cometa derecha

Cuadrilátero simétrico

Una cometa derecha con su círculo circunstante y su círculo interior. Los vértices más a la izquierda y más a la derecha tienen ángulos rectos.

En geometría euclidiana , una cometa recta es una cometa (un cuadrilátero cuyos cuatro lados pueden agruparse en dos pares de lados de igual longitud que son adyacentes entre sí) que puede inscribirse en un círculo. ^[1] Es decir, es una cometa con un círculo circunstante (es decir, una cometa cíclica ). Así, la cometa derecha es un cuadrilátero convexo y tiene dos ángulos rectos opuestos . ^[2] Si hay exactamente dos ángulos rectos, cada uno debe estar entre lados de diferentes longitudes. Todas las cometas derechas son cuadriláteros bicéntricos (cuadriláteros con un círculo circunstante y un círculo circunstante), ya que todos los cometas tienen un círculo circunstante . Una de las diagonales (la que es un eje de simetría ) divide la cometa derecha en dos triángulos rectángulos y también es un diámetro de la circunferencia circunstante.

En un cuadrilátero tangencial (uno con un círculo), los cuatro segmentos de línea entre el centro del círculo y los puntos donde es tangente al cuadrilátero dividen el cuadrilátero en cuatro cometas rectas.

Caso especial

Un caso especial de cometas rectas son los cuadrados , donde las diagonales tienen longitudes iguales y el círculo interior y el círculo circunstante son concéntricos .

Caracterizaciones

Una cometa es una cometa derecha si y sólo si tiene un círculo circunstante (por definición). Esto equivale a ser una cometa con dos ángulos rectos opuestos.

Fórmulas métricas

Dado que una cometa rectángulo se puede dividir en dos triángulos rectángulos, las siguientes fórmulas métricas se derivan fácilmente de propiedades bien conocidas de los triángulos rectángulos. En una cometa recta ABCD donde los ángulos opuestos B y D son ángulos rectos, los otros dos ángulos se pueden calcular a partir de

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {a}{b}}}$

donde a = AB = AD y b = BC = CD . El área de una cometa derecha es

${\displaystyle \displaystyle K=ab.}$

La diagonal AC que es un eje de simetría tiene la longitud

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

y, como las diagonales son perpendiculares (por lo que una cometa derecha es un cuadrilátero ortodiagonal con área ), la otra diagonal BD tiene la longitud ${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}}$

${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

El radio de la circunferencia es (según el teorema de Pitágoras )

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

y, dado que todas las cometas son cuadriláteros tangenciales , el radio del círculo está dado por

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {ab}{a+b}}}$

donde s es el semiperímetro.

El área está dada en términos del circunradio R y del inradio r como ^[3]

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).}$

Si tomamos los segmentos que se extienden desde la intersección de las diagonales hasta los vértices en el sentido de las agujas del reloj como , , y , entonces, ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle d_{4}}$

${\displaystyle d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4}}$

Este es un resultado directo del teorema de la media geométrica .

Dualidad

El polígono dual de una cometa derecha es un trapezoide tangencial isósceles . ^[1]

Definición alternativa

A veces, una cometa recta se define como una cometa con al menos un ángulo recto. ^[4] Si solo hay un ángulo recto, debe estar entre dos lados de igual longitud; en este caso, las fórmulas dadas anteriormente no se aplican.

Referencias

1. Michael de Villiers, Algunas aventuras en geometría euclidiana , ISBN  978-0-557-10295-2 , 2009, págs.154, 206.
2. De Villiers, Michael (1994), "El papel y la función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros", Para el aprendizaje de las matemáticas , 14 (1): 11–18, JSTOR  40248098
3. Josefsson, Martin (2012), "Área máxima de un cuadrilátero bicéntrico" (PDF) , Forum Geometriorum , 12 : 237–241.
4. 1728 Software Systems, Kite Calculator, consultado el 8 de octubre de 2012.