Teorema del cuadrilátero de Euler

Relación entre los lados de un cuadrilátero convexo y sus diagonales

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

El teorema del cuadrilátero de Euler o ley de Euler sobre los cuadriláteros , llamado así en honor a Leonhard Euler (1707-1783), describe una relación entre los lados de un cuadrilátero convexo y sus diagonales. Es una generalización de la ley del paralelogramo que a su vez puede verse como una generalización del teorema de Pitágoras . Debido a esto último, la reformulación del teorema de Pitágoras en términos de cuadriláteros se denomina ocasionalmente teorema de Euler-Pitágoras .

Teorema y casos especiales.

Para un cuadrilátero convexo con lados , diagonales y , y siendo el segmento de línea que conecta los puntos medios de las dos diagonales, se cumplen las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Si el cuadrilátero es un paralelogramo , entonces los puntos medios de las diagonales coinciden de modo que el segmento de línea que los conecta tiene longitud 0. Además, los lados paralelos tienen la misma longitud, por lo que el teorema de Euler se reduce a ${\displaystyle g}$

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$

que es la ley del paralelogramo.

Si el cuadrilátero es un rectángulo , entonces la ecuación se simplifica aún más ya que ahora las dos diagonales también tienen la misma longitud:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$

Al dividir por 2 se obtiene el teorema de Euler-Pitágoras:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$

En otras palabras, en el caso de un rectángulo, la relación entre los lados del cuadrilátero y sus diagonales se describe mediante el teorema de Pitágoras. ^[1]

Formulación alternativa y extensiones.

Teorema de Euler con paralelogramo

Euler originalmente derivó el teorema anterior como corolario de un teorema ligeramente diferente que requiere la introducción de un punto adicional, pero proporciona una visión más estructural.

Para un cuadrilátero convexo dado, Euler introdujo un punto adicional tal que forma un paralelogramo y luego se cumple la siguiente igualdad: ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle ABED}$

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$

Se puede pensar que la distancia entre el punto adicional y el punto del cuadrilátero que no forma parte del paralelogramo mide cuánto se desvía el cuadrilátero de un paralelogramo y es un término de corrección que debe agregarse a la ecuación original de la ley del paralelogramo. ^[2] ${\displaystyle |CE|}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |CE|^{2}}$

${\displaystyle M}$siendo el punto medio de los rendimientos . Dado que es el punto medio de también es el punto medio de , ya que y son ambas diagonales del paralelogramo . Esto produce y por tanto . Por lo tanto, del teorema de la intersección (y su inverso) se deduce que y son paralelos y , lo que produce el teorema de Euler. ^[2] ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle AE}$ ${\displaystyle AE}$ ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle ABED}$ ${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2}$ ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$ ${\displaystyle CE}$ ${\displaystyle NM}$ ${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$

El teorema de Euler se puede extender a un conjunto más grande de cuadriláteros, que incluye los cruzados y los no planos. Esto es válido para los llamados cuadriláteros generalizados , que simplemente constan de cuatro puntos arbitrarios conectados por aristas para que formen un gráfico cíclico . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Notas

1. Lokenath Debnath: El legado de Leonhard Euler: un tributo al tricentenario . Científico mundial, 2010, ISBN  9781848165267 , págs. 105-107
2. Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: El borde del universo: Celebrando diez años de horizontes matemáticos . MAA, 2006, ISBN 9780883855553 , págs. 137-139 
3. Geoffrey A. Kandall: Teorema de Euler para cuadriláteros generalizados . Revista universitaria de matemáticas, vol. 33, núm. 5 (noviembre de 2002), págs. 403–404 (JSTOR)

Referencias

• Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: El borde del universo: celebrando diez años de horizontes matemáticos . MAA, 2006, ISBN 9780883855553 , págs. 137-139 
• Lokenath Debnath: El legado de Leonhard Euler: un tributo al tricentenario . Científico mundial, 2010, ISBN 9781848165267 , págs. 105-107 
• C. Edward Sandifer: cómo lo hizo Euler . MAA, 2007, ISBN 9780883855638 , págs. 33–36 
• Geoffrey A. Kandall: Teorema de Euler para cuadriláteros generalizados . Revista universitaria de matemáticas, vol. 33, núm. 5 (noviembre de 2002), págs. 403–404 (JSTOR)
• Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen . Springer, 2013, ISBN 9783642376122 , pág. 418 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cuadrilátero". MundoMatemático .