Métrica de Kerr

Solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein.

La métrica de Kerr o geometría de Kerr describe la geometría del espacio-tiempo vacío alrededor de un agujero negro axialmente simétrico y sin carga en rotación con un horizonte de sucesos cuasiesférico . La métrica de Kerr es una solución exacta de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein ; Estas ecuaciones son altamente no lineales , lo que hace que sea muy difícil encontrar soluciones exactas.

Descripción general

La métrica de Kerr es una generalización a un cuerpo giratorio de la métrica de Schwarzschild , descubierta por Karl Schwarzschild en 1915, que describía la geometría del espacio-tiempo alrededor de un cuerpo no giratorio, esféricamente simétrico y sin carga. Poco después (1916-1918) se descubrió la solución correspondiente para un cuerpo cargado , esférico y no giratorio, la métrica de Reissner-Nordström . Sin embargo, la solución exacta para un agujero negro giratorio y sin carga , la métrica de Kerr, permaneció sin resolver hasta 1963, cuando fue descubierta por Roy Kerr . ^{[1] [2] : 69–81} La extensión natural de un agujero negro cargado y giratorio, la métrica de Kerr-Newman , se descubrió poco después, en 1965. Estas cuatro soluciones relacionadas se pueden resumir en la siguiente tabla, donde Q representa la la carga eléctrica del cuerpo y J representa su momento angular de giro :

Según la métrica de Kerr, un cuerpo en rotación debería exhibir arrastre de cuadro (también conocido como precesión de Lense-Thirring ), una predicción distintiva de la relatividad general. La primera medición de este efecto de arrastre de cuadros se realizó en 2011 mediante el experimento Gravity Probe B. En términos generales, este efecto predice que los objetos que se acerquen a una masa en rotación serán arrastrados para participar en su rotación, no debido a ninguna fuerza o torsión aplicada que pueda sentirse, sino más bien debido a la curvatura arremolinada del espacio-tiempo asociada con los cuerpos en rotación. . En el caso de un agujero negro en rotación, a distancias suficientemente cercanas, todos los objetos –incluso la luz– deben girar con el agujero negro; la región donde esto ocurre se llama ergosfera .

La luz de fuentes distantes puede viajar alrededor del horizonte de sucesos varias veces (si está lo suficientemente cerca); creando múltiples imágenes del mismo objeto . Para un espectador distante, la distancia perpendicular aparente entre imágenes disminuye en un factor de e ^{2 π} (aproximadamente 500). Sin embargo, los agujeros negros que giran rápidamente tienen menos distancia entre imágenes de multiplicidad. ^{[3] [4]}

Los agujeros negros en rotación tienen superficies donde la métrica parece tener singularidades aparentes ; El tamaño y la forma de estas superficies dependen de la masa y el momento angular del agujero negro . La superficie exterior encierra la ergosfera y tiene una forma similar a una esfera aplanada. La superficie interior marca el horizonte de sucesos ; los objetos que pasan al interior de este horizonte nunca más podrán comunicarse con el mundo exterior a ese horizonte. Sin embargo, ninguna de las superficies es una verdadera singularidad, ya que su aparente singularidad puede eliminarse en un sistema de coordenadas diferente . Se produce una situación similar al considerar la métrica de Schwarzschild , que también parece dar como resultado una singularidad al dividir el espacio por encima y por debajo de r _s en dos parches desconectados; Usando una transformación de coordenadas diferente, se puede relacionar el parche externo extendido con el parche interno (ver Métrica de Schwarzschild § Singularidades y agujeros negros ); dicha transformación de coordenadas elimina la singularidad aparente donde se encuentran las superficies interna y externa. Los objetos entre estas dos superficies deben co-rotar con el agujero negro en rotación, como se señaló anteriormente; En principio, esta característica se puede utilizar para extraer energía de un agujero negro en rotación, hasta su energía de masa invariante ,  Mc ² . ${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$

El experimento LIGO que detectó por primera vez ondas gravitacionales, anunciado en 2016, también proporcionó la primera observación directa de un par de agujeros negros de Kerr. ^[5]

Métrico

La métrica de Kerr se expresa comúnmente en una de dos formas: la forma de Boyer-Lindquist y la forma de Kerr-Schild. Se puede derivar fácilmente de la métrica de Schwarzschild, utilizando el algoritmo de Newman-Janis ^[6] mediante el formalismo de Newman-Penrose (también conocido como formalismo de coeficiente de espín), ^[7] ecuación de Ernst , ^[8] o transformación de coordenadas elipsoides. ^[9]

Coordenadas de Boyer-Lindquist

La métrica de Kerr describe la geometría del espacio-tiempo en las proximidades de una masa que gira con momento angular . ^[10] La métrica (o equivalentemente su elemento lineal para el tiempo adecuado ) en coordenadas de Boyer-Lindquist es ^{[11] [12]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$

donde las coordenadas son coordenadas esferoidales achatadas estándar , que son equivalentes a las coordenadas cartesianas ^{[13] [14]} ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

¿Dónde está el radio de Schwarzschild? ${\displaystyle r_{\text{s}}}$

y donde por brevedad, las escalas de longitud y se han introducido como ${\displaystyle a,\Sigma }$ ${\displaystyle \Delta }$

Una característica clave a tener en cuenta en la métrica anterior es el término cruzado . Esto implica que existe un acoplamiento entre el tiempo y el movimiento en el plano de rotación que desaparece cuando el momento angular del agujero negro llega a cero. ${\displaystyle dt\,d\phi }$

En el límite no relativista donde (o, equivalentemente, ) llega a cero, la métrica de Kerr se convierte en la métrica ortogonal para las coordenadas esferoidales achatadas. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}}$

Coordenadas de Kerr-Schild

La métrica de Kerr se puede expresar en forma "Kerr-Schild" , utilizando un conjunto particular de coordenadas cartesianas de la siguiente manera. ^{[15] [16] [17]} Estas soluciones fueron propuestas por Kerr y Schild en 1965.

Observe que k es un vector unitario de 3 , lo que hace que el vector de 4 sea un vector nulo , con respecto tanto a g como a η . ^[18] Aquí M es la masa constante del objeto que gira, η es el tensor de Minkowski y a es un parámetro de rotación constante del objeto que gira. Se entiende que el vector está dirigido a lo largo del eje z positivo. La cantidad r no es el radio, sino que está implícitamente definida por ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Observe que la cantidad r se convierte en el radio habitual R

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

cuando el parámetro rotacional se aproxima a cero. En esta forma de solución, las unidades se seleccionan de manera que la velocidad de la luz sea la unidad ( ). A grandes distancias de la fuente ( R ≫ a ), estas ecuaciones se reducen a la forma de Eddington-Finkelstein de la métrica de Schwarzschild . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c=1}$

En la forma de Kerr-Schild de la métrica de Kerr, el determinante del tensor métrico es igual a menos uno en todas partes, incluso cerca de la fuente. ^[19]

Coordenadas de solitón

Como la métrica de Kerr (junto con la métrica de Kerr-NUT) es axialmente simétrica, se puede moldear en una forma a la que se pueda aplicar la transformada de Belinski-Zakharov . Esto implica que el agujero negro de Kerr tiene la forma de un solitón gravitacional . ^[20]

Masa de energía rotacional

Si se extrae toda la energía rotacional de un agujero negro, por ejemplo con el proceso de Penrose , ^{[21] [22]} la masa restante no puede reducirse por debajo de la masa irreducible. Por lo tanto, si un agujero negro gira con el espín , su masa equivalente total es mayor en un factor de en comparación con un agujero negro de Schwarzschild correspondiente donde es igual a . La razón de esto es que para que un cuerpo estático gire, es necesario aplicar energía al sistema. Debido a la equivalencia masa-energía, esta energía también tiene una masa equivalente, que se suma a la masa-energía total del sistema, . ${\displaystyle E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)}$ ${\displaystyle a=M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\text{irr}}}$ ${\displaystyle M}$

La masa equivalente total (la masa gravitante) del cuerpo (incluida su energía de rotación ) y su masa irreducible están relacionadas por ^{[23] [24]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\text{irr}}}$

${\displaystyle 2M_{\rm {irr}}^{2}=M^{2}+{\sqrt {M^{4}-J^{2}c^{2}/G^{2}}}\Longrightarrow M^{2}=M_{\rm {irr}}^{2}+{\frac {J^{2}c^{2}}{4M_{\rm {irr}}^{2}G^{2}}}.}$

Operador de onda

Dado que incluso una verificación directa de la métrica de Kerr implica cálculos engorrosos, los componentes contravariantes del tensor métrico en coordenadas de Boyer-Lindquist se muestran a continuación en la expresión para el cuadrado del operador de cuatro gradientes : ^[21] ${\displaystyle g^{ik}}$

Arrastre de cuadros

Podemos reescribir la métrica de Kerr ( 1 ) de la siguiente forma:

Esta métrica es equivalente a un sistema de referencia co-rotativo que gira con una velocidad angular Ω que depende tanto del radio r como de la colatitud  θ , donde Ω se llama horizonte asesino .

Así, un sistema de referencia inercial es arrastrado por la masa central giratoria para participar en la rotación de esta última; esto se llama arrastre de fotogramas y se ha probado experimentalmente. ^[25] Cualitativamente, el arrastre de fotogramas puede verse como el análogo gravitacional de la inducción electromagnética. Una "patinadora sobre hielo", en órbita sobre el ecuador y en reposo rotacional respecto a las estrellas, extiende sus brazos. El brazo extendido hacia el agujero negro será torcido hacia el giro. El brazo extendido lejos del agujero negro se apretará en sentido contrario al giro. Por lo tanto, se acelerará rotacionalmente, en un sentido contrario al del agujero negro. Esto es lo contrario de lo que sucede en la experiencia cotidiana. Si ya está girando a cierta velocidad cuando extiende los brazos, los efectos de inercia y los efectos de arrastre del marco se equilibrarán y su giro no cambiará. Debido al principio de equivalencia , los efectos gravitacionales son localmente indistinguibles de los efectos inerciales, por lo que esta velocidad de rotación, a la que cuando extiende los brazos no sucede nada, es su referencia local para la no rotación. Este marco gira con respecto a las estrellas fijas y contrarota con respecto al agujero negro. Una metáfora útil es un sistema de engranajes planetarios en el que el agujero negro es el engranaje solar, el patinador sobre hielo es un engranaje planetario y el universo exterior es el engranaje anular. Esto también se puede interpretar a través del principio de Mach .

Superficies importantes

Ubicación de los horizontes, ergosferas y la singularidad del anillo del espacio-tiempo de Kerr en coordenadas cartesianas de Kerr-Schild. ^[13]

Comparación de la sombra (negra) y las superficies importantes (blanca) de un agujero negro. El parámetro de giro está animado de a , mientras el lado izquierdo del agujero negro gira hacia el observador. ^[26] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M}$

Hay varias superficies importantes en la métrica de Kerr ( 1 ). La superficie interior corresponde a un horizonte de sucesos similar al observado en la métrica de Schwarzschild ; esto ocurre cuando el componente puramente radial g _rr de la métrica llega al infinito. Resolviendo la ecuación cuadrática1/g _rr= 0 produce la solución:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}}}}{2}}}$

que en unidades naturales (que dan ) se simplifica a: ${\displaystyle G=M=c=1}$

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}}}}$

Mientras que en la métrica de Schwarzschild el horizonte de sucesos es también el lugar donde el componente puramente temporal g _tt de la métrica cambia de signo de positivo a negativo, en la métrica de Kerr eso ocurre a una distancia diferente. Nuevamente resolviendo una ecuación cuadrática {{nowrap 1= g _tt = 0}} se obtiene la solución:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

o en unidades naturales:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

Debido al término cos ² θ en la raíz cuadrada, esta superficie exterior se asemeja a una esfera aplanada que toca la superficie interior en los polos del eje de rotación, donde la colatitud θ es igual a 0 o π ; el espacio entre estas dos superficies se llama ergosfera . Dentro de este volumen, el componente puramente temporal g _tt es negativo, es decir, actúa como un componente métrico puramente espacial. En consecuencia, las partículas dentro de esta ergosfera deben co-rotar con la masa interna, si quieren conservar su carácter temporal. Una partícula en movimiento experimenta un tiempo propio positivo a lo largo de su línea mundial , su trayectoria a través del espacio-tiempo . Sin embargo, esto es imposible dentro de la ergosfera, donde g _tt es negativo, a menos que la partícula esté co-girando alrededor de la masa interior  con una velocidad angular de al menos  . Por tanto, ninguna partícula puede moverse en dirección opuesta a la rotación de la masa central dentro de la ergosfera. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$

Al igual que con el horizonte de sucesos en la métrica de Schwarzschild , la singularidad aparente en r _H se debe a la elección de las coordenadas (es decir, es una singularidad de coordenadas ). De hecho, el espacio-tiempo puede continuar sin problemas a través de él mediante una elección adecuada de coordenadas. A su vez, el límite exterior de la ergosfera en r _E no es singular por sí mismo incluso en coordenadas de Kerr debido a un término distinto de cero . ${\displaystyle dt\ d\phi }$

Ergosfera y el proceso de Penrose

Un agujero negro en general está rodeado por una superficie, llamada horizonte de sucesos y situada en el radio de Schwarzschild para un agujero negro que no gira, donde la velocidad de escape es igual a la velocidad de la luz. Dentro de esta superficie, ningún observador/partícula puede mantenerse en un radio constante. Se ve obligado a caer hacia adentro, por lo que a veces se le llama límite estático .

Un agujero negro en rotación tiene el mismo límite estático en su horizonte de sucesos, pero hay una superficie adicional fuera del horizonte de sucesos llamada "ergosuperficie" dada por

${\displaystyle (r-M)^{2}=M^{2}-J^{2}\cos ^{2}\theta }$

en coordenadas Boyer-Lindquist , que puede caracterizarse intuitivamente como la esfera donde "la velocidad de rotación del espacio circundante" es arrastrada junto con la velocidad de la luz. Dentro de esta esfera, el arrastre es mayor que la velocidad de la luz, y cualquier observador/partícula se ve obligado a co-rotar.

La región fuera del horizonte de sucesos pero dentro de la superficie donde la velocidad de rotación es la velocidad de la luz se llama ergosfera (del griego ergon que significa trabajo ). Las partículas que caen dentro de la ergosfera se ven obligadas a girar más rápido y, por tanto, ganar energía. Como todavía están fuera del horizonte de sucesos, pueden escapar del agujero negro. El proceso neto es que el agujero negro en rotación emite partículas energéticas a costa de su propia energía total. La posibilidad de extraer energía de espín de un agujero negro en rotación fue propuesta por primera vez por el matemático Roger Penrose en 1969 y por eso se denomina proceso de Penrose . Los agujeros negros giratorios en astrofísica son una fuente potencial de grandes cantidades de energía y se utilizan para explicar fenómenos energéticos, como los estallidos de rayos gamma .

Características de la geometría de Kerr.

La geometría de Kerr exhibe muchas características notables: la extensión analítica máxima incluye una secuencia de regiones exteriores asintóticamente planas , cada una asociada con una ergosfera , superficies límite estacionarias, horizontes de eventos , horizontes de Cauchy , curvas temporales cerradas y una singularidad de curvatura en forma de anillo . La ecuación geodésica se puede resolver exactamente en forma cerrada. Además de dos campos vectoriales Killing (correspondientes a la traducción del tiempo y la axisimetría ), la geometría de Kerr admite un tensor Killing notable . Hay un par de congruencias nulas principales (una entrante y otra saliente ). El tensor de Weyl es algebraicamente especial , de hecho tiene tipo D de Petrov . La estructura global es conocida. Topológicamente, el tipo de homotopía del espacio-tiempo de Kerr se puede caracterizar simplemente como una línea con círculos unidos en cada punto entero.

Tenga en cuenta que la geometría interna de Kerr es inestable con respecto a las perturbaciones en la región interior. Esta inestabilidad significa que, aunque la métrica de Kerr es simétrica en el eje, un agujero negro creado mediante un colapso gravitacional puede no serlo. ^[13] Esta inestabilidad también implica que muchas de las características de la geometría de Kerr descritas anteriormente pueden no estar presentes dentro de dicho agujero negro. ^{[27] [28]}

Una superficie sobre la cual la luz puede orbitar un agujero negro se llama esfera de fotones. La solución de Kerr tiene infinitas esferas de fotones , situadas entre una interior y una exterior. En la solución de Schwarzschild no giratoria, con , las esferas de fotones interna y externa degeneran, de modo que solo hay una esfera de fotones en un radio único. Cuanto mayor es el giro de un agujero negro, más se alejan unas de otras las esferas de fotones interior y exterior. Un rayo de luz que viaja en dirección opuesta al giro del agujero negro orbitará circularmente alrededor del agujero en la esfera exterior de fotones. Un rayo de luz que viaja en la misma dirección que el giro del agujero negro orbitará circularmente en la esfera interna de fotones. Las geodésicas en órbita con cierto momento angular perpendicular al eje de rotación del agujero negro orbitarán sobre esferas de fotones entre estos dos extremos. Debido a que el espacio-tiempo está girando, tales órbitas exhiben una precesión, ya que hay un desplazamiento en la variable después de completar un período en la variable. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$

Ecuaciones de trayectoria

Animación de la órbita de una partícula de prueba alrededor de un agujero negro en rotación. Izquierda: vista superior, derecha: vista lateral.

Otra trayectoria de una masa de prueba alrededor de un agujero negro giratorio (Kerr). A diferencia de las órbitas alrededor de un agujero negro de Schwarzschild, la órbita no se limita a un solo plano, sino que ergódicamente llenará una región similar a un toro alrededor del ecuador.

Las ecuaciones de movimiento de las partículas de prueba en el espacio-tiempo de Kerr se rigen por cuatro constantes de movimiento . ^[29] La primera es la masa invariante de la partícula de prueba, definida por la relación ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta },}$$

momento de cuatro^{[21] [30]} ${\displaystyle p^{\alpha }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L_{z}}$

$${\displaystyle E=-p_{t},}$$

$${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$$

Utilizando la teoría de Hamilton-Jacobi , Brandon Carter demostró que existe una cuarta constante de movimiento, [ ^29] ahora denominada constante de Carter . Está relacionado con el momento angular total de la partícula y está dado por ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}\right).}$$

Dado que hay cuatro constantes de movimiento (independientes) para los grados de libertad, las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba en el espacio-tiempo de Kerr son integrables .

Usando estas constantes de movimiento, se pueden escribir las ecuaciones de trayectoria para una partícula de prueba (usando unidades naturales de ), ^[29] ${\displaystyle G=M=c=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$
• ${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$
• ${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

donde es un parámetro afín tal que . En particular, cuando el parámetro afín está relacionado con el tiempo adecuado . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}=p^{\alpha }}$ ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \lambda =\tau /\mu }$

Debido al efecto de arrastre de cuadros , un observador de momento angular cero (ZAMO) está girando con la velocidad angular que está definida con respecto al tiempo de coordenadas del contable . ^[31] La velocidad local de la partícula de prueba se mide en relación con una sonda que gira con . La dilatación del tiempo gravitacional entre un ZAMO en posición fija y un observador estacionario lejos de la masa es ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\frac {t}{\tau }}={\sqrt {\frac {\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma }}}.}$$

^[32]

$${\displaystyle {\ddot {x}}+i{\ddot {y}}=4iMa{\frac {r}{\Sigma ^{2}}}W\left[{\dot {x}}+i{\dot {y}}-{\frac {x+iy}{r}}{\dot {r}}\right]-M(x+iy)\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C-a^{2}W^{2}}{r\Sigma ^{2}}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {z}}=-Mz\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C}{r\Sigma ^{2}}}}$$

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\left(aE\sin {\theta }-{\frac {L_{z}}{\sin {\theta }}}\right)^{2}}$$

$${\displaystyle W={\dot {t}}-a\sin ^{2}{\theta }{\dot {\phi }}}$$

Si configuramos , se restauran las geodésicas de Schwarzschild . ${\displaystyle a=0}$

Simetrías

El grupo de isometrías de la métrica de Kerr es el subgrupo del grupo de Poincaré de diez dimensiones que toma el lugar bidimensional de la singularidad para sí mismo. Conserva las traslaciones temporales (una dimensión) y las rotaciones alrededor de su eje de rotación (una dimensión). Por tanto tiene dos dimensiones. Al igual que el grupo Poincaré, tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente que invierte el tiempo y la longitud; el componente que se refleja a través del plano ecuatorial; y el componente que hace ambas cosas.

En física, las simetrías suelen estar asociadas con constantes de movimiento conservadas, de acuerdo con el teorema de Noether . Como se muestra arriba, las ecuaciones geodésicas tienen cuatro cantidades conservadas: una de las cuales proviene de la definición de geodésica y dos surgen de la simetría de rotación y traslación del tiempo de la geometría de Kerr. La cuarta cantidad conservada no surge de una simetría en el sentido estándar y comúnmente se la denomina simetría oculta.

Soluciones Kerr extremas

La ubicación del horizonte de sucesos está determinada por la raíz mayor de . Cuando (es decir ), no hay soluciones (de valor real) para esta ecuación y no hay horizonte de sucesos. Sin horizontes de sucesos que lo oculten del resto del universo, el agujero negro deja de ser un agujero negro y será una singularidad desnuda . ^[33] ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}/2<a}$ ${\displaystyle GM^{2}<Jc}$

Los agujeros negros de Kerr como agujeros de gusano

Aunque la solución de Kerr parece ser singular en las raíces de , en realidad son singularidades de coordenadas y, con una elección adecuada de nuevas coordenadas, la solución de Kerr se puede extender suavemente a través de los valores de correspondientes a estas raíces. La mayor de estas raíces determina la ubicación del horizonte de sucesos y la más pequeña determina la ubicación de un horizonte de Cauchy . Una curva (dirigida al futuro, similar al tiempo) puede comenzar en el exterior y pasar a través del horizonte de sucesos. Una vez que ha pasado por el horizonte de sucesos, la coordenada ahora se comporta como una coordenada de tiempo, por lo que debe disminuir hasta que la curva pase por el horizonte de Cauchy. ^[34] ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

La región más allá del horizonte de Cauchy tiene varias características sorprendentes. La coordenada se comporta nuevamente como una coordenada espacial y puede variar libremente. La región interior tiene una simetría de reflexión, de modo que una curva (dirigida al futuro) puede continuar a lo largo de una trayectoria simétrica, que continúa a través de un segundo horizonte de Cauchy, a través de un segundo horizonte de sucesos, y hacia una nueva región exterior que es isométrica a la región exterior original de la solución de Kerr. La curva podría entonces escapar al infinito en la nueva región o entrar en el futuro horizonte de sucesos de la nueva región exterior y repetir el proceso. A veces se piensa en este segundo exterior como en otro universo. Por otro lado, en la solución de Kerr, la singularidad es un anillo y la curva puede pasar por el centro de este anillo. La región más allá permite curvas cerradas en forma de tiempo. Dado que la trayectoria de los observadores y las partículas en la relatividad general se describe mediante curvas similares al tiempo, es posible que los observadores en esta región regresen a su pasado. ^{[27] [28]} No es probable que esta solución interior sea física y se considere un artefacto puramente matemático. ^[35] ${\displaystyle r}$

Si bien se espera que la región exterior de la solución de Kerr sea estable y que todos los agujeros negros en rotación eventualmente se acerquen a una métrica de Kerr, la región interior de la solución parece ser inestable, muy parecida a un lápiz en equilibrio sobre su punta. ^{[36] [13]} Esto está relacionado con la idea de censura cósmica .

Relación con otras soluciones exactas

La geometría de Kerr es un ejemplo particular de una solución de vacío estacionaria axialmente simétrica a la ecuación de campo de Einstein . La familia de todas las soluciones de vacío estacionarias axialmente simétricas de la ecuación de campo de Einstein son los vacíos de Ernst.

La solución de Kerr también está relacionada con varias soluciones sin vacío que modelan los agujeros negros. Por ejemplo, el electrovacío de Kerr-Newman modela un agujero negro (giratorio) dotado de una carga eléctrica, mientras que el polvo nulo de Kerr-Vaidya modela un agujero (giratorio) con radiación electromagnética entrante.

El caso especial de la métrica de Kerr produce la métrica de Schwarzschild , que modela un agujero negro no giratorio que es estático y esféricamente simétrico , en las coordenadas de Schwarzschild . (En este caso, cada momento de Geroch excepto la masa desaparece). ${\displaystyle a=0}$

El interior de la geometría de Kerr, o más bien una parte de ella, es localmente isométrico con respecto al vacío CPW de Chandrasekhar-Ferrari, un ejemplo de modelo de onda plana en colisión. Esto es particularmente interesante, porque la estructura global de esta solución CPW es bastante diferente de la de la geometría de Kerr y, en principio, un experimentador podría esperar estudiar la geometría de (la porción exterior de) el interior de Kerr organizando la colisión de dos ondas planas gravitacionales adecuadas .

Momentos multipolares

Cada vacío de Ernst asintóticamente plano se puede caracterizar dando la secuencia infinita de momentos multipolares relativistas , los dos primeros de los cuales pueden interpretarse como la masa y el momento angular de la fuente del campo. Existen formulaciones alternativas de momentos multipolares relativistas debidas a Hansen, Thorne y Geroch, que resultan concordar entre sí. Hansen calculó los momentos multipolares relativistas de la geometría de Kerr; resultan ser

${\displaystyle M_{n}=M[ia]^{n}}$

Así, el caso especial del vacío de Schwarzschild ( ) da la " fuente puntual monopolo " de la relatividad general. ^[a] ${\displaystyle a=0}$

Los momentos multipolares de Weyl surgen del tratamiento de una determinada función métrica (formalmente correspondiente al potencial gravitacional newtoniano) que aparece en el gráfico de Weyl-Papapetrou para la familia Ernst de todas las soluciones de vacío axialmente simétricas estacionarias utilizando los momentos multipolares escalares euclidianos estándar . Son distintos de los momentos calculados por Hansen, arriba. En cierto sentido, los momentos de Weyl sólo caracterizan (indirectamente) la "distribución de masa" de una fuente aislada, y resultan depender sólo de los momentos relativistas de orden par . En el caso de soluciones simétricas a lo largo del plano ecuatorial, los momentos de Weyl de orden impar desaparecen. Para las soluciones de vacío de Kerr, los primeros momentos de Weyl están dados por

${\displaystyle a_{0}=M,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{2}=M\left({\frac {M^{2}}{3}}-a^{2}\right)}$

En particular, vemos que el vacío de Schwarzschild tiene un momento de Weyl de segundo orden distinto de cero, lo que corresponde al hecho de que el "monopolo de Weyl" es la solución de vacío de Chazy-Curzon, no la solución de vacío de Schwarzschild, que surge del potencial newtoniano de un cierto finito. Varilla delgada de densidad uniforme de longitud .

En la relatividad general de campo débil, es conveniente tratar fuentes aisladas utilizando otro tipo de multipolares, que generalizan los momentos de Weyl a momentos multipolares de masa y momentos multipolares de momento , caracterizando respectivamente la distribución de masa y de momento de la fuente. Se trata de cantidades multiindexadas cuyas partes adecuadamente simetrizadas y antisimetrizadas pueden relacionarse con las partes real e imaginaria de los momentos relativistas para la teoría no lineal completa de una manera bastante complicada.

Pérez y Moreschi han dado una noción alternativa de "soluciones monopolares" al expandir la tétrada NP estándar de los vacíos de Ernst en potencias de (la coordenada radial en el gráfico de Weyl-Papapetrou). Según esta formulación: ${\displaystyle r}$

• la fuente monopolo de masa aislada con momento angular cero es la familia de vacío de Schwarzschild (un parámetro),
• la fuente monopolar de masa aislada con momento angular radial es la familia de vacío Taub-NUT (dos parámetros; no del todo asintóticamente plana),
• la fuente monopolo de masa aislada con momento angular axial es la familia de vacío de Kerr (dos parámetros).

En este sentido, los vacíos de Kerr son las soluciones de vacío asintóticamente planas axisimétricas estacionarias más simples en la relatividad general.

Problemas abiertos

La geometría de Kerr se utiliza a menudo como modelo de un agujero negro en rotación , pero si se considera que la solución es válida sólo fuera de alguna región compacta (sujeta a ciertas restricciones), en principio, debería poder usarse como una solución exterior para Modelar el campo gravitacional alrededor de un objeto masivo en rotación que no sea un agujero negro, como una estrella de neutrones o la Tierra. Esto funciona muy bien para el caso no giratorio, donde el exterior de la aspiradora Schwarzschild se puede combinar con un interior fluido de Schwarzschild y, de hecho, con soluciones de fluidos perfectas, estáticas y esféricamente simétricas más generales . Sin embargo, el problema de encontrar un interior de fluido perfecto giratorio que pueda adaptarse a un exterior de Kerr, o incluso a cualquier solución exterior de vacío asintóticamente plana, ha resultado muy difícil. En particular, ahora se sabe que el fluido Wahlquist , que alguna vez se pensó que era un candidato para coincidir con un exterior de Kerr, no admite tal coincidencia. En la actualidad, parece que sólo se conocen soluciones aproximadas que modelan bolas de fluido que giran lentamente (éstas son el análogo relativista de las bolas esferoidales achatadas con masa y momento angular distintos de cero, pero momentos multipolares superiores que se desvanecen). Sin embargo, el exterior del disco de Neugebauer-Meinel, una solución de polvo exacta que modela un disco delgado en rotación, se aproxima en un caso límite a la geometría de Kerr. También se conocen soluciones físicas de discos delgados obtenidas identificando partes del espacio-tiempo de Kerr. ^[37] ${\displaystyle GM^{2}=cJ}$

Ver también

• Portal de astronomía
• Portal de física

• Métrica de Schwarzschild
• Métrica de Kerr-Newman
• Métrica de Reissner-Nordström
• Métrica de Hartle-Thorne
• giro-flip
• Agujero negro giratorio

Notas a pie de página

1. Advertencia: No confunda los momentos multipolares relativistas calculados por Hansen con los momentos multipolares de Weyl que se analizan a continuación.

Referencias

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2. Meliá, Fulvio (2009). "Descifrando el código de Einstein: la relatividad y el nacimiento de la física de los agujeros negros, con epílogo de Roy Kerr", Princeton University Press, Princeton, ISBN 978-0226519517 
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Otras lecturas

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• Meinel, Reinhard ; Ansorg, Marco; Kleinwachter, Andreas; Neugebauer, Gernot; Petrov, David (2008). Figuras relativistas de equilibrio. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86383-4.
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• D'Inverno, Ray (1992). Presentando la Relatividad de Einstein . Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-859686-8. Consulte el capítulo 19 para obtener una introducción legible en el nivel universitario avanzado.
• Chandrasekhar, S. (1992). La teoría matemática de los agujeros negros . Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-850370-5. Consulte los capítulos 6 a 10 para un estudio muy completo a nivel de posgrado avanzado.
• Griffiths, JB (1991). Ondas planas en colisión en la relatividad general . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-853209-5. Consulte el capítulo 13 para conocer el modelo Chandrasekhar/Ferrari CPW.
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