Una teselación o mosaico es el recubrimiento de una superficie , a menudo un plano , utilizando una o más formas geométricas , llamadas mosaicos , sin superposiciones ni espacios vacíos. En matemáticas , la teselación se puede generalizar a dimensiones superiores y a una variedad de geometrías.
Un mosaico periódico tiene un patrón repetitivo. Algunos tipos especiales incluyen mosaicos regulares con mosaicos poligonales regulares todos de la misma forma, y mosaicos semirregulares con mosaicos regulares de más de una forma y con cada esquina dispuesta de manera idéntica. Los patrones formados por mosaicos periódicos se pueden clasificar en 17 grupos de papel tapiz . Un mosaico que carece de un patrón repetitivo se llama "no periódico". Un mosaico aperiódico utiliza un pequeño conjunto de formas de mosaicos que no pueden formar un patrón repetitivo (un conjunto aperiódico de prototiles ). Una teselación del espacio , también conocida como relleno de espacio o panal, se puede definir en la geometría de dimensiones superiores.
Una teselación física real es un mosaico hecho de materiales como cuadrados o hexágonos de cerámica cementada . Dichos mosaicos pueden ser patrones decorativos o pueden tener funciones como proporcionar pavimentos , pisos o revestimientos de paredes duraderos y resistentes al agua. Históricamente, las teselaciones se utilizaron en la Antigua Roma y en el arte islámico, como en la arquitectura marroquí y el mosaico geométrico decorativo del palacio de la Alhambra . En el siglo XX, la obra de MC Escher a menudo hizo uso de teselaciones, tanto en la geometría euclidiana ordinaria como en la geometría hiperbólica , para lograr un efecto artístico. Las teselaciones a veces se emplean para lograr un efecto decorativo en el acolchado . Las teselaciones forman una clase de patrones en la naturaleza , por ejemplo, en las matrices de celdas hexagonales que se encuentran en los panales .
Los sumerios (hacia el año 4000 a. C.) utilizaban teselaciones para decorar paredes de edificios formadas por patrones de tejas de arcilla. [1]
Los mosaicos decorativos hechos de pequeños bloques cuadrados llamados teselas fueron ampliamente utilizados en la antigüedad clásica , [2] a veces mostrando patrones geométricos. [3] [4]
En 1619, Johannes Kepler realizó un estudio temprano y documentado sobre las teselaciones. Escribió sobre las teselaciones regulares y semirregulares en su Harmonices Mundi ; posiblemente fue el primero en explorar y explicar las estructuras hexagonales de los panales de abejas y los copos de nieve . [5] [6] [7]
Unos doscientos años después, en 1891, el cristalógrafo ruso Yevgraf Fyodorov demostró que cada teselación periódica del plano presenta uno de los diecisiete grupos diferentes de isometrías. [8] [9] El trabajo de Fyodorov marcó el comienzo no oficial del estudio matemático de las teselaciones. Otros colaboradores destacados incluyen a Alexei Vasilievich Shubnikov y Nikolai Belov en su libro Colored Symmetry (1964), [10] y Heinrich Heesch y Otto Kienzle (1963). [11]
En latín, tessella es una pequeña pieza cúbica de arcilla , piedra o vidrio que se utiliza para hacer mosaicos. [12] La palabra "tessella" significa "cuadrado pequeño" (de tessera , cuadrado, que a su vez proviene de la palabra griega τέσσερα para cuatro ). Corresponde al término cotidiano embaldosado , que se refiere a aplicaciones de teselaciones, a menudo hechas de arcilla vidriada .
La teselación en dos dimensiones, también llamada mosaico plano, es un tema de la geometría que estudia cómo las formas, conocidas como mosaicos , se pueden organizar para llenar un plano sin espacios vacíos, de acuerdo con un conjunto dado de reglas. Estas reglas pueden variar. Las más comunes son que no debe haber espacios vacíos entre los mosaicos y que ninguna esquina de un mosaico puede estar a lo largo del borde de otro. [13] Las teselaciones creadas por ladrillos pegados no obedecen a esta regla. Entre las que sí lo hacen, una teselación regular tiene mosaicos regulares idénticos [a] y esquinas o vértices regulares idénticos, que tienen el mismo ángulo entre los bordes adyacentes para cada mosaico. [14] Solo hay tres formas que pueden formar tales teselaciones regulares: el triángulo equilátero , el cuadrado y el hexágono regular . Cualquiera de estas tres formas se puede duplicar infinitamente para llenar un plano sin espacios vacíos. [6]
Existen muchos otros tipos de teselaciones posibles bajo diferentes restricciones. Por ejemplo, existen ocho tipos de teselaciones semirregulares, hechas con más de un tipo de polígono regular pero que aún tienen la misma disposición de polígonos en cada esquina. [15] Las teselaciones irregulares también pueden hacerse a partir de otras formas como pentágonos , poliominós y, de hecho, casi cualquier tipo de forma geométrica. El artista MC Escher es famoso por hacer teselaciones con mosaicos irregulares entrelazados, con forma de animales y otros objetos naturales. [16] Si se eligen colores contrastantes adecuados para los mosaicos de diferentes formas, se forman patrones llamativos, que pueden usarse para decorar superficies físicas como pisos de iglesias. [17]
Más formalmente, una teselación o mosaico es una cubierta del plano euclidiano por un número contable de conjuntos cerrados, llamados mosaicos , de modo que los mosaicos se intersecan solo en sus límites . Estos mosaicos pueden ser polígonos o cualquier otra forma. [b] Muchas teselaciones se forman a partir de un número finito de protomoselados en el que todos los mosaicos de la teselación son congruentes con los protomoselados dados. Si una forma geométrica se puede utilizar como protomoselado para crear una teselación, se dice que la forma tesela o tesela el plano . El criterio de Conway es un conjunto de reglas suficiente, pero no necesario, para decidir si una forma dada tesela el plano periódicamente sin reflexiones: algunos mosaicos no cumplen el criterio, pero aún así teselan el plano. [19] No se ha encontrado una regla general para determinar si una forma dada puede teselar el plano o no, lo que significa que hay muchos problemas sin resolver relacionados con las teselaciones. [18]
Matemáticamente, las teselaciones se pueden extender a espacios distintos del plano euclidiano. [6] El geómetra suizo Ludwig Schläfli fue pionero en esto al definir poliesquemas , que los matemáticos hoy en día llaman politopos . Estos son los análogos de los polígonos y poliedros en espacios con más dimensiones. Además, definió la notación de símbolos de Schläfli para facilitar la descripción de los politopos. Por ejemplo, el símbolo de Schläfli para un triángulo equilátero es {3}, mientras que el de un cuadrado es {4}. [20] La notación de Schläfli permite describir teselaciones de forma compacta. Por ejemplo, una teselación de hexágonos regulares tiene tres polígonos de seis lados en cada vértice, por lo que su símbolo de Schläfli es {6,3}. [21]
También existen otros métodos para describir teselados poligonales. Cuando el teselado está formado por polígonos regulares, la notación más común es la configuración de vértices , que es simplemente una lista del número de lados de los polígonos alrededor de un vértice. El teselado cuadrado tiene una configuración de vértices de 4.4.4.4, o 4 4 . El teselado de hexágonos regulares se anota 6.6.6, o 6 3 . [18]
Los matemáticos utilizan algunos términos técnicos cuando hablan de teselación. Una arista es la intersección entre dos teselas limítrofes; a menudo es una línea recta. Un vértice es el punto de intersección de tres o más teselas limítrofes. Usando estos términos, una teselación isogonal o vértice-transitiva es una teselación donde cada punto de vértice es idéntico; es decir, la disposición de los polígonos alrededor de cada vértice es la misma. [18] La región fundamental es una forma como un rectángulo que se repite para formar la teselación. [22] Por ejemplo, una teselación regular del plano con cuadrados tiene una reunión de cuatro cuadrados en cada vértice . [18]
Los lados de los polígonos no son necesariamente idénticos a los bordes de las baldosas. Un mosaico de borde a borde es cualquier teselación poligonal en la que las baldosas adyacentes solo comparten un lado completo, es decir, ninguna baldosa comparte un lado parcial o más de un lado con ninguna otra baldosa. En un mosaico de borde a borde, los lados de los polígonos y los bordes de las baldosas son iguales. El mosaico familiar de "pared de ladrillos" no es de borde a borde porque el lado largo de cada ladrillo rectangular se comparte con dos ladrillos adyacentes. [18]
Un teselado normal es un teselado en el que cada mosaico es topológicamente equivalente a un disco , la intersección de dos mosaicos cualesquiera es un conjunto conexo o el conjunto vacío , y todos los mosaicos están uniformemente acotados . Esto significa que se puede utilizar un único radio de circunscripción y un único radio de inscripción para todos los mosaicos de todo el teselado; la condición no permite mosaicos que sean patológicamente largos o delgados. [23]
Un teselado monoédrico es un teselado en el que todas las teselas son congruentes ; tiene solo una prototesela. Un tipo particularmente interesante de teselado monoédrico es el teselado monoédrico espiral. El primer teselado monoédrico espiral fue descubierto por Heinz Voderberg en 1936; el teselado de Voderberg tiene una tesela unitaria que es un eneágono no convexo . [1] El teselado de Hirschhorn , publicado por Michael D. Hirschhorn y DC Hunt en 1985, es un teselado de pentágonos que utiliza pentágonos irregulares: los pentágonos regulares no pueden teselar el plano euclidiano como el ángulo interno de un pentágono regular ,3π/5 , no es divisor de 2 π . [24] [25]
Un teselado isoédrico es una variación especial de un teselado monoédrico en el que todos los teselados pertenecen a la misma clase de transitividad, es decir, todos los teselados son transformaciones del mismo prototejido bajo el grupo de simetría del teselado. [23] Si un prototejido admite un teselado, pero ningún teselado es isoédrico, entonces el prototejido se llama anisoédrico y forma teselados anisoédricos .
Una teselación regular es un mosaico altamente simétrico , de borde a borde, formado por polígonos regulares , todos de la misma forma. Solo hay tres teselaciones regulares: las formadas por triángulos equiláteros , cuadrados o hexágonos regulares . Estos tres mosaicos son isogonales y monoédricos. [26]
Un teselado semirregular (o arquimediano) utiliza más de un tipo de polígono regular en una disposición isogonal. Hay ocho teselados semirregulares (o nueve si el par de teselados de imagen especular cuenta como dos). [27] Estos pueden describirse por su configuración de vértice ; por ejemplo, un teselado semirregular que utiliza cuadrados y octógonos regulares tiene la configuración de vértice 4.8 2 (cada vértice tiene un cuadrado y dos octógonos). [28] Son posibles muchos teselados no de borde a borde del plano euclidiano, incluida la familia de teselados pitagóricos , teselados que utilizan dos tamaños (parametrizados) de cuadrado, cada cuadrado tocando cuatro cuadrados del otro tamaño. [29] Un teselado de borde es uno en el que cada mosaico puede reflejarse sobre un borde para tomar la posición de un mosaico vecino, como en una matriz de triángulos equiláteros o isósceles. [30]
Los mosaicos con simetría traslacional en dos direcciones independientes se pueden clasificar por grupos de papel pintado , de los cuales existen 17. [31] Se ha afirmado que todos estos diecisiete grupos están representados en el palacio de la Alhambra en Granada , España . Aunque esto es discutido, [32] la variedad y sofisticación de los mosaicos de la Alhambra han interesado a los investigadores modernos. [33] De los tres mosaicos regulares, dos están en el grupo de papel pintado p6m y uno está en p4m . Los mosaicos en 2-D con simetría traslacional en una sola dirección se pueden clasificar por los siete grupos de frisos que describen los posibles patrones de friso . [34] La notación orbifold se puede utilizar para describir los grupos de papel pintado del plano euclidiano. [35]
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Los mosaicos de Penrose , que utilizan dos proto-mosaicos cuadriláteros diferentes, son el ejemplo más conocido de mosaicos que crean patrones no periódicos de manera forzada. Pertenecen a una clase general de mosaicos aperiódicos , que utilizan mosaicos que no se pueden teselar periódicamente. El proceso recursivo de mosaico por sustitución es un método para generar mosaicos aperiódicos. Una clase que se puede generar de esta manera son los mosaicos de reptiles ; estos mosaicos tienen propiedades de autorreplicación inesperadas. [36] Los mosaicos de rueda dentada no son periódicos, ya que utilizan una construcción de mosaico de reptiles; los mosaicos aparecen en infinitas orientaciones. [37] Se podría pensar que un patrón no periódico carecería completamente de simetría, pero no es así. Los mosaicos aperiódicos, si bien carecen de simetría traslacional , tienen simetrías de otros tipos, por repetición infinita de cualquier parche acotado del mosaico y en ciertos grupos finitos de rotaciones o reflexiones de esos parches. [38] Una regla de sustitución, como la que se puede utilizar para generar patrones de Penrose utilizando conjuntos de mosaicos llamados rombos, ilustra la simetría de escala. [39] Una palabra de Fibonacci se puede utilizar para construir un mosaico aperiódico y para estudiar cuasicristales , que son estructuras con orden aperiódico. [40]
Las fichas de Wang son cuadrados coloreados en cada borde y colocados de manera que los bordes contiguos de las fichas adyacentes tengan el mismo color; por eso a veces se las llama fichas de dominó de Wang . Un conjunto adecuado de fichas de dominó de Wang puede teselar el plano, pero solo de manera aperiódica. Esto se sabe porque cualquier máquina de Turing puede representarse como un conjunto de fichas de dominó de Wang que teselan el plano si, y solo si, la máquina de Turing no se detiene. Dado que el problema de la detención es indecidible, el problema de decidir si un conjunto de fichas de dominó de Wang puede teselar el plano también es indecidible. [41] [42] [43] [44] [45]
Las baldosas de Truchet son baldosas cuadradas decoradas con motivos, por lo que no tienen simetría rotacional ; en 1704, Sébastien Truchet utilizó una baldosa cuadrada dividida en dos triángulos de colores contrastantes. Estos pueden cubrir el plano de forma periódica o aleatoria. [46] [47]
Una ficha de Einstein es una forma única que fuerza la formación de mosaicos aperiódicos. La primera ficha de este tipo, denominada "sombrero", fue descubierta en 2023 por David Smith, un matemático aficionado. [48] [49] El descubrimiento está bajo revisión profesional y, una vez confirmado, se le reconocerá como la solución de un problema matemático de larga data . [50]
A veces, el color de un mosaico se entiende como parte del mosaico; en otras ocasiones, se pueden aplicar colores arbitrarios más tarde. Cuando se habla de un mosaico que se muestra en colores, para evitar ambigüedades, es necesario especificar si los colores son parte del mosaico o solo parte de su ilustración. Esto afecta a si los mosaicos con la misma forma, pero diferentes colores, se consideran idénticos, lo que a su vez afecta a cuestiones de simetría. El teorema de los cuatro colores establece que para cada teselación de un plano euclidiano normal , con un conjunto de cuatro colores disponibles, cada mosaico puede colorearse de un color de modo que ningún mosaico del mismo color se encuentre en una curva de longitud positiva. La coloración garantizada por el teorema de los cuatro colores generalmente no respeta las simetrías de la teselación. Para producir una coloración que sí lo haga, es necesario tratar los colores como parte de la teselación. Aquí, pueden necesitarse hasta siete colores, como se muestra en la imagen de la izquierda. [51]
Además de los diversos teselados de polígonos regulares , también se han estudiado teselados de otros polígonos.
Cualquier triángulo o cuadrilátero (incluso no convexo ) puede usarse como prototipo para formar una teselación monoédrica, a menudo de más de una manera. Las copias de un cuadrilátero arbitrario pueden formar una teselación con simetría traslacional y simetría rotacional doble con centros en los puntos medios de todos los lados. Para un cuadrilátero asimétrico, este mosaico pertenece al grupo de papel tapiz p2 . Como dominio fundamental tenemos el cuadrilátero. De manera equivalente, podemos construir un paralelogramo subtendido por un conjunto mínimo de vectores de traslación, comenzando desde un centro rotacional. Podemos dividirlo por una diagonal y tomar una mitad (un triángulo) como dominio fundamental. Un triángulo de este tipo tiene la misma área que el cuadrilátero y puede construirse a partir de él cortando y pegando. [52]
Si solo se permite una forma de mosaico, existen mosaicos con N -gonos convexos para N igual a 3, 4, 5 y 6. Para N = 5 , véase mosaico pentagonal , para N = 6 , véase mosaico hexagonal , para N = 7 , véase mosaico heptagonal y para N = 8 , véase mosaico octogonal .
Con polígonos no convexos, hay muchas menos limitaciones en el número de lados, incluso si solo se permite una forma.
Los poliominós son ejemplos de mosaicos que son convexos o no convexos, para los cuales se pueden usar varias combinaciones, rotaciones y reflexiones para formar mosaicos en un plano. Para obtener resultados sobre el mosaico del plano con poliominós , consulte Poliominó § Usos de los poliominós .
Los mosaicos de Voronoi o Dirichlet son teselaciones en las que cada mosaico se define como el conjunto de puntos más cercanos a uno de los puntos de un conjunto discreto de puntos de definición. (Piense en regiones geográficas en las que cada región se define como todos los puntos más cercanos a una ciudad u oficina de correos determinada). [53] [54] La celda de Voronoi para cada punto de definición es un polígono convexo. La triangulación de Delaunay es una teselación que es el gráfico dual de una teselación de Voronoi. Las triangulaciones de Delaunay son útiles en la simulación numérica, en parte porque entre todas las triangulaciones posibles de los puntos de definición, las triangulaciones de Delaunay maximizan el mínimo de los ángulos formados por los bordes. [55] Los mosaicos de Voronoi con puntos colocados aleatoriamente se pueden utilizar para construir mosaicos aleatorios del plano. [56]
La teselación se puede extender a tres dimensiones. Ciertos poliedros se pueden apilar en un patrón cristalino regular para llenar (o teselar) el espacio tridimensional, incluido el cubo (el único poliedro platónico que lo hace), el dodecaedro rómbico , el octaedro truncado y los prismas triangulares, cuadriláteros y hexagonales , entre otros. [57] Cualquier poliedro que se ajuste a este criterio se conoce como plesioedro y puede poseer entre 4 y 38 caras. [58] Los dodecaedros rómbicos que se encuentran de forma natural se encuentran como cristales de andradita (una especie de granate ) y fluorita . [59] [60]
Las teselaciones en tres o más dimensiones se denominan panales de abeja . En tres dimensiones solo hay un panal de abeja regular, que tiene ocho cubos en cada vértice del poliedro. De manera similar, en tres dimensiones solo hay un panal de abeja cuasirregular [c] , que tiene ocho tetraedros y seis octaedros en cada vértice del poliedro. Sin embargo, existen muchos panales de abeja semirregulares posibles en tres dimensiones. [61] Los panales de abeja uniformes se pueden construir utilizando la construcción de Wythoff . [62]
El biprisma de Schmitt-Conway es un poliedro convexo con la propiedad de teselar el espacio sólo de forma aperiódica. [63]
Un triángulo de Schwarz es un triángulo esférico que se puede utilizar para revestir una esfera . [64]
Es posible realizar teselado en geometrías no euclidianas como la geometría hiperbólica . Un teselado uniforme en el plano hiperbólico (que puede ser regular, cuasirregular o semirregular) es un relleno de borde a borde del plano hiperbólico, con polígonos regulares como caras ; estos son transitivos en vértices ( transitivos en sus vértices ) e isogonales (existe una isometría que mapea cualquier vértice sobre cualquier otro). [65] [66]
Un panal uniforme en el espacio hiperbólico es una teselación uniforme de celdas poliédricas uniformes . En el espacio hiperbólico tridimensional (3-D) hay nueve familias de grupos de Coxeter de panales uniformes convexos compactos , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter para cada familia. [67]
En arquitectura, las teselaciones se han utilizado para crear motivos decorativos desde la antigüedad. Los mosaicos solían tener patrones geométricos. [4] Las civilizaciones posteriores también utilizaron mosaicos de mayor tamaño, ya fueran lisos o decorados individualmente. Algunos de los más decorativos fueron los mosaicos de pared moriscos de la arquitectura islámica , que utilizaban azulejos Girih y Zellige en edificios como la Alhambra [68] y La Mezquita . [69]
Las teselaciones aparecieron con frecuencia en el arte gráfico de MC Escher ; se inspiró en el uso morisco de la simetría en lugares como la Alhambra cuando visitó España en 1936. [70] Escher hizo cuatro dibujos de " Límite del círculo " de mosaicos que utilizan geometría hiperbólica. [71] [72] Para su xilografía "Límite del círculo IV" (1960), Escher preparó un estudio a lápiz y tinta que mostraba la geometría requerida. [73] Escher explicó que "Ningún componente individual de toda la serie, que desde infinitamente lejos se eleva como cohetes perpendicularmente desde el límite y finalmente se pierde en él, alcanza jamás la línea límite". [74]
Los diseños teselados suelen aparecer en textiles, ya sea tejidos, cosidos o impresos. Los patrones teselados se han utilizado para diseñar motivos entrelazados de formas de parches en colchas . [75] [76]
Las teselaciones también son un género principal en el origami (plegado de papel), donde se utilizan pliegues para conectar moléculas, como pliegues retorcidos, de manera repetitiva. [77]
La teselación se utiliza en la industria manufacturera para reducir el desperdicio de material (pérdidas de rendimiento), como chapa metálica, al cortar formas para objetos como puertas de automóviles o latas de bebidas . [78]
La teselación es evidente en el agrietamiento tipo mudcrack de películas delgadas [79] [80] – con un grado de autoorganización que se observa utilizando micro y nanotecnologías . [81]
El panal es un ejemplo bien conocido de teselación en la naturaleza con sus celdas hexagonales. [82]
En botánica, el término "teselado" describe un patrón cuadriculado, por ejemplo, en el pétalo de una flor, la corteza de un árbol o una fruta. Las flores , incluidas las de la fritilaria [83] y algunas especies de Colchicum , son típicamente teseladas. [84]
Muchos patrones en la naturaleza se forman por grietas en láminas de materiales. Estos patrones pueden describirse mediante teselaciones de Gilbert , [85] también conocidas como redes de grietas aleatorias. [86] La teselación de Gilbert es un modelo matemático para la formación de grietas de lodo , cristales con forma de aguja y estructuras similares. El modelo, llamado así por Edgar Gilbert , permite que las grietas se formen a partir de estar dispersas aleatoriamente sobre el plano; cada grieta se propaga en dos direcciones opuestas a lo largo de una línea que pasa por el punto de inicio, su pendiente elegida al azar, creando una teselación de polígonos convexos irregulares. [87] Los flujos de lava basáltica a menudo muestran uniones columnares como resultado de fuerzas de contracción que causan grietas a medida que la lava se enfría. Las extensas redes de grietas que se desarrollan a menudo producen columnas hexagonales de lava. Un ejemplo de este tipo de matriz de columnas es la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte. [88] El pavimento teselado , un ejemplo característico del cual se encuentra en Eaglehawk Neck en la península de Tasmania , es una rara formación rocosa sedimentaria donde la roca se ha fracturado en bloques rectangulares. [89]
En las espumas se dan otros patrones naturales , que se compactan según las leyes de Plateau , que requieren superficies mínimas . Estas espumas presentan un problema en cuanto a cómo compactar las celdas lo más firmemente posible: en 1887, Lord Kelvin propuso un empaque que utilizaba solo un sólido, el panal cúbico bitruncado con caras ligeramente curvadas. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan propusieron la estructura Weaire-Phelan , que utiliza menos área de superficie para separar celdas de igual volumen que la espuma de Kelvin. [90]
Las teselaciones han dado lugar a muchos tipos de rompecabezas de mosaicos , desde los tradicionales rompecabezas de sierra circular (con piezas irregulares de madera o cartón) [91] y el tangram , [92] hasta rompecabezas más modernos que a menudo tienen una base matemática. Por ejemplo, los polidiamantes y los poliominós son figuras de triángulos y cuadrados regulares, a menudo utilizados en rompecabezas de mosaicos. [93] [94] Autores como Henry Dudeney y Martin Gardner han hecho muchos usos de la teselación en las matemáticas recreativas . Por ejemplo, Dudeney inventó la disección con bisagras , [95] mientras que Gardner escribió sobre el " rep-tile ", una forma que puede diseccionarse en copias más pequeñas de la misma forma. [96] [97] Inspirada por los artículos de Gardner en Scientific American , la matemática aficionada Marjorie Rice encontró cuatro nuevas teselaciones con pentágonos. [98] [99] Elevar al cuadrado el cuadrado es el problema de teselar un cuadrado entero (uno cuyos lados tienen longitud entera) usando solo otros cuadrados enteros. [100] [101] Una extensión es elevar al cuadrado el plano, teselándolo con cuadrados cuyos tamaños son todos números naturales sin repeticiones; James y Frederick Henle demostraron que esto era posible. [102]
La figura 1 es parte de un mosaico del plano euclidiano, que imaginamos que continúa en todas las direcciones, y la figura 2 [Límite de círculo IV] es una hermosa teselación del modelo de disco unitario de Poincaré del plano hiperbólico con mosaicos blancos que representan ángeles y mosaicos negros que representan demonios. Una característica importante del segundo es que todos los mosaicos blancos son mutuamente congruentes, al igual que todos los mosaicos negros; por supuesto, esto no es cierto para la métrica euclidiana, pero sí para la métrica de Poincaré.
