trapezoide tangencial

Trapezoide cuyos lados son todos tangentes a la misma circunferencia.

Un trapezoide tangencial.

En geometría euclidiana , un trapezoide tangencial , también llamado trapezoide circunscrito , es un trapezoide cuyos cuatro lados son todos tangentes a un círculo dentro del trapezoide: el incírculo o círculo inscrito . Es el caso especial de un cuadrilátero tangencial en el que al menos un par de lados opuestos son paralelos . En cuanto a otros trapecios, los lados paralelos se llaman bases y los otros dos lados patas . Los catetos pueden ser iguales (ver trapezoide tangencial isósceles a continuación), pero no es necesario que lo sean.

Casos especiales

Ejemplos de trapecios tangenciales son los rombos y los cuadrados .

Caracterización

Si la circunferencia es tangente a los lados AB y CD en W e Y respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD es también un trapezoide con lados paralelos AB y CD si y sólo si ^{[1] : Thm. 2}

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {DY}}={\overline {BW}}\cdot {\overline {CY}}}$

y AD y BC son los lados paralelos de un trapezoide si y sólo si

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {BW}}={\overline {CY}}\cdot {\overline {DY}}.}$

Área

La fórmula para el área de un trapecio se puede simplificar usando el teorema de Pitot para obtener una fórmula para el área de un trapezoide tangencial. Si las bases tienen longitudes a, b y cualquiera de los otros dos lados tiene longitud c , entonces el área K viene dada por la fórmula ^[2] (Esta fórmula se puede usar solo en los casos en que las bases son paralelas).

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}.}$

El área se puede expresar en términos de longitudes tangentes e, f, g, h como ^{[3] : p.129}

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

radio

Usando las mismas notaciones que para el área, el radio en el círculo es ^[2]

${\displaystyle r={\frac {K}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}.}$

El diámetro de la circunferencia es igual a la altura del trapezoide tangencial.

El inradio también se puede expresar en términos de longitudes tangentes como ^{[3] : p.129}

${\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}.}$

Además, si las longitudes tangentes e, f, g, h emanan respectivamente de los vértices A, B, C, D y AB son paralelas a DC , entonces ^[1]

${\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.}$

Propiedades del incentro

Si la circunferencia es tangente a las bases en P, Q , entonces P, I, Q son colineales , donde I es el incentro. ^[4]

Los ángulos ∠ AID y ∠ BIC en un trapezoide tangencial ABCD , de bases AB y DC , son ángulos rectos . ^[4]

El incentro se encuentra en la mediana (también llamado segmento medio; es decir, el segmento que conecta los puntos medios de los catetos). ^[4]

Otras propiedades

La mediana (segmento medio) de un trapezoide tangencial es igual a un cuarto del perímetro del trapezoide. También equivale a la mitad de la suma de las bases, como en todos los trapecios.

Si se dibujan dos círculos, cada uno con un diámetro que coincide con los catetos de un trapezoide tangencial, entonces estos dos círculos son tangentes entre sí. ^[5]

Trapezoide tangencial recto

Un trapezoide tangencial recto.

Un trapezoide tangencial recto es un trapezoide tangencial donde dos ángulos adyacentes son ángulos rectos . Si las bases tienen longitudes a, b , entonces el inradio es ^[6]

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}.}$

Por tanto, el diámetro de la circunferencia es la media armónica de las bases.

El trapezoide tangencial derecho tiene el área ^[6]

${\displaystyle \displaystyle K=ab}$

y su perímetro P es ^[6]

${\displaystyle \displaystyle P=2(a+b).}$

Trapezoide tangencial isósceles

Todo trapezoide tangencial isósceles es bicéntrico .

Un trapezoide tangencial isósceles es un trapezoide tangencial donde los catetos son iguales. Dado que un trapezoide isósceles es cíclico , un trapecio tangencial isósceles es un cuadrilátero bicéntrico . Es decir, tiene tanto un círculo circunstante como un círculo circunstante .

Si las bases son a, b , entonces el inradio viene dado por ^[7]

${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}.}$

Deducir esta fórmula fue un simple problema Sangaku de Japón . Del teorema de Pitot se deduce que las longitudes de los catetos son la mitad de la suma de las bases. Dado que el diámetro del círculo es la raíz cuadrada del producto de las bases, un trapecio tangencial isósceles da una buena interpretación geométrica de la media aritmética y la media geométrica de las bases como la longitud de un cateto y el diámetro del círculo, respectivamente.

El área K de un trapezoide tangencial isósceles con bases a, b viene dada por ^[8]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b).}$

Referencias

1. Josefsson, Martin (2014), "El triángulo de puntos diagonales revisitado" (PDF) , Forum Geometriorum , 14 : 381–385.
2. H. Lieber y F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben , Berlín, Dritte Auflage, 1889, pág. 154.
3. Josefsson, Martin (2010), "Cálculos relativos a las longitudes tangentes y las cuerdas de tangencia de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometriorum , 10 : 119-130.
4. "Conjunto de problemas 2.2". jwilson.coe.uga.edu . Consultado el 10 de febrero de 2022 .
5. "Empire-Dental - ¡Здоровая и счастливая улыбка!". math.chernomorsky.com . Consultado el 10 de febrero de 2022 .
6. "Preguntas frecuentes sobre foros de mensajes matemáticos y ayuda de la comunidad | AoPS". artofproblemsolving.com . Consultado el 10 de febrero de 2022 .
7. "Círculo inscrito y trapezoide | Asociación Matemática de América". www.maa.org . Consultado el 10 de febrero de 2022 .
8. Abhijit Guha, CAT Mathematics , PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.