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con área K , entonces se cumple la siguiente desigualdad: ^[40]

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$con igualdad sólo para un cuadrado.

Diagonales y bimedianas

Un corolario del teorema del cuadrilátero de Euler es la desigualdad

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

donde la igualdad se cumple si y sólo si el cuadrilátero es un paralelogramo .

Euler también generalizó el teorema de Ptolomeo , que es una igualdad en un cuadrilátero cíclico , en una desigualdad para un cuadrilátero convexo. Se afirma que

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

donde hay igualdad si y sólo si el cuadrilátero es cíclico. ^{[24] : p.128–129} Esto a menudo se llama desigualdad de Ptolomeo .

En cualquier cuadrilátero convexo las bimedianas m, n y las diagonales p, q están relacionadas por la desigualdad

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

siendo la igualdad válida si y sólo si las diagonales son iguales. ^{[41] : Proposición 1} Esto se deriva directamente de la identidad del cuadrilátero ${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Lados

Los lados a , b , c y d de cualquier cuadrilátero satisfacen ^{[42] : p.228, #275}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}}$

y ^{[42] : p.234, #466}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.}$

Propiedades máximas y mínimas

Entre todos los cuadriláteros con un perímetro determinado , el que tiene mayor área es el cuadrado . Esto se llama teorema isoperimétrico para cuadriláteros . Es una consecuencia directa de la desigualdad del área ^{[38] : p.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}}$

donde K es el área de un cuadrilátero convexo con perímetro L. La igualdad se cumple si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado. El teorema dual establece que de todos los cuadriláteros con un área determinada, el cuadrado tiene el perímetro más corto.

El cuadrilátero con longitudes de lados dadas que tiene el área máxima es el cuadrilátero cíclico . ^[43]

De todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas, el cuadrilátero ortodiagonal tiene el área más grande. ^{[38] : p.119} Esto es una consecuencia directa del hecho de que el área de un cuadrilátero convexo satisface

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,}$

donde θ es el ángulo entre las diagonales p y q . La igualdad se cumple si y sólo si θ = 90°.

Si P es un punto interior en un cuadrilátero convexo ABCD , entonces

${\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.}$

De esta desigualdad se deduce que el punto dentro de un cuadrilátero que minimiza la suma de distancias a los vértices es la intersección de las diagonales. Por tanto, ese punto es el punto de Fermat de un cuadrilátero convexo. ^{[44] : pág.120}

Puntos y rectas notables en un cuadrilátero convexo.

El centro de un cuadrilátero se puede definir de varias formas diferentes. El "centroide de vértice" surge de considerar el cuadrilátero como vacío pero con masas iguales en sus vértices. El "centroide lateral" surge de considerar que los lados tienen masa constante por unidad de longitud. El centro habitual, llamado simplemente centroide (centro de área) surge de considerar la superficie del cuadrilátero como de densidad constante. Estos tres puntos en general no son todos el mismo punto. ^[45]

El "centroide del vértice" es la intersección de las dos bimedianas. ^[46] Como ocurre con cualquier polígono, las coordenadas xey del centroide del vértice son las medias aritméticas de las coordenadas xey de los vértices.

El "centroide de área" del cuadrilátero ABCD se puede construir de la siguiente manera. Sean G _a , G _b , G _c , G _d los centroides de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Entonces el "centroide de área" es la intersección de las líneas G _a G _c y G _b G _d . ^[47]

En un cuadrilátero convexo general ABCD , no existen analogías naturales con el circuncentro y el ortocentro de un triángulo . Pero dos de esos puntos pueden construirse de la siguiente manera. Sean O _a , O _b , O _c , O _d los circuncentros de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente; y denotamos por H _a , H _b , H _c , H _d los ortocentros en los mismos triángulos. Entonces, la intersección de las líneas O _a O _c y O _b O _d se llama cuasicircuncentro , y la intersección de las líneas H _a H _c y H _b H _d se llama cuasiortocentro del cuadrilátero convexo. ^[47] Estos puntos se pueden utilizar para definir una línea de Euler de un cuadrilátero. En un cuadrilátero convexo, el cuasiortocentro H , el "centroide de área" G y el cuasicircuncentro O son colineales en este orden, y HG = 2 GO . ^[47]

También se puede definir un centro de punto cuasinina E como la intersección de las líneas E _a E _c y E _b E _d , donde E _a , E _b , E _c , E _d son los centros de nueve puntos de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Entonces E es el punto medio de OH . ^[47]

Otra línea notable en un cuadrilátero convexo no paralelogramo es la línea de Newton , que conecta los puntos medios de las diagonales, siendo el segmento que conecta estos puntos bisecado por el centroide del vértice. Una línea más interesante (en cierto sentido dual a la de Newton ) es la línea que conecta el punto de intersección de las diagonales con el centroide del vértice. La línea es notable por el hecho de que contiene el centroide (área). El centroide del vértice divide el segmento que conecta la intersección de las diagonales y el centroide (área) en una proporción de 3:1. ^[48]

Para cualquier cuadrilátero ABCD con puntos P y Q las intersecciones de AD y BC y AB y CD respectivamente, las circunferencias (PAB), (PCD), (QAD) y (QBC) pasan por un punto común M , llamado Miquel. punto. ^[49]

Para un cuadrilátero convexo ABCD en el que E es el punto de intersección de las diagonales y F es el punto de intersección de las extensiones de los lados BC y AD , sea ω un círculo que pasa por E y F y que corta a CB internamente en M y DA internamente. en N. ​Dejemos que CA se encuentre con ω nuevamente en L y que DB se encuentre con ω nuevamente en K. Entonces se cumple: las rectas NK y ML se cortan en el punto P que se encuentra en el lado AB ; las rectas NL y KM se cruzan en el punto Q que se ubica en el lado CD . Los puntos P y Q se denominan "puntos Pascal" formados por el círculo ω de lados AB y CD . ^{[50] [51] [52]}

Otras propiedades de los cuadriláteros convexos

• Se dibujan cuadrados exteriores en todos los lados de un cuadrilátero. Los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos son (a) iguales en longitud y (b) perpendiculares . Así, estos centros son los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal . Esto se llama teorema de Van Aubel .
• Para cualquier cuadrilátero simple con longitudes de arista dadas, existe un cuadrilátero cíclico con las mismas longitudes de aristas. ^[43]
• Los cuatro triángulos más pequeños formados por las diagonales y lados de un cuadrilátero convexo tienen la propiedad de que el producto de las áreas de dos triángulos opuestos es igual al producto de las áreas de los otros dos triángulos. ^[53]

Taxonomía

Una taxonomía de cuadriláteros, utilizando un diagrama de Hasse .

La figura de la derecha ilustra una taxonomía jerárquica de cuadriláteros. Las clases bajas son casos especiales de clases superiores a las que están conectadas. Tenga en cuenta que "trapecio" aquí se refiere a la definición norteamericana (el equivalente británico es un trapecio). Se utilizan definiciones inclusivas en todo el libro.

Sesgar cuadriláteros

Los bordes laterales (rojos) del diefenoides tetragonal representan un cuadrilátero sesgado en zig-zag regular.

Un cuadrilátero no plano se llama cuadrilátero sesgado . Se derivaron fórmulas para calcular sus ángulos diédricos a partir de las longitudes de los bordes y el ángulo entre dos bordes adyacentes para trabajar en las propiedades de moléculas como el ciclobutano que contienen un anillo "arrugado" de cuatro átomos. ^[54] Históricamente, el término cuadrilátero torpe también se utilizó para referirse a un cuadrilátero sesgado. ^{[55] Un cuadrilátero sesgado junto con sus diagonales forman un} tetraedro (posiblemente no regular) y, a la inversa, cada cuadrilátero sesgado proviene de un tetraedro donde se elimina un par de aristas opuestas.

Ver también

• Cuadrilátero completo
• Construcción de la bisectriz perpendicular de un cuadrilátero.
• cuadrilátero de Saccheri
• Tipos de malla § Cuadrilátero
• Cuadrángulo (geografía)
• Homografía : cualquier cuadrilátero se puede transformar en otro cuadrilátero mediante una transformación proyectiva (homografía).

Referencias

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enlaces externos

• "Cuadrangle, completo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, colinealidad proyectiva y clasificación interactiva de cuadriláteros a partir de cortar el nudo
• Definiciones y ejemplos de cuadriláteros y Definición y propiedades de tetrágonos de Mathopenref
• Un árbol cuadrilátero jerárquico (dinámico) en bocetos de geometría dinámica
• Una clasificación ampliada de cuadriláteros Archivado el 30 de diciembre de 2019 en Wayback Machine en la página de inicio de Dynamic Math Learning Archivado el 25 de agosto de 2018 en Wayback Machine.
• El papel y la función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros por Michael de Villiers