Cuadrilátero bicéntrico

Forma convexa de 4 lados con un incírculo y un circuncírculo

Porismo de Poncelet para cuadriláteros bicéntricos ABCD y EFGH

En geometría euclidiana , un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero convexo que tiene tanto un incírculo como un circuncírculo . Los radios y centros de estos círculos se denominan inradio y circunradio , e incentro y circuncentro respectivamente. De la definición se deduce que los cuadriláteros bicéntricos tienen todas las propiedades tanto de los cuadriláteros tangenciales como de los cuadriláteros cíclicos . Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero tangente a la cuerda ^[1] y cuadrilátero inscrito y circunscrito . También se le ha llamado raramente cuadrilátero de doble círculo ^[2] y cuadrilátero de doble inscripción . ^[3]

Si dos círculos, uno dentro del otro, son el incírculo y el circuncírculo de un cuadrilátero bicéntrico, entonces cada punto del circuncírculo es el vértice de un cuadrilátero bicéntrico que tiene el mismo incírculo y circuncírculo. ^[4] Este es un caso especial del porismo de Poncelet , que fue demostrado por el matemático francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

Casos especiales

Una cometa derecha

Ejemplos de cuadriláteros bicéntricos son los cuadrados , los cometas rectángulos y los trapecios tangenciales isósceles .

Caracterizaciones

Un cuadrilátero bicéntrico ABCD y su cuadrilátero de contacto WXYZ

Un cuadrilátero convexo ABCD con lados a, b, c, d es bicéntrico si y solo si los lados opuestos satisfacen el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales y la propiedad cíclica de los cuadriláteros de que los ángulos opuestos son suplementarios ; es decir,

${\displaystyle {\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}}$

Otras tres caracterizaciones se refieren a los puntos en los que el incírculo de un cuadrilátero tangencial es tangente a los lados. Si el incírculo es tangente a los lados AB, BC, CD, DA en W, X, Y, Z respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y solo si se cumple alguna de las tres condiciones siguientes: ^[5]

• WY es perpendicular a XZ
• ${\displaystyle {\frac {\overline {AW}}{\overline {WB}}}={\frac {\overline {DY}}{\overline {YC}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\overline {AC}}{\overline {BD}}}={\frac {{\overline {AW}}+{\overline {CY}}}{{\overline {BX}}+{\overline {DZ}}}}}$

El primero de estos tres significa que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal .

Si E, F, G, H son los puntos medios de WX, XY, YZ, ZW respectivamente, entonces el cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y sólo si el cuadrilátero EFGH es un rectángulo . ^[5]

Según otra caracterización, si I es el incentro en un cuadrilátero tangencial donde las extensiones de los lados opuestos se intersecan en J y K , entonces el cuadrilátero también es cíclico si y solo si ∠ JIK es un ángulo recto . ^[5]

Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero tangencial ABCD es cíclico si y sólo si su línea de Newton es perpendicular a la línea de Newton de su cuadrilátero de contacto WXYZ . (La línea de Newton de un cuadrilátero es la línea definida por los puntos medios de sus diagonales.) ^[5]

Construcción

Cuadrilátero bicéntrico ABCD con el cuadrilátero de contacto WXYZ . Vea la animación aquí

Hay un método sencillo para construir un cuadrilátero bicéntrico:

Comienza con el incírculo C _r alrededor del centro I con el radio r y luego dibuja dos cuerdas perpendiculares entre sí WY y XZ en el incírculo C _r . En los puntos finales de las cuerdas dibuja las tangentes a, b, c, d al incírculo. Estas se intersecan en cuatro puntos A, B, C, D , que son los vértices de un cuadrilátero bicéntrico. ^[6] Para dibujar el circuncírculo, dibuja dos bisectrices perpendiculares p ₁ , p ₂ en los lados del cuadrilátero bicéntrico a respectivamente b . Las bisectrices perpendiculares p ₁ , p ₂ se intersecan en el centro O del circuncírculo C _R con la distancia x al centro I del incírculo C _r . El circuncírculo se puede dibujar alrededor del centro O .

La validez de esta construcción se debe a la caracterización de que, en un cuadrilátero tangencial ABCD , el cuadrilátero de contacto WXYZ tiene diagonales perpendiculares si y sólo si el cuadrilátero tangencial también es cíclico .

Área

Fórmulas en términos de cuatro cantidades

El área K de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de cuatro cantidades del cuadrilátero de varias maneras diferentes. Si los lados son a, b, c, d , entonces el área está dada por ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

Este es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta . También se puede derivar directamente de la fórmula trigonométrica para el área de un cuadrilátero tangencial . Nótese que la inversa no se cumple: algunos cuadriláteros que no son bicéntricos también tienen área ^{[12] Un ejemplo de un cuadrilátero de este tipo es un} rectángulo no cuadrado . ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

El área también se puede expresar en términos de las longitudes de las tangentes e, f, g, h como ^{[8] : p.128}

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

Una fórmula para el área del cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I es ^[9]

${\displaystyle K={\overline {AI}}\cdot {\overline {CI}}+{\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}.}$

Si un cuadrilátero bicéntrico tiene cuerdas tangentes k, l y diagonales p, q , entonces tiene área ^{[8] : p.129}

${\displaystyle K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}$

Si k, l son las cuerdas de tangencia y m, n son las bimedianas del cuadrilátero, entonces el área se puede calcular utilizando la fórmula ^[9]

${\displaystyle K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl}$

Esta fórmula no se puede utilizar si el cuadrilátero es una cometa recta , ya que el denominador en ese caso es cero.

Si M, N son los puntos medios de las diagonales y E, F son los puntos de intersección de las extensiones de los lados opuestos, entonces el área de un cuadrilátero bicéntrico está dada por

${\displaystyle K={\frac {2{\overline {MN}}\cdot {\overline {EI}}\cdot {\overline {FI}}}{\overline {EF}}}}$

donde I es el centro del círculo inscrito. ^[9]

Fórmulas en términos de tres cantidades

El área de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de dos lados opuestos y el ángulo θ entre las diagonales según ^[9]

${\displaystyle K=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.}$

En términos de dos ángulos adyacentes y el radio r del círculo inscrito, el área está dada por ^[9]

${\displaystyle K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).}$

El área se da en términos del radio circunscrito R y el radio interno r como

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }$

donde θ es cualquier ángulo entre las diagonales. ^[13]

Si M, N son los puntos medios de las diagonales y E, F son los puntos de intersección de las extensiones de los lados opuestos, entonces el área también se puede expresar como

${\displaystyle K=2{\overline {MN}}{\sqrt {{\overline {EQ}}\cdot {\overline {FQ}}}}}$

donde Q es el pie de la perpendicular a la línea EF que pasa por el centro del círculo inscrito. ^[9]

Desigualdades

Si r y R son el inradio y el circunradio respectivamente, entonces el área K satisface las desigualdades ^[14]

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.}$

Hay igualdad en ambos lados sólo si el cuadrilátero es un cuadrado .

Otra desigualdad para el área es ^{[15] : p.39, #1203}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$

donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente.

Una desigualdad similar que da un límite superior más preciso para el área que la anterior es ^[13].

${\displaystyle K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})}$

con igualdad mantenida si y sólo si el cuadrilátero es una cometa recta .

Además, con lados a, b, c, d y semiperímetro s :

${\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^{[15] : pág. 39, #1203}

${\displaystyle 6K\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^{[15] : pág. 39, #1203}

${\displaystyle 4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).}$^{[15] : pág. 39, #1203}

Fórmulas de ángulos

Si a, b, c, d son las longitudes de los lados AB, BC, CD, DA respectivamente en un cuadrilátero bicéntrico ABCD , entonces sus ángulos de vértice se pueden calcular con la función tangente : ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}$

Utilizando las mismas notaciones, para las funciones seno y coseno se cumplen las siguientes fórmulas: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},\\\sin {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},\\\cos {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}$

El ángulo θ entre las diagonales se puede calcular a partir de ^[10]

${\displaystyle \displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.}$

Inradio y circunradio

El radio interior r de un cuadrilátero bicéntrico está determinado por los lados a, b, c, d según ^[7]

${\displaystyle \displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.}$

El radio circunscrito R se da como un caso especial de la fórmula de Parameshvara . Es ^[7]

${\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.}$

El radio interno también se puede expresar en términos de las longitudes de tangentes consecutivas e, f, g, h según ^{[17] : p. 41}

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.}$

Estas dos fórmulas son de hecho condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero tangencial con radio interior r sea cíclico .

Los cuatro lados a, b, c, d de un cuadrilátero bicéntrico son las cuatro soluciones de la ecuación cuártica.

${\displaystyle y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0}$

donde s es el semiperímetro, y r y R son el radio interno y el radio circunscrito respectivamente. ^{[18] : p. 754}

Si existe un cuadrilátero bicéntrico con radio interno r cuyas longitudes de tangentes son e, f, g, h , entonces existe un cuadrilátero bicéntrico con radio interno r ^v cuyas longitudes de tangentes son ⁠ ⁠ ${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v},}$ donde v puede ser cualquier número real . ^{[19] : pp.9–10}

Un cuadrilátero bicéntrico tiene un radio interior mayor que cualquier otro cuadrilátero tangencial que tenga la misma secuencia de longitudes de lados. ^{[20] : pp.392–393}

Desigualdades

El circunradio R y el inradio r satisfacen la desigualdad

${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r}$

que fue demostrada por L. Fejes Tóth en 1948. ^[19] Se cumple con la igualdad solo cuando los dos círculos son concéntricos (tienen el mismo centro entre sí); entonces el cuadrilátero es un cuadrado . La desigualdad se puede demostrar de varias maneras diferentes, una de ellas utilizando la doble desigualdad para el área anterior.

Una extensión de la desigualdad anterior es ^{[2] [21] : p. 141}

${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1}$

donde hay igualdad en ambos lados si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado . ^{[16] : p. 81}

El semiperímetro s de un cuadrilátero bicéntrico satisface ^{[19] : p.13}

${\displaystyle {\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r}$

donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente.

Además, ^{[15] : p.39, #1203}

${\displaystyle 2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}$

y

${\displaystyle abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).}$ ^{[15] : pág. 62, #1599}

Distancia entre el incentro y el circuncentro

Un cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I y circuncentro O

Teorema de Fuss

El teorema de Fuss da una relación entre el inradio r , el circunradio R y la distancia x entre el incentro I y el circuncentro O , para cualquier cuadrilátero bicéntrico. La relación es ^{[1] [11] [22]}

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

o equivalentemente

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}$

Fue derivada por Nicolaus Fuss (1755-1826) en 1792. Resolviendo para x se obtiene

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

El teorema de Fuss, que es análogo al teorema de Euler para triángulos en el caso de cuadriláteros bicéntricos, dice que si un cuadrilátero es bicéntrico, entonces sus dos círculos asociados están relacionados de acuerdo con las ecuaciones anteriores. De hecho, también se cumple la inversa: dados dos círculos (uno dentro del otro) con radios R y r y distancia x entre sus centros que satisfacen la condición del teorema de Fuss, existe un cuadrilátero convexo inscrito en uno de ellos y tangente al otro ^[23] (y luego, por el teorema de clausura de Poncelet , existen infinitos de ellos).

Aplicando la expresión del teorema de Fuss para x en términos de r y R hay otra forma de obtener la desigualdad mencionada anteriormente. Una generalización es ^{[19] : p.5} ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r.}$

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

La identidad de Carlitz

Otra fórmula para la distancia x entre los centros del círculo inscrito y del círculo circunscrito se debe al matemático estadounidense Leonard Carlitz (1907-1999). Establece que ^[24]

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente, y

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$

donde a, b, c, d son los lados del cuadrilátero bicéntrico.

Desigualdades para las longitudes y lados de las tangentes

Para las longitudes de tangente e, f, g, h se cumplen las siguientes desigualdades: ^{[19] : p.3}

${\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

y

${\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$

donde r es el inradio, R es el circunradio y x es la distancia entre el incentro y el circuncentro. Los lados a, b, c, d satisfacen las desigualdades ^{[19] : p.5}

${\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

y

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).}$

Otras propiedades del incentro

El circuncentro , el incentro y la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico son colineales . ^[25]

Existe la siguiente igualdad que relaciona las cuatro distancias entre el incentro I y los vértices de un cuadrilátero bicéntrico ABCD : ^[26]

${\displaystyle {\frac {1}{{\overline {AI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {CI}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {BI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {DI}}^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

donde r es el radio interior.

Si P es la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I , entonces ^[27]

${\displaystyle {\frac {\overline {AP}}{\overline {CP}}}={\frac {{\overline {AI}}^{2}}{{\overline {CI}}^{2}}}.}$

Propiedades de las diagonales

Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico se pueden expresar en términos de los lados o las longitudes de las tangentes , que son fórmulas que se cumplen en un cuadrilátero cíclico y un cuadrilátero tangencial respectivamente.

En un cuadrilátero bicéntrico con diagonales p, q , se cumple la siguiente identidad: ^[11]

${\displaystyle \displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1}$

donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente. Esta igualdad puede reescribirse como ^[13]

${\displaystyle r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}}$

o bien, resolviéndola como una ecuación cuadrática para el producto de las diagonales, en la forma

${\displaystyle pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).}$

Una desigualdad para el producto de las diagonales p, q en un cuadrilátero bicéntrico es ^[14]

${\displaystyle \displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}}$

donde a, b, c, d son los lados. Esto fue demostrado por Murray S. Klamkin en 1967.

Cuatro incentros se encuentran en un círculo.

Sea ABCD un cuadrilátero bicéntrico y O el centro de su circunferencia circunscrita. Entonces los incentros de los cuatro triángulos △ OAB , △ OBC , △ OCD , △ ODA se encuentran sobre una circunferencia. ^[28]

Véase también

• Polígono bicéntrico
• Cuadrilátero ex-tangencial

Referencias

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8. Josefsson, Martin (2010), "Cálculos relativos a las longitudes de tangentes y cuerdas de tangencia de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 119–130.
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21. Shattuck, Mark, “Una desigualdad geométrica para cuadriláteros cíclicos”, Forum Geometricorum 18, 2018, 141-154. [7] Este artículo también proporciona varias desigualdades en términos de las longitudes de arco subtendidas por los lados de un cuadrilátero cíclico.
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